24多边形与平行四边形.docx
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24多边形与平行四边形
多边形与平行四边形
一、选择题
1．（2013江苏扬州，6，3分）一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是（）．
A．七边形B．六边形C．五边形D．四边形
【答案】C．
【解析】根据多边形的内角和公式可知，这个n边形满足：
（n－2）×180=108n．解得n=5．所以应选C．
【方法指导】多边形的内角和公式：
（n－2）×180°．每个内角相等的多边形是正多边形．
【易错警示】记不住多边形的内角和公式而出错．
2．（2013重庆市（A），9，4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE＝2ED，CD＝3cm，则AF的长为（）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
【答案】B．
【解析】由平行四边形ABCD，得AF∥CD，所以∠F＝∠ECD，∠FAE＝∠D，则有△AFE∽△DEC，从而得到
＝
＝2，即
＝2，解得AF＝6．故答案选B．
【方法指导】本题考查平行四边形的性质，相似三角形．本题图形中蕴涵两个相似三角形基本图：
1.“X”型，即△AFE∽△DEC．2.“A”型，即△FAE∽△FBC．
2.（2013湖南益阳，6，4分）如图2，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）
A．∠1=∠2B．∠BAD=∠BCDC．AB=CDD．AC⊥BD
【答案】：
D
【解析】根据平行四边形的性质可知D是错误的。
【方法指导】根据平行四边形性质可知：
平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等，平行四边形的对角线互相平分。
3．（2013广东湛江，5，4分）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
【答案】B.
【解析】根据题意有
，于是n=5,本题选B
【方法指导】本题考查了多边形的内角和。
掌握多边形内角计算的公式是解题的关键。
有关多边形，我们需要掌握以下相关的知识：
第42章多边形的内角和：
；
2.多边形形的外角和：
360°
3.多边形的对角线有：
4．（2013湖北荆门，7，3分）四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC②AD＝BC③OA＝OC④OB＝OD
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【答案】B
【解析】从四个条件中任选两个，共有6种选法．若选②、③或选②、④，则不能使四边形ABCD是平行四边形．其它4种选法，即选①、②或①、③或①、④或③、④，则均能使四边形ABCD为平行四边形．故选B．
【方法指导】判定四边形是平行四边形，除常见的方法外，还有以下方法：
（1）一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形；
（2）一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．注意：
一组对边平行且另一组对边相等的四边形不能判定其为平行四边形．
5.（2013山东烟台，7,3分）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）
A．5B.5或6C．5或7D.5或6或7
【答案】C
【解析】如图所示，先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，然后利用分类讨论的思想方法，求出截去一个角后是六边形的多边形的边数即可.设新多边形的边数为n，则（n－2）×180°=720º∴n=6∴原多边形的边数为5或6或7.
6.（2013四川雅安，2，3分）五边形的内角和为（ ）
A．720° B．540° C．360° D．180°
【答案】B
【解析】五边形的内角和是（5－2）×180°＝540°．
【方法指导】本题考查了多边形內角和的计算公式，n边形內角和＝（n－2）×180°．
7．（2013四川宜宾，9，3分）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（ ）
A．70° B．110° C．140° D．150º
【答案】D．
【解析】由OA=OB=OC，可得∠BAO+∠BCO=∠ABC=70°又因为∠ADC=70°，根据四边形内角和360º可得选D.
【方法指导】本题考查了等腰三角形的性质及四边形内角和的知识，遇到等腰三角形应想到两底角相等，“三线合一”，四边形内角和等于360º，多边形内角和公式为（n-2）•180º
8.（2013四川泸州，6，2分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB//DC，AD//BCB．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DOD．AB//DC，AD＝BC
【答案】D
【解析】根据平行四边形的定义，选项A中的条件能判定这个四边形是平行四边形；根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，选项B中的条件能判定这个四边形是平行四边形；根据“对角线互相平的四边形是平行四边形”，选项C中的条件能判定这个四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，选项D中的条件不能判定这个四边形是平行四边形．所以答案选D．
【方法指导】平行四边形的判定是本题的考查目标，关键要熟悉平行四边形的判定方法，并且结合图形判断．
9．（2013广西钦州，11，3分）如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由甲A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）
A．
甲＜乙＜丙
B．
乙＜丙＜甲
C．
丙＜乙＜甲
D．
甲=乙=丙
考点：
平行四边形的判定与性质．
专题：
应用题．
分析：
延长ED和BF交于C，如图2，延长AG和BK交于C，根据平行四边形的性质和判定求出即可．
解答：
解：
图1中，甲走的路线长是AC+BC的长度；
延长ED和BF交于C，如图2，
∵∠DEA=∠B=60°，
∴DE∥CF，
同理EF∥CD，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴EF=CD，DE=CF，
即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长；
延长AG和BK交于C，如图3，
与以上证明过程类似GH=CK，CG=HK，
即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长；
即甲=乙=丙，
故选D．
点评：
本题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，注意：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等．
10．（2013湖北宜昌，3，3分）四边形的内角和的度数为（ ）
A．
180°
B．
270°
C．
360°
D．
540°
考点：
多边形内角与外角．
分析：
根据多边形内角和定理：
（n﹣2）•180（n≥3）且n为整数）可以直接计算出答案．
解答：
解：
（4﹣2）×180°=360°，
故选：
C．
点评：
此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：
（n﹣2）•180（n≥3）且n为整数）．
11.（2013湖南长沙，8，3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）
A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形
答案：
A【详解】所有多边形的外角和都是360°，而内角和公式为180°（n－2），其中n表示多边形的边数，所以当180°（n－2）=360°时，n=4，即四边形的内角和与外角和相等，选A。
12．（2013·泰安，19，3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的边长为（ ）
A．2
B．4
C．4D．8
考点：
平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
专题：
计算题．
分析：
由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD＝DF，由F为DC中点，AB＝CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF＝EF，即可求出AE的长．
解答：
解：
∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，
∵DC∥AB，∴∠BAE＝∠DFA，∴∠DAE＝∠DFA，∴AD＝FD，
又F为DC的中点，∴DF＝CF，∴AD＝DF＝DC＝AB＝2，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：
AG＝
，则AF＝2AG＝2
，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF＝EF，则AE＝2AF＝4
．
点评：
此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
13．（2013·泰安，8，3分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于（ ）
A．90°B．180°C．210°D．270°
考点：
平行线的性质．
分析：
根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B＋∠C＝180°，从而得到以点B．点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
解答：
解：
∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，
∴∠4＋∠5＝180°，
根据多边形的外角和定理，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝360°－180°＝180°．故选B．
点评：
本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．
14.（2013杭州3分）在▱ABCD中，下列结论一定正确的是（ ）
A．AC⊥BDB．∠A+∠B=180°C．AB=ADD．∠A≠∠C
【答案】B．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°．
【方法指导】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用
15.（2013•宁波3分）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（ ）
A．
5
B．
6
C．
7
D．
8
【答案】A．
【解析】多边形的边数是：
360÷72=5
【方法指导】本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键
16.（2013四川巴中，9，3分）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．
24
B．
16
C．
4
D．
2
考点：
菱形的性质；勾股定理．
分析：
由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=6，BD=4，即可得AC⊥BD，求得OA与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案．
解答：
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，
∴AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=2，AB=BC=CD=AD，
∴在Rt△AOB中，AB=
=
，
∴菱形的周长是：
4AB=4
．
故选C．
点评：
此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
17.（2013四川乐山，5，3分）如图，点E是
ABCD的边CD的中点，AD、BE的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则
ABCD的周长为【】
A．5 B．7 C．10 D．14
18.（2013四川绵阳，7，3分）如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（C）
A．
B．12mm
C．
D．
［解析］画出正六边形，如图，通过计算 可知，ON＝3
，MN＝6
，选C。
19．（2013贵州省黔西南州，3，4分）已知▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是（ ）
A．
100°
B．
160°
C．
80°
D．
60°
考点：
平行四边形的性质．
分析：
由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，AD∥BC，又由∠A+∠C=200°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．
解答：
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD∥BC，
∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=100°，
∴∠B=180°﹣∠A=80°．
故选C．
点评：
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．
20．（2013黑龙江省哈尔滨市，7）如图，在
ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（）．
（A）4（B）3（C）
（D）2
考点：
平行四边形的性质及等腰三角形判定．
分析：
本题主要考查了平行四边形的性质：
平边四边形的对边平行且相等；等腰三角形判定，两直线平行内错角相等；综合运用这三个性质是解题的关键
解答：
根据CECE平分∠BCD得∠BCE=∠ECD,AD∥BC得∠BCE=∠DEC从而△DCE为等腰三角形，ED=DC=AB,2AB=AD=AE+ED=3+AB,解得AB=3
故选B
21（2013河北省，13，3分）一个正方形和两个等边三角形的位置如图6所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=
A．90°B．100°
C．130°D．180°
答案：
B
解析：
如下图，∠ABC＝180°－50°－60°＝70°,
∠BAC＋∠BCA＝180°－70°＝110°，
∠1＝180°－90°－∠BAC，∠2＝180°－60°－∠BCA，
∠1＋∠2＝210°－（∠BAC＋∠BCA）＝100°，选B。
二、填空题
1.（2013贵州安顺，15，4分）如图，在□ABCD中，E在DC上，若DE:
EC=1:
2，则BF:
BE=.
【答案】：
3:
5.
【解析】∵DE：
EC=1：
2；∴EC：
CD=2：
3即EC：
AB=2：
3
∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，
∴BF：
EF=AB：
EC=3：
2．∴BF：
BE=3：
5．
【方法指导】主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．由题可知△ABF∽△CEF，然后根据相似比求解．
2．（2013山东滨州，17，4分）在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，且AB=6，BC=10，则OE=______________．
【答案】：
5．
【解析】先根据题意画出图形，利用平行四边形的性质知O是BD的中点，又有E是CD的中点，由此得到OE是△BCD的中位线，再根据三角形中位线的性质得到
.
【方法指导】本题主要考查了平行四边形对角线互相平分的性质以及三角形中位线的概念和性质，属于中等题型，较易掌握.
3．（2013山东菏泽，13，3分）如图，ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为________________.
【答案】
【解析】将△ABC沿AC所在直线翻折180°，有对应线段BE=B′E，对应角∠AEB=∠AEB′=45°，∴∠BEB′=∠DEB′=90°，∵BE=DE=B′E=1，∴在Rt△DEB′中，DB′=
.故填
.
【方法指导】本题考查了轴对称、平行四边形性质.解题关键抓住对应边、对应角相等为突破口.
4.（2013山东烟台，16,3分）如图，□ABCD的周长为36．对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点．BO=12．则△DOE的周长为__________________.
【答案】15
【解题思路】根据平行四边形的性质，对角线互相平分，两组对边分别相等，可以分别求出OD、OE+DE的长，即可求解.
∵□ABCD的周长为36，∴BC+CD=18，∵四边形ABCD为平行四边形，∴O是BD的中点，∴OD=6,又∵E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE+DE=9，∴△DOE的周长=OD+OE+DE
=6+9
=15
【方法指导】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理以及整体思想的运用.求三角形的周长可以分别求出三边的长，但是本题较新颖，根据对角线的交点是对角线的中点，可以求出其中一边的长，而另外两边运用整体思想，求出这两边的长度和后即可求解.在平行四边形中，由于对角线的交点即为中点，再加上另一中点，所以中位线定理是我们的首选.
5.（2013四川雅安，16，3分）如图，在□ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE∶BE＝4∶3，且BF＝2，则DF＝________．
【答案】
【解析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，继而可判定△BEF∽△DCF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BF：
DF＝BE：
CD问题得解．
【方法指导】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是根据题意判定△BEF∽△DCF，再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解．
6.（2013福建福州，15，4分）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是__________．
【答案】2
【解析】延长AB，然后作出C所在的直线，一定交于格点E．正六边形的边长为1，则半径是1，则CE＝4，相邻的两个顶点之间的垂直距离是
，则△BCE的边EC上的高是
，△ACE边EC上的高是
，则S△ABC＝S△AEC－S△BEC＝
．
【方法指导】本题考查了正多边形的有关计算，正确理解S△ABC＝S△AEC－S△BEC是关键．
7.（2013广东省，13，4分）一个六边形的内角和是．
【答案】
.
【解析】由多边形的内角和公式，得
，故答案填
．
也可画一个六边形，连接一条对角线将六边形分成两个四边形，由四边形内角和求得六边形的内角和为
。
【方法指导】关于多边形的内角和或者外角和的问题，通常有两种思维路径，一是利用内角和公式进行计算；二是当多边形为正多边形时，可以利用外角和进行计算。
8．（2013江西，13，3分）如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为．
【答案】25°.
【解析】∵□ABCD与□DCFE的周长相等，且有公共边CD，
∴AD=DE,∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°.
∴∠DAE=
.
【方法指导】先要明确∠DAE的身份（为等腰三角形的底角），要求底角必须知道另一角的度数，分别将∠BAD=130°转化为∠BCD=130°,∠F=110°转化为∠DCF=70°,从而求得∠ADE=∠BCF=130°.
9．（2013湖南郴州，11，3分）已知一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 8 ．
考点：
多边形内角与外角．
分析：
根据多边形内角和定理：
（n﹣2）•180（n≥3）且n为整数）可得方程180（x﹣2）=1080，再解方程即可．
解答：
解：
设多边形边数有x条，由题意得：
180（x﹣2）=1080，
解得：
x=8，
故答案为：
8．
点评：
此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：
（n﹣2）•180（n≥3）且n为整数）．
10．（2013湖南娄底，16，4分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．
考点：
多边形内角与外角．
分析：
利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
解答：
解：
∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：
6．
点评：
本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
11..（2013江苏南京，13，2分）△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A、B与它的中心O为顶点的三角形。
若△OAB的一个内角为70，则该正多边形的边数为。
答案：
9
解析：
若∠OAB＝∠OBA＝70°，则∠BOA＝40°，边数为：
错误！
不能通过编辑域代码创建对象。
＝9；
若∠BOA＝70°，则边数为：
错误！
不能通过编辑域代码创建对象。
不可能，因此，边数为9。
5．（2013•徐州，18，3分）如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为 cm2．
考点：
正多边形和圆．
分析：
根据正八边形的性质得出正八边形每个内角以及表示出四边形ABGH面积进而求出答案即可．
解答：
解：
连接HE，AD，
在正八边形ABCDEFGH中，可得：
HE⊥BG于点M，AD⊥BG于点N，
∵正八边形每个内角为：
＝135°，∴∠HGM＝45°，∴MH＝MG，
设MH＝MG＝x，则HG＝AH＝AB＝GF＝
x，∴BG×GF＝2（
＋1）x2＝20，
四边形ABGH面积＝（AH＋BG）×HM＝（
＋1）x2＝10，
∴正八边形的面积为：
10×2＋20＝40（cm2）．故答案为：
40．
点评：
此题主要考查了正八边形的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出四边形ABGH面积是解题关键．
12．（2013·鞍山，10，2分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D＝度．
考点：
多边形内角与外角．
分析：
根据四边形内角和等于360°即可求解．
解答：
解：
由四边形内角和等于360°，可得∠A+∠B+∠C+∠D＝360度．故答案为：
360．
点评：
考查了四边形内角和等于360°的基础知识．
13（2013四川巴中，12，3分）若一个多边形外角和与内角和相等，则这个多边形是 四 边形．
考点：
多边形内角与外角．
分析：
利用多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列出方程，然后解方程即可求出多边形的边数．
解答：
解：
设这个多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°=360°，
解得n=4．
故答案为：
四．
点评：
本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
14.（2013四川遂宁，13，4分）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是 9 ．
考点：
多边形内角与外角．
专题：
计算题．
分析：
根据多边形内角和定理及其公式，即可解答；
解答：
解：
∵一个多边形内角和等于1260°，
∴（n﹣2）×180°=1260°，
解得，n=9．
故答案为9．
点评：
本题考查了多边形的内角定理及其公式，关键是记住多边
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