高中数学会考知识点总结超级经典.docx
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高中数学会考知识点总结超级经典
数学学业水平复习知识点
第一章集合与简易逻辑
1、集合
（1）、定义：
某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{}。
（2）、集合的表示法：
列举法（）、描述法（）、图示法（）；
（3）、集合的分类：
有限集、无限集和空集（记作，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）；
（4）、元素a和集合A之间的关系：
a∈A，或aA；
（5）、常用数集：
自然数集：
N；正整数集：
N；整数集：
Z；整数：
Z；有理数集：
Q；实数集：
R。
2、子集
（1）、定义：
A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集；记作：
AB，
注意：
AB时，A有两种情况：
A＝φ与A≠φ
（2）、性质：
①、AA,A；②、若AB,BC，则AC；③、若AB,BA则A=B；
3、真子集
（1）、定义：
A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A；记作：
AB；
（2）、性质：
①、A,A；②、若AB,BC，则AC；
4、补集
CUA
A
①、定义：
记作：
CA{x|xU,xA}
U且；
②、性质：
ACAACAUCCAA
U，，（）；
UUU
5、交集与并集
A
B
（1）、交集：
AB{x|xA且xB}
性质：
①、AAA,A②、若ABB，则BA
（2）、并集：
AB{x|xA或xB}
A
B性质：
①、AAA,AA②、若ABB，则AB
1
6、一元二次不等式的解法：
（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）
2-4ac000判别式：
△=b
y
y
二次函数y
f（x）
2bxca
ax（
的图象
0）
O
x1x2x
x
x
x1=x2
O
O
一元二次方程有两相异实数根有两相等实数根没有实数根
2bxca
ax0（0）的根
x1,x2（x1x2）
x
1
x
2
b
2a
一元二次不等式
{x|xx1,xx2}
{
b
xR
|x}
2a
2bxca
ax0（0）的解集
“＞”取两边
一元二次不等式
{x|x1xx2}
2bxca
ax0（0）的解集
“＜”取中间
不等式解集的边界值是相应方程的解
22
含参数的不等式ax＋bx＋c>0恒成立问题含参不等式ax＋bx＋c>0的解集是R；
其解答分a＝0（验证bx＋c>0是否恒成立）、a≠0（a<0且△<0）两种情况。
第二章函数
1、映射：
按照某种对应法则f，集合A中的任何一个元素，在B中都有唯一确定的元素和它对应，
记作f：
A→B，若aA,bB，且元素a和元素b对应，那么b叫a的象，a叫b的原象。
2、函数：
（1）、定义：
设A，B是非空数集，若按某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，
集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，就称f：
A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），
（2）、函数的三要素：
定义域，值域，对应法则；自变量x的取值范围叫函数的定义域，函数值f（x）的
范围叫函数的值域，定义域和值域都要用集合或区间表示；
（3）、函数的表示法常用：
解析法，列表法，图象法（画图象的三个步骤：
列表、描点、连线）；
（4）、区间：
满足不等式axb的实数x的集合叫闭区间，表示为：
[a，b]
满足不等式axb的实数x的集合叫开区间，表示为：
（a，b）
满足不等式axb或axb的实数x的集合叫半开半闭区间，分别表示为：
[a，b）或（a，b]；
2
（5）、求定义域的一般方法：
①、整式：
全体实数，例一次函数、二次函数的定义域为R；
②、分式：
分母0，0次幂：
底数0，例：
y
2
1
|3x
|
③、偶次根式：
被开方式0，例：
y25x2
④、对数：
真数0，例：
log（11）
ya
x
（6）、求值域的一般方法：
①、图象观察法：
y
|x|
0.2
1
②、单调函数：
代入求值法：
3]
ylog2（3x1）,x[
3
2xx2x③、二次函数：
配方法：
yx4,[1,5），yx22
④、“一次”分式：
反函数法：
y
x
2x
1
⑤、“对称”分式：
分离常数法：
y
2
2
sin
sin
x
x
⑥、换元法：
yx12x
（7）、求f（x）的一般方法：
①、待定系数法：
一次函数f（x），且满足3f（x1）2f（x1）2x17，求f（x）
11
2
②、配凑法：
f（x）x求f（x）
2
xx
③、换元法：
f（x1）x2x，求f（x）
④、解方程（方程组）：
定义在（-1，0）∪（0，1）的函数f（x）满足
1
2f（x）f（x），求f（x）
x
3、函数的单调性：
（1）、定义：
区间D上任意两个值
x1,x，若x1x2时有f（x1）f（x2），称f（x）为D上增函数；
2
若x1x2时有f（x1）f（x2），称f（x）为D上减函数。
（一致为增，不同为减）
（2）、区间D叫函数f（x）的单调区间，单调区间定义域；
（3）、判断单调性的一般步骤：
①、设，②、作差，③、变形，④、下结论
（4）、复合函数yf[h（x）]的单调性：
内外一致为增，内外不同为减；
1x1x
4、反函数：
函数yf（x）的反函数为yf（）；函数yf（x）和yf（）互为反函数；
1y1x1x反函数的求法：
①、由yf（x），解出xf（），②、x,y互换，写成yf（），③、写出yf（）
的定义域（即原函数的值域）；
3
1x反函数的性质：
函数yf（x）的定义域、值域分别是其反函数yf（）的值域、定义域；
1x
函数yf（x）的图象和它的反函数yf（）的图象关于直线yx对称；
点（a，b）关于直线yx的对称点为（b，a）；
5、指数及其运算性质：
（1）、如果一个数的n次方根等于a（
*
n1,nN），那么这个数叫a的n次方根；
na叫根式，当n为奇数时，aa
nn
；当n为偶数时，
nn
a
|a|
a（a
a（a
0）
0）
（2）、分数指数幂：
正分数指数幂：
m
nm
an；负分数指数幂：
a
a
m
n
1
m
a
n
0的正分数指数幂等于1，0的负分数指数幂没有意义（0的负数指数幂没有意义）；
1
（3）、运算性质：
当a0,b0,r,sQ时：
rasarsarsarsabrarbr
a,（）,（），
raa
r
；
b
6、对数及其运算性质：
（1）、定义：
如果aN（a0,a1）
，数b叫以a为底N的对数，记作logNb，
a
其中a叫底数，N叫真数，以10为底叫常用对数：
记为lgN，以e=2.7182828,为底叫自然对数：
记为lnN
（2）、性质：
①：
负数和零没有对数，②、1的对数等于0：
loga10，③、底的对数等于1：
logaa1，
M
logaloglog，aaaa
N
1nn
logaMloga，a
n
7、指数函数和对数函数的图象性质
函数指数函数对数函数
定义yax（a0且a1）yx
log（a0且a1）
a
a>1010图象
y
x
y=a
x
y=a
y
y
y=logax
y
（非奇非偶）
x
1
1
O1
x
O1
y=logax
OxOx
定义域（-∞，+∞）（-∞，+∞）（0，+∞）（0，+∞）
值域（0，+∞）（0，+∞）（-∞，+∞）（-∞，+∞）
4
性
单调性在（-∞，+∞）在（-∞，+∞）在（0，+∞）在（0，+∞）
上是增函数上是减函数上是增函数上是减函数
函数值1,x01,x00,x10,x1
变化
x
a
x
1,x0a1,x0logx0,x1logx0,x1
aa
1,x01,x00,0x10,0x1质
图
定点1,
0
a过定点（0，1）loga10,过定点（1，0）
象
图象
特征
x
a0,图象在x轴上方x0,图象在y轴右边
图象
x
ya的图象与ylogax的图象关于直线yx对称
关系
第三章数列
（一）、数列：
（1）、定义：
按一定次序排列的一列数叫数列；每个数都叫数列的项；
数列是特殊的函数：
定义域：
正整数集N（或它的有限子集{1，2，3，,，n}），
值域：
数列本身，对应法则：
数列的通项公式；
（2）、通项公式：
数列{an}的第n项an与n之间的函数关系式；例：
数列1，2，,，n的通项公式an=n
n1
1，-1，1，-1，,，的通项公式an=
（1）；0，1，0，1，0，,，的通项公式an
1
（
2
n
1）
（3）、递推公式：
已知数列{
a}的第一项，且任一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系用一个
n
公式表示，这个公式叫递推公式；例：
数列{an}：
a11，
1
a1，求数列{an}的各项。
na
n1
（4）、数列的前n项和：
Sna1a2a3an；数列前n项和与通项的关系：
a
n
a
1
S
n
S
1
S
n
（n
（n
1
1）
2）
（二）、等差数列：
（1）、定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
（2）、通项公式：
ana1（n1）d（其中首项是a1，公差是d；整理后是关于n的一次函数），
（3）、前n项和：
1．
n（a1an）n（n1）
S2.Snna1d（整理后是关于n的没有常数项的二次函数）
n
22
（4）、等差中项：
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
即：
ab
A或2Aab
2
5
[说明]：
在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项
的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
（5）、等差数列的判定方法：
①、定义法：
对于数列
a，若an1and（常数），则数列an是等差数列。
n
②、等差中项：
对于数列
a，若
n
2
anaa，则数列
1nn2
a是等差数列。
n
（6）、等差数列的性质：
①、等差数列任意两项间的关系：
如果
a是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，公
n
差为d，则有aanmd
n（）
m
②、等差数列
a，若nmpq，则
n
anaaa。
mpq
a
1
a
n
也就是：
a1ana2an1a3an2，如图所示：
aa,,an,a,a
2a3,21
1nn
a
2
a
n
1
③、若数列
a是等差数列，Sn是其前n项的和，
n
*
k，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等差数列。
N
S
3k
如下图所示：
a
1
a
2
a
3
akaaaa
k12k2k13k
S
k
S
2k
S
k
S
3k
S
2k
④、设数列an是等差数列，
S
奇
是奇数项的和，
S
偶
是偶数项项的和，Sn是前n项的和，
则有：
前n项的和SS奇S偶
n，当n为偶数时，
S
偶
S奇
n
2
d
，其中d为公差；
SSa
当n为奇数时，则奇偶中
，
n1
S奇a
2
中
，
n1
S偶a
2
中
（其中a中是等差数列的中间一项）。
⑤、等差数列
a的前2n1项的和为S2n1，等差数列bn的前2n1项的和为
n
'
S，则
2n1
a
n
b
n
S
2n
'
S
2n
1
1
。
（三）、等比数列：
（1）、定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，
那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0）。
（2）、通项公式：
n1
anaq（其中：
首项是a1，公比是q）
1
（3）、前n项和]
na,（q1）
1
n
Saaqa（1q）
n（推导方法：
乘公比，错位相减）
1n1
（q1）
1q1q
n
a（1q）aaq
1qS1nq
说明：
①Sn
（1）○2
（1）
n
1q1q
○3当q1时为常数列，Snna1，非0的常数列既是等差数列，也是等比数列
6
（4）、等比中项：
如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
也就是，如果是的等比中项，那么
G
a
b
G
2
，即Gab
（或Gab，等比中项有两个）
（5）、等比数列的判定方法：
①、定义法：
对于数列
a
n1qq，则数列
a，若（0）
n
a
n
a是等比数列。
n
②、等比中项：
对于数列
a，若
n
2
anaa，则数列an是等比数列。
n2n1
（6）、等比数列的性质：
①、等比数列任意两项间的关系：
如果
a是等比数列的第n项，
n
a是等比数列的第m项，且mn，
m
公比为q，则有nm
anaq
m
②、对于等比数列
a，若nmuv，则
n
a
naaa
muv
a
1
a
n
也就是：
a1ana2an1a3an2。
如图所示：
aa,
2a3,,a21
n,a,a
1nn
a
2
a
n
1
③、若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，
*
k，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。
N
S
3k
如下图所示：
a
1
a
2
a
3
a
kaaaa
k12k2k13k
S
k
S
2k
S
k
S
3k
S
2k
（7）、求数列的前n项和的常用方法：
分析通项，寻求解法
123
n（n1）1
2
222n2nnn
n，135（2n1）n，123
（1）（21）
26
12n
①公式法：
“差比之和”的数列：
（235）（235）（235）
n1
②、并项法：
1234
（1）n
③、裂项相消法：
1
1
2
1
6
（
1
n1）n
1111
122334nn1
④、到序相加法：
⑤、错位相减法：
“差比之积”的数列：
12x3x
2
n
nx
1
第四章三角函数
1、角：
（1）、正角、负角、零角：
逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角；
（2）、与终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合{|k360,kZ}
7
（3）、象限的角：
在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象
限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。
2、弧度制：
（1）、定义：
等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。
（2）、度数与弧度数的换算：
180弧度，1弧度
（3）、弧长公式：
l||r（是角的弧度数）
180
（
）57
'
18
y
P（x，y）
扇形面积：
S
1
2
lr
1
2
|
|
r
2
r
2y
x
2
0
r
0
x
3、三角函数
（1）、定义：
（如图）
（2）、各象限的符号：
cos
y
r
x
r
tan
cot
y
x
x
y
sec
csc
r
x
r
y
y
y
cos
_
+
sin
+
+
Ox
x
O
__
_
+
_
+
y
O
tan
sin+
x_
（3）、特殊角的三角函数值
的角度030456090120135150180270360
的弧度0
2
64323
3
4
5
6
32
2
sin0
1
2
2
2
31
2
3
2
2
2
1
2
010
cos1
3
2
2
2
10
2
1
2
2
2
3101
2
tan0
313—31
3
30—0
3
4、同角三角函数基本关系式
sincos
（１）平方关系：
（２）商数关系：
（３）倒数关系：
sin
2
2
cos
1
sin
tantancot1
cos
tancot
1
1
2sec2
tan
cos
cotsincsc1
sin
2csc
2
1cotcossec1
seccsc
（4）同角三角函数的常见变形：
（活用“1”）
①、
21cos
2
sin，
2
sin1cos；
21sin2
cos，
2
cos1sin；
8
②
tancot
2
cos
sin
sin
cos
2
2
sin2
22
cossin2cos2
，cottan2cot2
sincossin2
2
③（sincos）12sincos1sin2
，1sin2|sincos|
5、诱导公式：
（奇变偶不变，符号看象限）
公式一：
sin（k360）sin cos（k360）cos tan（k360）tan
公式二：
公式三：
公式四：
公式五：
sin（180）sinsin（180）sinsin（）sinsin（360）sin
cos（180）coscos（180）coscos（）coscos（360）cos
tan（180）tantan（180）tantan（）tantan（360）tan
sin（）cos
2
sin（）cos
2
3
sin（
2
）cos
sin（
3
2
）
cos
补充：
cos（）sin
cos（）sin
2
2
3
cos（
2
）sin
3
cos（
2
）sin
tan（）cottan（）cot
2
2
3
tan（
2
）
cot
3
tan（
2
）
cot
6、两角和与差的正弦、余弦、正切
S：
sin（）sincoscossinS（）：
sin（）sincoscossin
（）
C：
cos（a）coscossinsinC（）：
cos（a）coscossinsin
（）
T：
（）
tan（）
tan
1tan
tan
tan
T：
（）
tan（）
tan
1tan
tan
tan
T的整式形式为：
tantantan（）（1tantan）
（）
例：
若AB45，则（1tanA）（1tanB）2．（反之不一定成立）
8、二倍角公式：
（1）、S2：
sin22sincos
（2）、降次公式：
（多用于研究性质）
C：
2
1
2sin2
cos2cossincossin2
2
122
2sin2cos
1
sin
2
1
cos
2
2
1
2
cos2
1
2
T：
2
ta2n
1
2
tan
2
tan
2
cos
1
cos
2
2
1
2
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