八年级数学勾股定理拓展提高之动态几何勾股定理拔高练习.docx
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八年级数学勾股定理拓展提高之动态几何勾股定理拔高练习
八年级数学勾股定理拓展提高之动态几何(勾股定理)拔高练习
试卷简介:
全卷共14道大题,8道计算题,每题5分;6道证明题,每题10分,满分100分,测试时间150分钟。
本套试卷以勾股定理为基础,通过对称变换和旋转变换把一些零散的条件集中起来,寻找勾股关系,同时涉及到证明三角形全等,对称和旋转的一些知识。
学习建议:
本讲内容主要包括两个方面,第一是通过对称变换寻找勾股关系,要注意对称的两个图形是全等的,利用这一知识,我们一般求最短距离,先找出某个点的对称点,再根据两点之间线段最短求得;第二,通过旋转变换寻找勾股关系,旋转前后的两个图形也是全等的,这样我们可以把一些条件进行转移,把一些零散的条件集中起来。
这一部分,题目比较多,也相对较难,希望同学们认真思考。
,寻找其中的规律。
一、计算题(共8道,每道5分)
1.如图,某人在B处通过平面镜看见在B正上方3米处的A物体,已知物体A到平面镜的距离为2米,问B点到物体A的像A′的距离是多少?
答案:
5米
解题思路:
连接AB,则AA‘⊥AB,AA‘=2+2=4,AB=3,在直角三角形A‘AB中,由勾股定理得A’B=5
易错点:
找出直角三角形,利用勾股定理。
试题难度:
一颗星知识点:
勾股定理
2.在△ABC中,AB=AC=1,BC边上有2006个不同的点P1,P2,……P2006,记
则
=_____.
答案:
2006
解题思路:
不妨设P为BC上的任一点,,过点A做AD⊥BC于点D,
在直角△APD中,
在直角△ABD中,
,
所以
所以
,即
故本题答案为2006.
易错点:
不会添加辅助线,寻找关系。
试题难度:
二颗星知识点:
勾股定理
3.如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?
答案:
17km
解题思路:
设河岸为MN,则AC=7,BC=8,做点A关于MN的对称点A‘,连接A‘B交MN于点P,点P即为所求。
此时AP+BP=A‘P+BP=A‘B=
=17
易错点:
这是一个最短路问题,要做定点A或B关于定直线(小河)的对称点,然后根据两点之间的距离最短求得。
试题难度:
二颗星知识点:
勾股定理
4.如图,E为正方形ABCD的边AB上一点,AE=3,BE=1,P为AC上的动点,则PB+PE的最小值是?
答案:
5
解题思路:
连接DE交AC与点P,点P即为所求。
此时,AE=3,AD=4,PB+PE=PD+PE=DE=
易错点:
这是奶站问题的一个应用,B、E在AC的同侧,这时候要把点B关于直线AC对称到点D,BP=DP,,再根据两点之间线段最短。
试题难度:
三颗星知识点:
勾股定理
5.如图:
正方形ABCD中有一点P,且PA=1,PB=2,PC=3,求∠APB的度数.
答案:
135°
解题思路:
把△APB绕点B旋转到三角形CP1B,则CP1=AP=1,BP1=BP=2,∠2=∠1,∠APB=∠CP1B.
∵∠1+∠PBC=90°
∴∠2+∠PBC=90°
又BP=BP1=2
∴PP1=
,∠BP1P=45°
在△PP1C中,PC=3,PP1=
,P1C=1,有PC²=PP1²+CP1²∴ ∠PP1C=90°∴ ∠APB=∠CP1B=∠BP1P+∠PP1C=45°+90°=135°
易错点:
通过旋转把条件AP=1,BP=2,CP=3,联系起来。
试题难度:
四颗星知识点:
勾股定理
6.如图,四边形ABCD是直角梯形,且AB=BC=2AD,PA=1,PB=2,PC=3,求梯形ABCD的面积.
答案:
解题思路:
旋转△APB到△CP1B,可得∠CP1B=135°(参考第5题),做CE⊥BP1并交其延长线于点E,则∠CP1E=45°,CE=P1E=
,又BP1=2,所以BC=
=
易错点:
不能通过旋转找出条件之间的联系,进而求解。
试题难度:
五颗星知识点:
勾股定理
7.如图,P是等边三角形ABC内一点,AP=3,BP=4,CP=5,求∠APB的度数.
答案:
150°
解题思路:
把△APC绕点C顺时针旋转60°到△BP1C,连接PP1,则BP1=AP=3,CP1=CP=5,∠BP1C=∠APC,∠2=∠1,∵∠ACP=60°,∴∠PCP1=60°。
∴△PCP1为等边三角形,PP1=PC=5.因为在直角三角形PBP1中,PB=4,BP1=3,PP1=5,所以∠PBP1=90°,在四边形CPBP1中,∠CPB+∠CP1B=360°-60°-90°=210°∴∠APC+∠CPB=210°∴∠APB=360°-210°=150°
易错点:
题目中给出了三条边,所以要通过旋转把三条边转移到一个三角形中。
试题难度:
三颗星知识点:
旋转的性质
8.如图所示,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AC=AB,∠DAE=45°,且BD=3,CE=4,
求DE的长.
答案:
5
解题思路:
把△CEA顺时针旋转到△BFA,得到Rt△DBF,BD=3,BF=CE=4,所以DF=5.然后证明△AED≌△AFD,得ED=DF=5.
易错点:
不能通过旋转,建立条件之间的联系。
试题难度:
四颗星知识点:
旋转的性质
二、证明题(共6道,每道10分)
1.如图,在△ABC中,AB=AC,
(1)若P为边BC上的中点,连结AP,求证:
BP×CP=AB2-AP2;
(2)若P是BC边上任意一点,上面的结论还成立吗?
若成立请证明,若不成立请说明理由;
(3)若P是BC边延长线上一点,线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系?
请证明你的结论.
答案:
(1)在Rt△ABP中,BP2=AB2-AP2,又BP=CP,所以BP
CP=AB2-AP2。
(2)结论仍然成立。
如图
做AD⊥BC于点D,在Rt△ABD中AB2=AD2+BD2
在Rt△APD中AP2=AD2+PD2
∴AB2-AP2=BD2-PD2=(BD-PD)(BD+PD)=PC(PD+BD)=CP
BP
∴AP2-AC2=CP
BP.
(3)如图,
做AD⊥BC于点D,在直角三角形ACD中AC2=AD2+CD2
在直角三角形APD中AP2=AD2+PD2
∴AP2-AC2=PD2-CD2=(PD-CD)(PD+CD)=PC(PD+BD)=CP
BP
解题思路:
通过做辅助线,得到两个直角三角形,分别利用勾股定理,即可。
易错点:
受第一题的启发,仍然做BC边上高AD,进而出现直角三角形,从而应用勾股定理。
试题难度:
二颗星知识点:
勾股定理
2.(2010宁德市)如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
(1)求证:
△AMB≌△ENB;
(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为
时,求正方形的边长.
答案:
(1)在△AMB与△ENB中
MB=NB
∠NBE=∠MBA
BA=BE
所以△AMB≌△ENB(SAS)
(2))①M在BD的中点时最小,两点之间线段最短。
②连接MN,由
(1)中可得AM=EN,∠MBN=60°,则△BMN为等边三角形,此时AM+BM+CM=EN+NM+MC,点E、N、M、C在一条直线上时,之和最短,最短只等于EC。
所以连接CE交BD于点M,点M即为所求。
(3)做EF⊥CB交CB的延长线于点F,设边长为a,又∠EBF=30°,所以EF=
,BF=
,在直角三角形EFC中应用勾股定理可得a=
解题思路:
(1)证明三角形全等比较简单;
(2)通过线段之间的等量代换,把一些线段之和转化为两点之间的距离。
(3)通过做辅助线,找到一个既含EC又与正方形的边长有关的直角三角形,进而建立等式求解。
易错点:
充分利用题目中的已知条件,进行线段之间的转化,把一些线段之和转化为两点之间的距离,利用两点之间线段最短。
试题难度:
四颗星知识点:
三角形三边关系
3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,E、F分别是BC上两点,若∠EAF=45°,试推断BE、CF、EF之间的数量关系,并说明理由.
答案:
EF2=CF2+BE2绕点A顺时针旋转△BEA到CHA,连接FH,则CH=BE,∠ACH=∠B,∠4=∠3.∵∠BAC=90°,∠B+∠FCA=90°,∴∠EAH=90°,∠ACH+∠FCA=∠FCH=90°又∠EAF=45°,∴∠FAH=45°在△EFA与△HFA中AE=AH∠EAF=∠HAF=45°AF=AF∴△EAF≌△HFA(SAS)∴HF=EF在Rt△FCH中,CF2+CH2=HF2∴EF2=CF2+BE2
解题思路:
通过旋转构造一个直角三角形,由勾股定理得到一个等式,然后利用等量关系代换,得到我们所要的结论。
易错点:
我们要找三边之间的关系,只有放在一个三角形里面才能判断,所以通过旋转,把已知的三边转化到一个三角形中。
试题难度:
四颗星知识点:
旋转的性质
4.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,D为斜边BC中点,DE⊥DF,求证:
EF2=BE2+CF2.
答案:
做∠DCH=∠B,并使CH=BE,连接DH。
则△DCH≌△DBE(SAS)则ED=HD∵∠B+∠ACB=90°∴∠DCH+∠ACB=90°在直角三角形FCH中,HF2=CH2+CF2=BE2+CF2又∵∠EDF=90°,∴∠BDE+∠FDC=90°∵∠CDH=∠BDE,∴∠FDH=90°,∴E、D、H在同一直线上。
∵ED=DH,DF⊥ED∴EF=HF∴EF2=BE2+CF2
解题思路:
不会通过旋转建立条件与结论之间的关系
易错点:
大部分学生不会把三边EF、BE、CF转化到一个直角三角形中。
试题难度:
三颗星知识点:
勾股定理
5.(2008天津)已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N.
(1)当扇形CEF绕点C在∠ACE的内部旋转时,如图①,求证:
MN²=AM²+BN²
(2)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时,关系式MN²=AM²+BN²
是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由
答案:
证明:
(1)过点B作∠CBG=∠A,并且使BG=AM,连结CG,NG
则∠NBG=∠A+∠CBG=45°+45°=90°
在△ACM和△BCG中
∴△ACM≌△BCG(SAS)
∴∠1=∠2,CM=CG
∵∠ECF=45°
∴∠1+∠BCF=45°
即∠GCF=∠2+∠BCF=45°
在△GCN和△MCN中
∴MN=NG
在Rt△NBG中,BN2+BG2=NG2
由BG=AM,MN=NG
从而MN2=AM2+BN2
(2)成立,
证明:
过点B作∠CBM1=∠CAM,并且使BM1=AM,连结CM1,NM1
在△ACM和△BCM1中AC=BC,∠CAM=∠CBM1=135°,AM=BM1又∵∠CBM=45°,∴∠M1BN=90°∴△ACM≌△BCM1(SAS)∴∠1=∠2,MC=M1C∵∠ACB=90°,即∠ACM1+∠2=90°,从而∠ACM1+∠1=90°,即∠MCM1=90°,∵∠MCF=45°∴∠FCM1=45°在△MCN和△M1CN中MC=M1C,∠MCN=∠M1CN,CN=CN∴△MCN≌M1CN从而MN=M1N在Rt△BNM1中,BM12+BN2=M1N2∵MN=M1N,AM=BM1∴MN2=AM2+BN2
解题思路:
通过旋转将分散的关于三角形的边角关系集中到一个三角形中解决
易错点:
辅助线的添加
试题难度:
五颗星知识点:
运动变化型问题
6.如图所示,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC上任意一点.求证:
2AD2=BD2+CD2
答案:
过∠BAE=∠CAD,并使AE=AD,连接BE。
在△BAE和△CAD中,BA=CA,∠BAE=∠CAD,AE=AD,所以△BAE≌△CAD(SAS)∴∠BAE=∠CAD,CD=BE,∠C=∠ABE=45°,AD=AE∵∠BAC=90°,∴∠EAD=90°,∠EBD=∠ABE+∠ABC=∠C+∠ABC=90°在直角三角形AED中,ED2=AE2+AD2=2AD2在直角三角形EBD中,ED2=BE2+BD2=CD2+BD2∴2AD2=CD2+BD2
解题思路:
通过旋转构造两个有公共边ED的直角三角形,利用勾股定理求解。
易错点:
不能通过旋转构造与条件相关的直角三角形。
试题难度:
四颗星知识点:
勾股定理