北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析.docx

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北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析

七年级下三角形综合题归类

一、双等边三角形模型

1.

（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结

BC．求∠AEB的大小；

（2）如图8，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求∠AEB的大小.

CB

B

C

EE

D

O

A

O

A

D

图7

图8

2.已知:

点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，且AN、BM相交于O.

①求证：

AN=BM

②求∠AOB的度数。

③若AN、MC相交于点P，BM、NC交于点Q，求证：

PQ∥AB。

（湘

N

潭·中考题）

M

O

PQ

ACB

同类变式：

已知，如图①所示，在

△ABC

和△ADE

中，

AB

AC

，AD

AE

，

BAC

DAE

，且点

B，A，D

在一条直线上，连接

BE，CD，M，N

分别为

BE，CD

的中点．

（1）求证：

①BECD；②AM

AN；

（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180

，其他条件不

变，得到图②所示的图形．请直接写出（

1）中的两个结论是否仍然成立.

C

C

N

N

E

D

A

M

B

M

B

D

A

E

图①

图②

4.如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H．

（1）证明：

△ABG≌△ADE；

（2）试猜想BHD的度数，并说明理由；

（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜BAE＜180°），设△

ABE的面积

为S1，△ADG的面积为S2，判断S1与S2的大小关系，并给予证明．

D

A

G

C

H

FE

B

5.已知：

如图，△ABC是等边三角形，过点G，在GD的延长线上取点E，使DE

（1）求证：

△AGE≌△DAC；

（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F

的三角形，试证明你的结论．

AB边上的点D作DG∥BC，交AC于DB，连接AE，CD．

，请你连接AF，并判断△AEF是怎样

A

EDG

BFC

二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）

考点1：

利用垂直证明角相等

1.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

求证：

（1）AE＝CD；

（2）若AC＝12cm，求BD的长．

考点2：

利用角相等证明垂直

1.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系

QA

F

DE

P

BC

2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：

CD=BF；

（2）求证：

AD⊥CF；

（3）连接AF，试判断△ACF的形状.

拓展巩固：

如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：

∠ADC＝∠BDE．

C

FD

AB

E

图9

（提示：

对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？

）

3.如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC.

（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；

（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为

（1）中的结论是否还成立？

若成立，给出证明；若不成

立，请说明理由.

4.

如图，

ABC

的边

BC在直线

l

上，AC

BC,

且

AC

BC,

EFP

的边

FP

也

1

在直线l

上，边EF与边AC重合，且EF

FP

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出

AB与AP所满足的

数量关系和位置关系；

（2）将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（3）将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ,你认为

（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关

系和位置关系还成立吗？

若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

A（E）EA

Q

B

C（F）

P

l

l

（1）

BF

（2）C

P

E

A

l

F

P

BC

（3）

Q

三、等腰三角形（中考重难点之一）

考点1：

等腰三角形性质的应用

1.如图，ABC中，ABAC，BAC90

，D是BC中点，ED

FD，ED与AB

交于E，FD与AC交于F．求证：

BE

AF，AECF．

A

F

E

B

D

C

2.两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,C

三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME,MC．试判断EMC的形状，并说明理由．

M

D

E

A

压轴题拓展：

（三线合一性质的应用）已知Rt

ABC中，ACBC

，C

90，D为

AB边的中点，EDF90

，EDF绕D点旋转，它的两边分别交

AC、CB（或它

们的延长线）于E、F．

当EDF绕D点旋转到DE

AC于E时（如图1），易证SDEFSCEF

1

SABC．当

2

EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论

是否成立?

若成立，请给予证明；若不成立，

SDEF，SCEF，SABC又有怎样的数

量关系？

请写出你的猜想，不需证明．

B

C

A

A

A

D

D

E

D

E

C

F

C

B

F

BC

FB

E

图1

图2

图3

提示：

此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。

3.已知：

如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE

⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。

1

（1）BF=AC

（2）CE=BF（3）CE与BC的大小关系如何。

2

考点2：

等腰直角三角形（45度的联想）

1.如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。

直角三角尺的一条

直角边

经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角

边与∠CBM

的平分线BF相交于点F.

⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：

①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；

②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；

③请证明你的上述两猜想.

⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点

N,

使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明

2.在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点

G.

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF

与CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．

①求证：

DG=DC

②判断FH与FC的数量关系并加以证明．

（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，

（1）中的其他条件不变，借助图2画出图形。

在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在

（1）中得出的结论是否发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明）

B

B

H

GG

F

A

DE

CA

D

C

图1

图2

E

同类变式：

（期末考试原题哦）已知：

△ABC为等边三角形，M是BC延长线上

一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60o角的顶点E在BC上滑动，（点

E不与点B、C重合），斜边与∠ACM的平分线CF交于点F

（1）如图

（1）当点E在BC边得中点位置时

○1猜想AE与EF满足的数量关系是.

○2连结点E与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系

是.

○3请证明你的上述猜想；

（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？

A

A

F

N

F

BECM

BCM图

（2）

图

（1）

四、角平分线问题

1.如图：

E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA,∠AEB=90°,设AD

＝x,

BC＝y，且x,y满足x2

y2

6x8y250

（1）求AD和BC的长；

（2）你认为AD和BC还有什么关系？

并验证你的结论；

（3）你能求出AB的长度吗？

若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.

EC

D

AB

2.如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、

∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。

请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而

（1）中的其它条件不变，

请问，你在

（1）中所得结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，

B

请说明理由。

M

B

E

E

F

D

F

D

O

P

A

C

C

图①

N

A

图③

图②

（第23题图）

3.（北京市中考模拟题

）如图，在四边形

ABCD中，AC平分

BAD，过C作

CEAB于E，并且AE

1

ABCADC等于多少？

（ABAD），则

2

D

C

AB

E

4.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于

F.

A

的理由；（）如果

a，

b，求

、

（1）说明BE=CF

2

AB=

AC=

AEBE

的长.

E

B

G

C

F

D

5、在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，AD=BD，求证：

CD⊥AC

A

B

C

D

6、如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．

1

（1）若BD平分∠ABC，求证CE=BD；

2

（2）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。

C

E

D

BA

7已知：

如图E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC。

（1）求证：

∠ABE=∠C；

（2）若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=5，AC=8，求DC

的长。

A

E

D

F

B

C

五、中点问题

1.在△ABC中,

D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于F,

交AC的平行

线

BG于点G。

DE

GF,并交AB于点E.

连结EG.

（1）求证:

BG

CF；

（2）请猜想BE

CF与EF的大小关系,

并加以证明

2.如右下图，在ABC中，若B2C，ADBC，E为BC边的中点．求

证：

AB2DE．

A

BDEC

3.已知ABC中，ABAC，BD为AB的延长线，且BDAB，CE为ABC的AB边上的中线．求证CD2CE（提示：

倍长中线试试）

C

AEBD

附加思考题：

（此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究）以ABC的两

边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90.连

接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：

AM与DE的位置关系及数量关系．

⑴如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是；线段AM与

DE的数量关系是；

⑵将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转（090）后，如图②所示，⑴

问中得到的两个结论是否发生改变？

并说明理由．

D

ND

N

E

AE

A

B

M

C

BMC

图①

图②

6、问题：

已知△ABC中，BAC2ACB，点D是△ABC内的一点，且ADCD，BDBA．探究DBC与ABC度数的比值．

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．

B

（1）当BAC90时，依问题中的条件补全右图．

C

A

观察图形，AB与AC得数量关系为________；

当推出

DAC15

时，可进一步推出DBC

的度数为_______；

可得到

DBC与

ABC度数的比值为_________．

（2）当BAC90时，请你画出图形，研究

DBC与

ABC度数的比值是否

与

（1）中的结论相同，写出你的猜想并加

以证

明．

B

D

CA

图1

8、

（1）如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,

CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.

求证：

BE＝CF.

（2）如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF

＝4.求GH的长.

（3）已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,

∠FOH＝90°,EF＝4.直接写出下列两题的答案：

①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；

②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长（用n的代数式表

示）.