三角形的边角关系.docx

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三角形的边角关系

三角形的三边关系

1.三角形的概念

不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.

1三角形有三条边，三个内角，三个顶点.

2组成三角形的线段叫做三角形的边；

3相邻两边所组成的角叫做三角形的内角简称角；

4相邻两边的公共端点是三角形的顶点，

5三角形ABC用符号表示为AABC,

6三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，EC可用a表示.

注意：

1:

三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接

2:

三角形是一个封闭的图形；

3:

AABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义例

例1图中三角形的个数是（）

A.8B.9C.10D.11

2.三角形的三边关系

三角形的任意两边之和大于第三边；

三角形的任童两边之差小于第三边.

注意：

1：

三边关系的依据是：

两点之间线段是短

2:

判断三条线段能否构成三角形的方法：

只要满足较小的两条线段之和人于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.

3:

三角形第三边的取值范闌是：

两边之差<第三边<两边之和

例1:

已知四组线段的长分别如卞，以各组线段为边，能组成三角形的是（）

A.1,2,3B.2,5,8C.3,4,5D.4,5,10

例2：

下列各组条件中，不能组成三角形的是（）

A.a+1、a+2、a+3（a>3）B3cm、8cm>10cm

C.三条线段之比为123D・3a.5a、2a+l（a>l）

例3.AABC的三边长分别为4、9、x,

⑴求X的取值范围；

⑵求AAEC周长的取值范|制；

⑶当x为偶数时，求x；

⑷当AAEC的周长为偶数时，求X：

⑸若AAEC为等腰三角形，求x.

课堂练习

1.已知长度为2cm3cmAcm3an的四条线段，能组成多少个不等边三角形？

2.已知等腰三角形的周长是14伽，底边与腰的比为3:

2,求各边的长.

3.在44BC中，43=9,BC=2,并且AC为奇数，那么\ABC的周长是多少?

4.如图，D是MBC内任意一点，BD延长线与AC交于E点，连结DC.

求证：

AB+AC>BD+DC..

3.三角形的高、中线、角平分线

（1）三角形的高：

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段.

注意：

1三角形的高是线段；

2锐角三角形三条高全在三角形的内部；

直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形外，另一条在内部。

3三角形三条高所在直线交于一点.

（2）三角形中线：

连结一个顶点和它对边中点的线

注意：

1三角形的中线是线段；

2三角形三条中线全在三角形的内部；

3三角形三条中线交于三角形内部一点；

4中线把三角形分成两个面积相等的三角形.

（3）三角形的角平分线：

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段。

注意：

1三角形的角平分线是线段;

2三角形三条角平分线全在三角形的内部；

3三角形三条角平分线交于三角形内部一点；

4用量角器画三角形的角平分线.

例1.如图，AD是MBC的中线；BE是AABC的角平分线，CF是\ABC的高，则

例2.如图，ZACB=90°,CD丄4〃于D则BC边上的高是,AC边上的高是

AB边上的高是,三条高的交点是.

课堂练习

1.下面说法中错误的是（）

（A）三角形的三条中线都在形内；（E）三角形的三条高线都在形内；

（C）三角形的三条内角平分线都在形内；（D）直角三角形有两条高线与直角边重合.

2•下列说法中正确的是（）

A.如图1,由AB.BC、DE三角形线段组成的图形是三角形.

B.如图2,已知ZBAD=ZCAD,则射线AD是\ABC的角平分线.

C.如图，已知点D为BC的中点，贝IJ线段AE为AABC的中线.

D.如图，已知AABC中，丄BC于点D,则线段AD是AABC的高.

3、如下图，在ZkABC中，已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点，且Saabc=4cid2,则S阴影

等于（

）

A.2cm"

B.lcm:

1,

C・一cm"

2

1.

D.—cm"

4

4.三角形的分类:

（1）：

按边分类

不等边三角形

三角形哲博=住形丿腰与底不相等的等腰三角形寺肢一用U腰与底相等的等边三角形

（2）:

按角分类

5.三角形的内角和定理：

三角形的内角和等于180。

6.

（1）三角形的外角和等于它不相邻的两个内角和；

（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

例1.在\ABC中，

（1）ZA=80°,ZB=ZC,则Z5二；

（2）ZA-ZC=35°,ZB-ZA=20°,则Z5二；

（3）ZC=90°,ZA=30。

，则Z5二•

例2.—个三角形的一个外角是它相邻内角的1.5倍，是一不相邻内角的3倍，求这个三角形的各内角.

课堂练习

1.如图2,已知ZA=27°,ZCBE=96°,ZC=30°.求：

Z4DE的人小.

2.已知：

BD为^ABC的角平分线，CD为MBC的外角的ZACE的平分线，它与BD的延长线交于D（如图3）求证：

ZA=2ZD

考点专题

一.判断三条已知线段能否组成三角形:

1•下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）

A・1,1,2B・3,7,11C・6,8,9D・3,3,6

2、已知三条线段的比是:

①1:

3:

4;②1:

2:

3;③1:

4:

6;@3:

3:

6;⑤6:

6:

10;⑥3:

4:

5.其中可构

成三角形的有（）

A・1个B.2个C.3个D.4个

3、长为10、7、5、3的四跟木条，选其中三根组成三角形有—种选法。

4、己知线段3cm,5cm,xcm,x为偶数，以3,5,x为边能组成个三角形

二判断第三边的取值范围

1、设三角形三边之长分别为3,8,l-2a,则a的取值范围为（）

A.—62

2、如果三角形的两边长分别为3和5,则周长L的取值范|制是（）

A.6

3、若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是;

4、用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。

（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？

（2）能闱成有一边长为4cm的等腰三角形吗？

为什么？

3.求三角形的边长或周长

1、己知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cn）,则它的最短边长为（）

A.2cmB・3cmC・4cmD・5cm

2、等腰三角形的一边长为3cm,周长为19cm,则该三角形的腰长为（）cm.

A、3B、8C、3或8D、以上答案均不对

3、己知三角形的周长为15cm,其中的两边长都等于第三边长的2倍，贝I肚个三角形的最短边长是三、解答题

4、一个等腰三角形，周长为20cm,一边长6cm,求其他两边长。

5、己知等腰三角形的两边长分别为4,9,求它的周长.

6、如图，在AABC中，AB二AC,AC上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分,

求三角形各边的长.

4.证明线段间的不等关系

1、P是AABC内一点，说明PA+PB+PO丄（AB+BC+AC）.

2

2、如图，已知P是ZiABC内任意一点，则有AB+AOPB+PC.

3.如图所示，在△/（：

中，D是BA上一点，则AB+2CD>AC+BC吗？

说明你的理由.

4•如图，己知AABC中，AB=AC,D在AC的延长线上.求证：

BD-BC

5.与三角形有关的角度计算

1•如图,将一副三角板折春放在一起,使直角的顶点重合于点0,则ZAOC+ZDOB二

2.将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D.已知zA二zEDF二90。

AB二AC.zE二30°,zBCE=40°,贝（JzCDF二.

3•如图中有四条互相不平行的直线Li、L2、匕、L4所截出的七个角•关于这七个角的度数关系,下列何者正确（）

A.z2=z4+z7B.z3=zl+z6

C.zl+z4+z6=180°D.z2+z3+z5=360°

4.如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D,C分别落在D‘，C'的位置,ED'与BC的交点为G,若ZEFG二55°,求Z1和Z2的度数？

5.在AAEC中，ZA+ZE=ZC,ZE=2ZA,

（1）求ZA、ZB.ZC的度数；

（2）AABC按边分类，属于什么三角形？

AABC按角分类，属于什么三角形？

6,如图，在三角形ABC中‘AD垂直于BC,AE平分ZBAC,ZB=70°zZC=30°

（1）求ZBAE的度数；

（2）求ZDAE的度数：

（3）探究：

如果只知道ZB-ZC=40°，也能得出ZDAE的度数？

你认为可以吗？

若能，写出求解过程

7.

（1）如图1,有一块直角三角板XYZ放置在“ABC上,恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C。

-ABC中，zA二30・，贝（JzABC+zACB二（）度，ZXBC+

zXCB二（）度；

（2）如图2,改变直角三角板XYZ的位置,使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分

别经过点B、C,那么zABX+zACX的大小是否变化？

若变化，请举例说明；若不变化,请

求出zABX+zACX的大小。

8将纸片二ABC沿DE折憲使点A落在A处的位置・

（1）如果A，落在四边形BCDE的内部（如图4）,ZA，与z1+Z2之间存在怎样的数量关系？

并说明理由.

（2）如果A，落在四边形BCDE的BE边上，这时图4中的Z1变为0角，则zA，与Z2之

间的关系是.

（3）如果A，落在四边形BCDE的外部（如图2）,这时ZA，与Z1.Z2之间又存在怎样的数量关系？

并说明理由.

9.已知如图1,线段AB、CD相交于点0,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为

"8字形".如图2,在图1的条件下,zDAB和zBCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出zA、zB、zC、zD之间的数量关系：

_—；

（2）仔细观察，在图2中"8字形"的个数:

__个;

（3）在图2中，若zD=40°,zB=36°,试求zP的度数;

6.三角形边角关系的综合应用

1、完成以下证明，并在括•号内填写理由:

已知如图所示，Z1=Z2,ZA=Z3.

2•如图，五角星ABCDE,求ZA+ZB+ZC+ZD+ZE的度数.

3.已知△ABC,证明：

⑴如图1-1-27,若P点是ZABC和ZACB的角平分线的交点，则Zp=90°+-Z4；

2

⑵如图1-1-28,若P点是Zabc和外角Zace的角平分线的交点，则Zp=90°-ZA：

⑶如图1-1-29,若P点是外角ZCBF和ZBCE的角平分线的交点，则Zp二90。

一丄Z4。

2

A.a.b.c为三角形的三边长，化简\a-b-c\+\b^c-a\+\c-a-b\，若此三角形周长为11,求上面式子的值・