北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析.docx

1、北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析七年级下三角形综合题归类一、 双等边三角形模型1. （1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB和等边三角形 OCD，连结 AC和 BD，相交于点 E，连结BC求 AEB的大小；（ 2）如图 8， OAB 固定不动，保持 OCD的形状和大小不变，将 OCD绕着点 O 旋转（ OAB 和 OCD不能重叠），求 AEB的大小 .C BBCE EDOAOAD图 7图 82. 已知 :点 C 为线段 AB 上一点， ACM,CBN 都是等边三角形，且 AN、BM 相交于 O. 求证： AN=B

2、M 求 AOB 的度数。 若 AN、MC 相交于点 P，BM、NC交于点 Q，求证： PQAB。（ 湘N潭中考题）MOP QA C B同类变式： 已知，如图所示，在 ABC和 ADE中，ABAC， ADAE，BACDAE，且点B， A， D在一条直线上，连接BE， CD， M ， N分别为BE， CD的中点（1）求证： BE CD ； AMAN ；（2）在图的基础上，将 ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转 180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立 .CCNNEDAMBMBDAE图图4. 如图，四边形 ABCD和四边形 AEFG均为正方形，连接 BG与 DE

3、相交于点 H（1）证明： ABG ADE ；（2）试猜想 BHD的度数，并说明理由；（3）将图中正方形 ABCD绕点 A 逆时针旋转（ 0 BAE 180），设ABE的面积为 S1 ， ADG的面积为 S2 ，判断 S1 与 S2 的大小关系，并给予证明DAGCHF EB5.已知：如图， ABC 是等边三角形，过点 G ，在 GD 的延长线上取点 E ，使 DE（ 1）求证： AGE DAC ；（ 2）过点 E 作 EF DC ，交 BC 于点 F的三角形，试证明你的结论AB 边上的点 D 作 DG BC ，交 AC 于 DB ，连接 AE， CD ，请你连接 AF ，并判断 AEF 是怎样A

4、E D GB F C二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点 1：利用垂直证明角相等1. 如图，ABC 中，ACB90，AC BC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC 交 CF 的延长线于 D求证：（ 1） AECD； （2）若 AC12 cm，求 BD 的长考点 2：利用角相等证明垂直1. 已知 BE，CF是 ABC的高，且 BP=AC，CQ=AB，试确定 AP与 AQ的数量关系和位置关系Q AFD EPB C2. 如图，在等腰 Rt ABC中， ACB=90， D 为 BC的中点， DE AB，垂足为 E，过点 B 作

5、BFAC交 DE的延长线于点 F，连接 CF(1) 求证： CD=BF；(2) 求证： ADCF；(3) 连接 AF，试判断 ACF的形状 .拓展巩固： 如图 9 所示， ABC是等腰直角三角形， ACB90， AD 是 BC边上的中线，过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证： ADC BDECF DA BE图 9（提示：对比此题的条件和上面那题的条件， 对比此题的图形和上题的图像， 有什么区别和联系？ ）3. 如图 1，已知正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 DEFG 的边 DE 上，连接 AE ，GC .（1）试猜想 AE 与 GC 有怎样的位置关系，并

6、证明你的结论；（ 2）将正方形 DEFG 绕点 D 按顺时针方向旋转， 使 E 点落在 BC 边上，如图 2，连接 AE 和 GC .你认为（ 1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 .4.如图 ，ABC的边BC在直线l上， ACBC,且ACBC,EFP的边FP也1在直线 l上，边 EF 与边 AC 重合，且 EFFP（ 1） 在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系；（ 2） 将 EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的位置时， EP 交 AC 于点 Q , 连接 AP, BQ . 猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量

7、关系和位置关系， 请证明你的猜想；（ 3）将 EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时， EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q,连结 AP, BQ , 你认为（ 2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 .A (E) E AQBC (F)Pll(1)BF (2) CPEAlFPBC(3)Q三、 等腰三角形（中考重难点之一）考点 1：等腰三角形性质的应用1. 如图， ABC 中， AB AC ， BAC 90， D 是 BC 中点， EDFD ， ED 与 AB交于 E ， FD 与 AC 交于 F 求证： BEAF

8、 ， AE CF AFEBDC2. 两个全等的含 30 ，60 角的三角板 ADE 和三角板 ABC ，如图所示放置， E , A, C三点在一条直线上，连结 BD ，取 BD 的中点 M ，连结 ME, MC 试判断 EMC 的形状，并说明理由MDEA压轴题拓展：（三线合一性质的应用） 已知 RtABC 中， AC BC， C90 ，D 为AB 边的中点， EDF 90， EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交AC 、 CB （或它们的延长线）于 E 、 F 当 EDF 绕 D 点旋转到 DEAC 于 E 时（如图 1），易证 S DEF S CEF1S ABC 当2EDF 绕 D 点旋转到

9、 DE 和 AC 不垂直时， 在图 2 和图 3 这两种情况下， 上述结论是否成立 ? 若成立，请给予证明；若不成立，S DEF ， S CEF ， S ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明BCAAADDEDECFCBFBCFBE图 1图 2图3提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。3. 已知：如图， ABC中， ABC=45， CD AB 于 D，BE 平分 ABC，且 BE AC于 E，与 CD相交于点 F，H 是 BC边的中点，连结 DH 与 BE相交于点 G。1(1) BF=AC(2) CE= BF (3)CE与 BC的大小关系如何。2考点 2：等腰直角三角

10、形（ 45 度的联想）1. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形， M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合），另一条直角边与 CBM的平分线 BF 相交于点 F. 如图 141，当点 E 在 AB 边的中点位置时： 通过测量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 ； 连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 ； 请证明你的上述两猜想 . 如图 142，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点N,使得 NE=BF，进而猜想此时 D

11、E 与 EF 有怎样的数量关系并证明2. 在 RtABC中， AC BC， ACB90，D 是 AC 的中点， DGAC 交 AB 于点G.（ 1）如图 1， E 为线段 DC上任意一点，点 F 在线段 DG 上，且 DE=DF，连结 EF与 CF，过点 F 作 FHFC，交直线 AB 于点 H求证： DG=DC判断 FH与 FC的数量关系并加以证明（2）若 E 为线段 DC的延长线上任意一点，点 F 在射线 DG 上，(1)中的其他条件不变，借助图 2 画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形， 并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变 （本小题直接写出结论，不必证明）BBHG GFADE

12、C ADC图 1图 2E同类变式：（期末考试原题哦） 已知： ABC为等边三角形， M 是 BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 A，且 60o 角的顶点 E 在 BC上滑动，（点E 不与点 B、 C 重合），斜边与 ACM 的平分线 CF交于点 F （1）如图（ 1）当点 E 在 BC边得中点位置时1 猜想 AE 与 EF满足的数量关系是 .2 连结点 E 与边得中点，猜想和满足的数量关系是 .3请证明你的上述猜想；（）如图（）当点在边得任意位置时，和 EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？AAFNFB E C MB C M 图（ 2）图（1）四、 角平分线问题1. 如图： E 在

13、线段 CD上， EA、 EB 分别平分 DAB和 CBA, AEB=90, 设 AD x ,BC y ，且 x , y 满足 x2y26x 8 y 25 0（ 1）求 AD和 BC的长；（ 2）你认为 AD和 BC还有什么关系？并验证你的结论；（ 3）你能求出 AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由 .E CDA B2. 如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法， 解答下列问题：（1）如图，在 ABC中，ACB是直角， B=60，AD、CE分别是 BAC、BCA的平分线， AD、CE相交于点

14、F。请你判断并写出 FE与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在 ABC中，如果 ACB不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，B请说明理由。MBEEFDFDOPACC图NA图图(第 23 题图 )3. (北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD 中 ， AC 平分BAD ，过 C 作CE AB于 E ，并且 AE1ABCADC 等于多少？( AB AD ) ，则2DCA BE4. 如图， ABC中，AD平分 BAC，DG BC且平分 BC，DEAB于 E，DF AC于F.A的理由；（ ）如果a ，b ，求、（ 1）说明 BE=

15、CF2AB=AC=AE BE的长 .EBGCFD5、在 ABC中， AB=2AC，AD平分 BAC，AD=BD，求证： CD ACABCD6、如图，已知在 ABC中， BAC为直角， AB=AC，D 为 AC上一点， CEBD于 E1（ 1）若 BD平分 ABC，求证 CE= BD；2（ 2）若 D为 AC上一动点， AED如何变化， 若变化，求它的变化范围； 若不变，求出它的度数，并说明理由。CEDB A7 已知：如图 E 在 ABC的边 AC上，且 AEB=ABC。(1) 求证： ABE= C；(2) 若 BAE的平分线 AF 交 BE于 F， FDBC交 AC于 D，设 AB=5， AC

16、=8，求 DC的长。AEDFBC五、中点问题1. 在 ABC中,D 为 BC 的中点， 过 D 点的直线 GF 交 AC 于 F ,交 AC 的平行线BG 于点 G 。 DEGF , 并交 AB 于点 E .连结 EG .（1）求证 : BGCF ；（2）请猜想 BECF 与 EF 的大小关系 ,并加以证明2. 如右下图，在 ABC 中，若 B 2 C ， AD BC ， E 为 BC 边的中点求证： AB 2DE AB D E C3. 已知 ABC 中， AB AC ， BD 为 AB 的延长线，且 BD AB ， CE 为 ABC 的 AB 边上的中线求证 CD 2CE （提示：倍长中线试

17、试）CA E B D附加思考题：（此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究） 以 ABC 的两边 AB 、 AC 为腰分别向外作等腰 Rt ABD 和等腰 Rt ACE ， BAD CAE 90 .连接 DE ， M 、 N 分别是 BC 、 DE 的中点探究： AM 与 DE 的位置关系及数量关系如图 当 ABC为直角三角形时， AM 与 DE 的位置关系是 ；线段 AM 与DE 的数量关系是 ；将图中的等腰 Rt ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转 ( 0 90 )后，如图所示，问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由DN DNEA EABMCBMC图图6、问题：已知 ABC 中， B

18、AC 2 ACB，点 D 是 ABC 内的一点，且 AD CD ， BD BA 探究 DBC 与 ABC 度数的比值请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明B（ 1）当 BAC90 时，依问题中的条件补全右图CA观察图形， AB 与 AC 得数量关系为 _；当推 出DAC 15时， 可进 一 步推 出 DBC的 度 数 为 _ ；可得到DBC 与ABC 度数的比值为 _（ 2）当 BAC90 时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与（ 1）中的结论相同，写出你的猜想并加以 证明BDC A图18、(1) 如图 1,在正方形 ABCD中 ,点 E,F 分别在边 BC,CD上,AE,BF交于点 O,AOF 90.求证： BE CF.(2) 如图 2,在正方形 ABCD中,点 E,H,F,G分别在边 AB, BC,CD,DA 上,EF,GH 交于点 O,FOH 90,EF 4.求 GH 的长 .(3) 已知点 E,H,F,G 分别在矩形 ABCD的边 AB,BC,CD,DA 上， EF,GH 交于点 O,FOH90,EF 4. 直接写出下列两题的答案：如图 3,矩形 ABCD由 2 个全等的正方形组成 ,求 GH 的长；如图 4,矩形 ABCD由 n 个全等的正方形组成 ,求 GH 的长 (用 n 的代数式表示 ).