八年级数学勾股定理拓展提高之动态几何勾股定理拔高练习.docx

1、八年级数学勾股定理拓展提高之动态几何勾股定理拔高练习八年级数学勾股定理拓展提高之动态几何(勾股定理)拔高练习 试卷简介:全卷共14道大题，8道计算题，每题5分；6道证明题，每题10分，满分100分，测试时间150分钟。本套试卷以勾股定理为基础，通过对称变换和旋转变换把一些零散的条件集中起来，寻找勾股关系，同时涉及到证明三角形全等，对称和旋转的一些知识。 学习建议:本讲内容主要包括两个方面，第一是通过对称变换寻找勾股关系，要注意对称的两个图形是全等的，利用这一知识，我们一般求最短距离，先找出某个点的对称点，再根据两点之间线段最短求得；第二，通过旋转变换寻找勾股关系，旋转前后的两个图形也是全等的，

2、这样我们可以把一些条件进行转移，把一些零散的条件集中起来。这一部分，题目比较多，也相对较难，希望同学们认真思考。，寻找其中的规律。一、计算题(共8道，每道5分)1. 如图，某人在B处通过平面镜看见在B正上方3米处的A物体，已知物体A到平面镜的距离为2米，问B点到物体A的像A的距离是多少？答案：5米解题思路：连接AB，则 AAAB，AA=2+2=4，AB=3，在直角三角形AAB中，由勾股定理得AB=5易错点：找出直角三角形，利用勾股定理。试题难度：一颗星 知识点：勾股定理 2.在 ABC中,AB=AC=1 , BC边上有2006个不同的点P1 ，P2,P2006，记 ,则 =_.答案：2006解

3、题思路：不妨设P为BC上的任一点，过点A做ADBC于点D，在直角APD中，,在直角ABD中，所以,所以 ，即 故本题答案为2006.易错点：不会添加辅助线，寻找关系。试题难度：二颗星 知识点：勾股定理 3.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？答案：17km解题思路：设河岸为MN，则AC=7，BC=8，做点A关于MN的对称点A，连接AB交MN于点P，点P即为所求。此时AP+BP=AP+BP=AB=17易错点：这是一个最短路问题，要做定点A或B关于定直线（小河）的对称点，然

4、后根据两点之间的距离最短求得。试题难度：二颗星 知识点：勾股定理 4.如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3 ，BE=1,P为AC上的动点，则PB+PE的最小值是？答案：5解题思路：连接DE交AC与点P，点P即为所求。此时，AE=3，AD=4，PB+PE=PD+PE=DE=易错点：这是奶站问题的一个应用，B、E在AC的同侧，这时候要把点B关于直线AC对称到点D，BP=DP，再根据两点之间线段最短。试题难度：三颗星 知识点：勾股定理 5.如图：正方形ABCD中有一点P,且PA=1，PB=2，PC=3，求APB的度数答案：135解题思路：把APB绕点B旋转到三角形CB，则CP1=AP=1

5、，BP1=BP=2，2=1，APB=CP1B. 1+PBC=90 2+PBC=90又BP=BP1=2 PP1=，BP1P=45在PP1C中，PC3，PP1=，P1C1，有 易错点：通过旋转把条件AP=1，BP=2，CP=3,联系起来。试题难度：四颗星 知识点：勾股定理 6.如图，四边形ABCD是直角梯形，且ABBC=2AD，PA1，PB2，PC3，求梯形ABCD的面积答案：解题思路：旋转APB到CP1B，可得C P1B=135（参考第5题），做CEBP1并交其延长线于点E，则CP1E=45，CE=P1E=，又BP1=2，所以BC=易错点：不能通过旋转找出条件之间的联系，进而求解。试题难度：五颗

6、星 知识点：勾股定理 7.如图，P是等边三角形ABC内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求APB的度数.答案：150解题思路：把APC绕点C顺时针旋转60到B P1C，连接PP1， 则BP1=AP=3，CP1=CP=5，BP1C=APC，2=1, ACP=60， PCP1=60。 PCP1为等边三角形，PP1=PC=5. 因为 在直角三角形PBP1中，PB=4，BP1=3，PP1=5，所以PBP1=90， 在四边形CPBP1中，CPB+CP1B=360-60-90=210 APC+CPB=210 APB=360-210=150易错点：题目中给出了三条边，所以要通过旋转把三条边转移到一个三角形

7、中。试题难度：三颗星 知识点：旋转的性质 8.如图所示，在直角三角形ABC 中,BAC=90，AC=AB ，DAE=45，且BD=3，CE=4 ,求DE 的长.答案：5解题思路：把CEA顺时针旋转到BFA，得到RtDBF，BD=3，BF=CE=4，所以DF=5. 然后证明AEDAFD，得ED=DF=5.易错点：不能通过旋转，建立条件之间的联系。试题难度：四颗星 知识点：旋转的性质 二、证明题(共6道，每道10分)1.如图，在ABC中，AB=AC，（1）若P为边BC上的中点，连结AP，求证：BPCP=AB2-AP2；（2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理

8、由；（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系？请证明你的结论.答案：（1）在RtABP中，BP2=AB2-AP2，又BP=CP，所以BPCP=AB2-AP2。（2）结论仍然成立。如图做ADBC于点D，在RtABD中AB2=AD2+BD2在RtAPD中AP2=AD2+PD2 AB2-AP2=BD2-PD2=(BD-PD)(BD+PD)=PC(PD+BD)=CPBP AP2-AC2=CPBP.（3）如图，做ADBC于点D，在直角三角形ACD中AC2=AD2+CD2在直角三角形APD中AP2=AD2+PD2 AP2-AC2=PD2-CD2=(PD-CD)(PD+C

9、D)=PC(PD+BD)=CPBP解题思路：通过做辅助线，得到两个直角三角形，分别利用勾股定理，即可。易错点：受第一题的启发，仍然做BC边上高AD，进而出现直角三角形，从而应用勾股定理。试题难度：二颗星 知识点：勾股定理 2.（2010宁德市）如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM.（1）求证：AMBENB；（2）当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； （3）当AMBMCM的最小值为 时，求正方形的边长.答案：（1）在AMB与ENB中MB=NB

10、NBE=MBABA=BE所以AMBENB（SAS）（2）M在BD的中点时最小，两点之间线段最短。连接MN,由（1）中可得AM=EN，MBN=60，则BMN为等边三角形，此时AM+BM+CM=EN+NM+MC，点E、N、M、C在一条直线上时，之和最短，最短只等于EC。所以连接CE交BD于点M，点M即为所求。（3）做EFCB交CB的延长线于点F，设边长为a，又EBF=30，所以EF=，BF=，在直角三角形EFC中应用勾股定理可得a=解题思路：（1）证明三角形全等比较简单； （2）通过线段之间的等量代换，把一些线段之和转化为两点之间的距离。 （3）通过做辅助线，找到一个既含EC又与正方形的边长有关的

11、直角三角形，进而建立等式求解。易错点：充分利用题目中的已知条件，进行线段之间的转化，把一些线段之和转化为两点之间的距离，利用两点之间线段最短。试题难度：四颗星 知识点：三角形三边关系 3.如图，在RtABC中，BAC=90，AB=AC，E、F分别是BC上两点，若EAF=45，试推断BE、CF、EF之间的数量关系，并说明理由.答案：EF2=CF2+BE2 绕点A顺时针旋转BEA到CHA，连接FH，则CH=BE，ACH=B，4=3. BAC=90，B+FCA=90， EAH=90，ACH+FCA=FCH=90 又EAF=45， FAH=45 在EFA与HFA中 AE=AH EAF=HAF=45 A

12、F=AF EAFHFA（SAS） HF=EF 在RtFCH中，CF2+CH2=HF2 EF2=CF2+BE2解题思路：通过旋转构造一个直角三角形，由勾股定理得到一个等式，然后利用等量关系代换，得到我们所要的结论。易错点：我们要找三边之间的关系，只有放在一个三角形里面才能判断，所以通过旋转，把已知的三边转化到一个三角形中。试题难度：四颗星 知识点：旋转的性质 4.如图，在RtABC中，A=90，D为斜边BC中点，DEDF，求证：EF2=BE2+CF2.答案：做DCH=B，并使CH=BE，连接DH。则DCHDBE（SAS） 则ED=HD B+ACB=90 DCH+ACB=90 在直角三角形FCH中

13、，HF2=CH2+CF2=BE2+CF2 又 EDF=90，BDE+FDC=90 CDH=BDE，FDH=90，E、D、H在同一直线上。 ED=DH，DFED EF=HF EF2=BE2+CF2解题思路：不会通过旋转建立条件与结论之间的关系易错点：大部分学生不会把三边EF、BE、CF转化到一个直角三角形中。试题难度：三颗星 知识点：勾股定理 5.（2008天津）已知RtABC中，ACB=90，CA=CB，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N（1）当扇形CEF绕点C在ACE的内部旋转时，如图，求证：MN=AM+BN（2）当扇形CE

14、F绕点C旋转至图的位置时，关系式MN=AM+BN是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由答案：证明：（1）过点B作CBG=A，并且使BG=AM，连结CG，NG则NBG=A+CBG=45+45=90在ACM和BCG中ACMBCG（SAS）1=2，CM=CGECF=451+BCF=45即GCF=2+BCF=45在GCN和MCN中MN=NG在RtNBG中，BN2+BG2=NG2由BG=AM，MN=NG从而MN2=AM2+BN2（2）成立，证明：过点B作CBM1=CAM，并且使BM1=AM，连结CM1，NM1在ACM和BCM1中 AC=BC，CAM=CBM1=135，AM=BM1 又CBM=

15、45，M1BN=90 ACMBCM1（SAS） 1=2，MC=M1C ACB=90，即ACM1+2=90，从而ACM1+1=90，即MCM1=90， MCF=45 FCM1=45 在MCN和M1CN中 MC=M1C,MCN=M1CN，CN=CN MCNM1CN 从而MN=M1N 在RtBNM1中，BM12+BN2=M1N2 MN=M1N，AM=BM1 MN2=AM2+BN2解题思路：通过旋转将分散的关于三角形的边角关系集中到一个三角形中解决易错点：辅助线的添加试题难度：五颗星 知识点：运动变化型问题 6.如图所示，RtABC中，BAC=90，AB=AC，D为BC上任意一点求证：2AD2=BD2+CD2答案：过BAE=CAD，并使AE=AD，连接BE。 在BAE和CAD中，BA=CA，BAE=CAD，AE=AD，所以BAECAD（SAS） BAE=CAD，CD=BE，C=ABE=45，AD=AE BAC=90， EAD=90，EBD=ABE+ABC=C+ABC=90 在直角三角形AED中，ED2=AE2+AD2=2AD2 在直角三角形EBD中，ED2=BE2+BD2=CD2+BD2 2AD2=CD2+BD2解题思路：通过旋转构造两个有公共边ED的直角三角形，利用勾股定理求解。易错点：不能通过旋转构造与条件相关的直角三角形。试题难度：四颗星 知识点：勾股定理