1、异面直线所成的角求法总结加分析异面直线所成的角一、平移法:常见三种平移方法:直接平移:中位线平移(尤其是图中出现了中点):补形平移法:“补形法”是立体几何中一种常见的方法,通过补形,可将问题转化为易于研究的几何体来处理,利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1在空间四边形ABCD中,ADBC2,E,F分别为AB、CD的中点,EF,求AD、BC所成角的大小解:设BD的中点G,连接FG,EG。在EFG中 EF FGEG1EGF120 AD与BC成60的角。2正ABC的边长为a,S为ABC所在平面外的一点,SASBSCa,E,F分别是SC和AB的中点求异面直线SA和EF所成
2、角答案:453S是正三角形ABC所在平面外的一点,如图SASBSC,且ASBBSCCSA,M、N分别是AB和SC的中点求异面直线SM与BN所成的角的余弦值 2S 证明:连结CM,设Q为CM的中点,连结QN 则QNSM QNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ,设SCa,在BQN中BNa 2CB NQ1SM24a BQ a4 COSQNBBN2+NQ2-BQ2=2BNNQ54如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90,M、N分别是A1B1和A1C1的中点,若BCCACC1,求BM与AN所成的角解:连接MN,作NGBM交BC于G,连接AG,易证GNA就是BM与AN所成的角设:BCCACC1
3、2,则AGAN,GNBM,cosGNA6+5-526=10。5如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点求AE与D1F所成的角。1A证明:取AB中点G,连结A1G,FG, 因为F是CD的中点,所以GFAD,又A1D,所以1D1,故四边形GFD1A1是平行四边形,A1GD1F。设A1G与AE相交于H,则A1HA是AE与D1F所成的角。 A因为E是BB1的中点,所以RtA1AGABE, GA1A=GAH,从而A1HA=90, 即直线AE与D1F所成的角为直角。D E 6如图128的正方体中,E是AD的中点 A (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA成异面直线?(2)求
4、直线BA和CC所成的角的大小;D (3)求直线AE和CC所成的角的正切值;(4)求直线AE和BA所成的角的余弦值 (图128) 解:(1) A平面BC,又点B和直线CC都在平面BC内,且BCC, 直线BA与CC是异面直线 同理,正方体12条棱中的CD、DD、DC、AD、BC所在的直线都和直线BA成异面直线(2) CCBB, BA和BB所成的锐角就是BA和CC所成的角 ABB=45 BA和CC所成的角是45(3) AABBCC,故AE和AA所成的锐角AAE是AE和CC 所成的角 在RtAAE中,tanAAEAE11,所以AE和CC所成角的正切值是 22AA (4)取BC的中点F,连EF、BF,则
5、有EFABAB, ABFE是平行四边形,从而BFAE, 即BFAE且BF=AE. BF与BA所成的锐角ABF就是AE和BA所成的角设正方体各棱长为2,连AF,利用勾股定理求出ABF的各边长分别为AB22,AFBF,由余弦定理得:cosABF(22)+(5)-(5)2225222=5(图129)7. 长方体ABCDA1B1C1D1中,若AB=BC=3,AA1=4,求异面直线B1D与BC1所成角的大小。解法一:如图,过B1点作B1EBC1交CB的延长线于E点。 则DB1E或其补角就是异面直线DB1与BC1所成角,连结DE交AB于M,DB1E=arccoscosDB1解法二:如图,在平面D1DBB1
6、中过B点作BEDB1交D1B1的延长线于E,则C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角,连结C1E,在B1C1E中, C1B1E=135,C1cosC1BE=,C1BE=arccos。 170170练习:8. 如图,PA 矩形ABCD,已知PA=AB=8,BC=10,求AD与PC所成角的余切值为。9. 在长方体ABCD- A1B1C1D1中,若棱B B1=BC=1,AB=,求D B和AC所成角的余弦值.中位线平移法:构造三角形找中位线,然后利用中位线的性质,将异面直线所成的角转化为平面问题,解三角形求之。解法一:如图连结B1C交BC1于0,过0点作OEDB1,则BOE为所求的异面直线DB1与
7、BC1所成的角。连结EB,由已知有B1BC1=5,BOE=arccos,cos解法二:如图,连DB、AC交于O点,过O点作OEDB1,过E点作EFC1B,则OEF或其补角就是两异面直线所成的角,过O点作OMDC,连结MF、OF。则cosOEF= ,异面直线B1D与BC1所成的角为arccos。 170170解法三:如图,连结D1B交DB1于O,连结D1A,则四边形ABC1D1为平行四边形。在平行四边形ABC1D1中过点O作EFBC1交AB、D1C1于E、F,则DOF或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角。在ADF中DF=DOF=arccos,cosDOF=,2170课堂练习10. 在正四面
8、体ABCD中,已知E是棱BC的中点,求异面直线AE和BD所成角的余弦值。 AB D补形平移法:在已知图形外补作一个相同的几何体,以例于找出平行线。解法一:如图,以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2,连结D2B,则DB1D2B,C1BD2或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角,连C1D2,则C1D2C2为Rt,cosC1BD2=,异面直线DB1与BC1所成的角是arc课堂练习:11. 求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值。在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体,将A1C1平移到BE,则D1BE或其补角就是异面直线A1C1
9、与BD1所成的角,在BD1E中,BD1=3,二、利用模型求异面直线所成的角模型1 引理:已知平面的一条斜线a与平面所成的角为1,平面内的一条直线b与斜线a所成的角为,与它的射影a所成的角为2。求证:cos= cos1cos2。在平面的斜线a上取一点P,过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB,垂足为O、连接OB,则OBb.AO在直角AOP中,cos1=. APAB在直角ABC中,cos2=.AOAB在直角ABP中,cos=. APAOABAB=cos 所以 cos1cos2=APAOAP所以cos1cos2=cosP证明:设PA是的斜线,OA是PA在上的射影,OB/b,如图所示。则PAO=1,P
10、AB=,OAB=2,过点O在平面内作OBAB,垂足为B,连结PB。 OAABAB可知PBAB。所以cos1=, cos=,cos2=。 PAOAPA所以cos= cos1cos2。利用这个模型来求两条异面直线a和b所成的角,即引理中的角。需:过a的一个平面,以及该平面的一条斜线b以及b在内的射影。12. 如图,MA平面ABCD,四边形ABCD是正方形,且MA=AB=a,试求异面直线MB与AC所成的角。M解:由图可知,直线MB在平面ABCD内的射影为AB,直线MB与平面ABCD所成的角为45,直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45,所以直线AC与直MB所成的角为,满足 A 1cos=cos4
11、5 cos45=,所以直线AC与MB所成的角为60。 213. 已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为( D )(A)3 (B) (C(D) 4解:设BC的中点为D,连结A1D,AD,易知=A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角,由三角余弦定理,易知cos=cosA1ADcosDAB=ADAD3=.故选D A1AAB414. 如图,在立体图形P-ABCD中,底面ABCD是一个直角梯形,BAD=90,AD/BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA底面ABCD,PD与底面成30角,AEPD于D。求异面直
12、线AE与CD所成的角的大小。 解:过E作AD的平行线EF交AD于F,由PA底面ABCD可知,直线AE在平面ABCD内的射影为AF,直线AE与平面ABCD所成的角为DAE,其大小为60,射影AF与直线CD所成的角为CDA,其大小为45,所以直线与直线所成的角满足cos=cos60 cos45=22,所以其大小为arccos。 B 44模型2 定理:四面体ADBCD两相对棱AC、BD间的夹角为,则有证明: BDA=BDBDCOS 而BD=BA+AD BDA=BA+ADA=BAA+ADA()AB2+AC2-BC2AD2+AC2-CD2=-+22AD2+BC2-AB2-CD2=2所以有:15. 长方体
13、ABCDA1B1C1D1中,AB=AA1=2cm,AD=1cm,求异面直线A1C1与BD1所成的角。解:连结BC1、A1B在四面体为,易求得由定理得:所以二、向量法求异面直线所成的角16. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1的中心。求A1E和B1F所成的角的大小。解法一:(作图法)作图关键是平移直线,可平移其中一条直线,也可平移两条直线到某个点上。作法:连结B1E,取B1E中点G及A1B1中点H, 1 连结GH,有GH/A1E。过F作CD的平行线RS, 分别交CC1、DD1于点R、S,连结SH,连结GS。 B1 S 由B1H/C1D1/
14、FS,B1H=FS,可得B1F/SH。在GHS中,设正方体边长为a。 Q GH=a(作直线GQ/BC交BB1于点Q, 4B P E连QH,可知GQH为直角三角形),26a(连A1S,可知HA1S为直角三角形),GS=a(作直线GP交BC于点P,连241PD,可知四边形GPDS为直角梯形)。CosGHS=。611 所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为。 6解法二:(向量法) 分析:因为给出的立体图形是一个正方体,HS=所以可以在空间建立直角坐标系,从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量,从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。以B为原点,BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,
15、设BC长度为2则点A1的坐标为(0,2,2),点E的坐标为(1,0,1), 点B1的坐标为(0,0,2),点F的坐标为(2,1,1); 所以向量EA,向量B1F的坐标为(2,1,-1), 1的坐标为(-1,2,1)所以这两个向量的夹角满足 11=(-1)2+21+1(-1)(-1)2+(2)2+(1)2(2)2+(1)2+(-1)216=-1。 6所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为17. 已知空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,M、N分别为BC和AD的中点,设AM和CN所成的角为,求cos的值。(平移法也可)解:由已知得,空间向量,不共面, 且两两之间的夹角
16、均为60。由向量的加法可以得到11,NC=-+AC =(+AC)22所以向量与向量的夹角(即角或者的补角) 满足11(-AD+AC) AMNC=(AB+AC)22111=(-ABAD+ABAC+(-AD)AC+ACAC) 22211111=a2(-+-+1)=a2; 224241113|AM|2=(AB+AC)(AB+AC)=(1+1+1)a2= a2;2244111132|NC|2=(-AD+AC)(-AD+AC)=+1- a2= a2。所以cos=| cos|=。44322218. 已知空间四边形ABCD中,AB=CD=3,E、F分别是BC、AD上的点,且BE:EC=AF:FD=1:2,E
17、F=7,求AB和CD所成的角的大小。解:取AC上点G,使AG:GC=1:2。连结EG、FG,可知EG/AB,FG/CD,3EG=2AB,3FG=CD。 21由向量的知识可知=EG+GF=+, 33设向量和的夹角为。 2121E 则由|EF|2=(BA+CD)(BA+CD)=4+1+4cos=7, 33331得cos=,所以AB和CD所成的角为60。 219. (思考题)如图,已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120.求:(1)AC1的长; (2)直线BD1与AC所成的角的余弦值. 技巧与方法:数量积公式及向
18、量、模公式的巧用、变形用.解:(1)|AC1|2=AC1AC1=(AA1+)(AA1+)=(AA1+)(AA1+)=|AA1|2+|2+|2+2AA1+2AA1+2由已知得:|AA1|2=b2,|2=|2=a2=120,=9011AA1=bacos120=-ab,AA1=bacos120=-ab,=0,22|AC1|2=2a2+b2-2ab,|AC1|=2a2+b2-2ab.(2)依题意得,|=2a,=+BD1=+=AA1+-BD1=(+)(AA1+-)=AA1+AA1+AD2-AB2-=-ab|BD1|2=1BD1=(AA1+-)(AA1+-)=|AA1|2+|AD|2+|AB|2+2AA1
19、-2-2AA1=2a2+b2|BD1|=2a2+b2 cos=1b4a+2b22=-b4a+2b22 BD1与AC所成角的余弦值为.判断是非:(1)(3)(8)(10)正确,其余错;选择:1(C);2(D);3(D);4(D) 5(2)相交,(5)平行,其余异面;(6):(D),取AB中点M,CC1中点N,连B1E和B1F;(7)答案:(A),延长B1A1至M,使A1MA1D1,连MA,取AB中点N8(D);9(E);10(D);11(C); 三,取AD中点E,则MEN90; 四五7543,取AC中点F,连EF、BF,求得BEAD5,BFAC32; 121212,分别取AC、B1C1的中点P、
20、Q,则PMQN是矩形,设CC1MQa,则MPa; 251六,取AC中点F,连EF、BF,则EF4,BEBF3 6异面直线所成的角-作业班级: 姓名: 学号:一、判断是非(下列命题中,正确的打“”,错误的打“”)(1)梯形的四个顶点在同一平面内; (2)对边相等的四边形是平行四边形; (3)平行于同一直线的两直线平行; (4)垂直于同一直线的两直线平行; (5)两条直线确定一个平面; (6)经过三点可以确定一个平面; (7)无公共点的两直线异面; (8)两异面直线无公共点;(9)两异面直线可以同时平行于一直线; (10)两异面直线可以同时垂直于一直线; (11)不同在一个已知平面内的两直线异面;
21、 (12)互相垂直的两条直线必可确定一平面二、选择题1. 没有公共点的两条直线的位置关系是( )(A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定2. 分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( )(A)异面 (B)平行 (C)平行或异面 (D)平行或异面或相交3. 两条异面直线指的是( )(A)在空间不相交的两条直线 (B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 (C)分别位于两个不同平面的两条直线 (D)不同在任一平面内的两条直线4. a、b是异面直线,b、c也是异面直线,那么a、c的位置是( )(A)异面 (B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面5. 说出正方
22、体中各对线段的位置关系:(1) AB和CC1; (2)A1C和BD1; (3)A1A和CB1;(4)A1C1和CB1; (5)A1B1和DC; (6)BD1和DC.6. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是()(A(B(C)35(D)257. 如图,A1B1C1ABC是直三棱柱(三侧面为矩形),BCA=90,点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点 若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是( )(A8. 正方体ABCDA1B1C1D1中,直线BC1与AC(A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)
23、异面且垂直 (D)异面但不垂直9. 设a、b、c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:如果ab、bc,则ac; 如果a和b相交,b和c相交,则a和c也相交; 如果a、b是异面直线,c、b是异面直线,则a、c也是异面直线; 如果a和b共面,b和c共面,则a和c也共面, 在上述四个命题中,真命题的个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0 10. 如果直线l和n是异面直线,那么和直线l、n都垂直的直线 (A)不一定存在 (B)总共只有一条 (C)总共可能有一条,也可能有两条 (D)有无穷多条11. 如图,四面体SABC的各棱长都相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线
24、EF与SA所成的角等于(A)90 (B)60 (C)45 (D)30求MN和BD所成角的正切值BM A4NB S(第11题)1(B20515三如图,四面体ABCD中,ACBD,且AC4,BD3,M、N分别是AB、CD的中点,(第三题)四如图,四面体ABCD中,ABBC,ABBD,BCCD,且ABBC6,BD8,E是AD中点,求BE与CD所成角的余弦值五如图,正三棱柱的九条棱都相等,三个侧面都是正方体,M、N分别是BC和A1C1的中点。求MN与CC1所成角的余弦值。六如图,四面体ABCD中,E为AD中点,若ACCDDA8,ABBD5,BC7,求BE与CD所成角的余弦值。C85 8A6E8BD(第四题) A1AN1C (第五题)A4E4D7(第六题)
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