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负负得正教学的有效模型
“负负得正”教学的有效模型
教师的教学和相关研究表明[1][2]:
通过学生易于理解的模型来说明为什么“负负得正”、教授“负负得正”是可行的,也是合理的;学生能够接受通过这种方式所总结的有理数乘法法则.也就是说,模型说明是有理数乘法法则教学的有效选择,也是最主要的策略.既如此,随之而来的问题是:
什么样的说明“负负得正”的模型是最好的模型?
具体而言:
不同的模型对学生的理解有影响吗?
教师倾向于什么样的模型?
学生倾向于什么样的模型?
综合考虑教与学的因素,什么样的模型最有效?
一、不同的模型对学生的理解没有显著性影响――一项教学实验
为了解教师教学中所使用的说明“负负得正”的模型与学生理解之间的关系,我们选取山东省某市一所重点中学的四个班级,开展实验研究.这些班级是按照学生入学考试成绩分班的,因而,我们假设这些班级之间没有显著性差异.三位教师在没有任何干预的情况下使用四种模型授课,教师在四个班级中所使用的模型见表1（所有模型的说明见附件）.我们实地听取了教师的课堂教学.教师授课结束后,我们对四个班级的学生进行了问卷调查与访谈.调查的目的是了解学生在使用说明“负负得正”的模型与教师授课时所使用的模型之后的教学效果.调查过程如下.
题目:
“以（-4）×（-3）为例,用尽可能多的方法（如文字解释、画直观图、算式表示等）来说明为什么‘负负得正’.”
教学中使用的说明“负负得正”的模型如表1.
分析表1,我们可以得到以下结论:
（1）学生的理解不受教师所用模型的影响.除2班外,能够使用教师的模型来说明“负负得正”的学生占班级人数的6%~9%之间.这说明教师所用的模型没有对学生产生显著性影响.2班是一个例外,没有一个学生使用归纳模型.这表明,这一模型很难为学生接受.联想到学生的教科书中使用了归纳模型,我们有理由相信,这个模型是一个较难理解的模型.
（2）相反数模型比较容易理解.除7人自觉地使用了教师所介绍的相反数模型外,还有7人自发地使用了相反数模型,使用该模型的学生人数占提供模型人数的51.9%（表2）.相反数模型成了使用率最高的模型.我们有理由相信,使用该模型说明“负负得正”,有利于学生理解.
（3）能够使用说明“负负得正”的模型学生较少.
在所测试的295名学生中,仅有27人即9%的学生能够通过模型说明“负负得正”.所以,对于算理的理解,不能有过高的要求,教师也不可有过高的期待.
二、师生对模型的倾向性
1.教师对模型的倾向性
（1）教师实际教学中使用的模型:
数轴模型,归纳模型,相反数模型.教师在实际教学中使用了哪些模型来说明“负负得正”,我们进行了问卷调查,调查内容如下:
教学有理数的乘法,关键是说明“负负得正”.回顾一下你课堂上教“负负得正”的情形,请结合你的教学实际,描述你教“负负得正”的过程（自己怎样教的,就怎样描述）.
统计结果如表3.
教师最喜欢使用数轴模型,占总数的39.5%.这个模型是原大纲教科书中使用的模型[3].关于这个模型,调查中发现,不仅学生,即便从事数学教育多年的教师,也容易困惑[4].如此多的教师使用了数轴模型,反映出原教科书对教师的影响还是很大的.
29%的教师使用了归纳模型,成为了教师的第二选择.这个模型是北师大版教科书中的模型,教师使用的就是该教科书[5].18.4%的教师使用了相反数模型[6].这个模型不是教师所用教科书中的模型,如此多的教师使用了这个模型,反映出教师对该模型的偏爱.以上3种模型占教师使用模型的86.9%.相应地,少数教师使用了其他模型.
（2）教师喜欢的模型:
归纳模型,数轴模型,相反数模型.
为了解教师对模型的倾向性,我们提供了7个说明“负负得正”的模型供教师选择,38名教师的选择情况如表4.
x
教师喜欢的模型依次是:
归纳模型,数轴模型,相反数模型.这3个模型的排列顺序与教师在实际教学中使用的模型的顺序大致相同.教师受教科书的影响还是很大的.
综合教师教学中使用的模型和教师选择的模型,我们可以得到结论:
教师最倾向于使用的模型依次是归纳模型、数轴模型、相反数模型.
2.学生对模型的倾向性
（1）学生回答问卷时所使用的模型是相反数模型.对学生的问卷调查显示,仅有9.0%的学生给出了比较合理的说明“负负得正”的模型.除此以外,为说明“负负得正”的合理性,说服自己接受“负负得正”,学生又创造了各种各样的准合理或者不合理的模型.统计分析这些模型,可以从中窥视出学生对模型的倾向性（表5）.从表中可以看出:
①学生最倾向于相反数模型.在学生自己创造的模型中,最常用的就是“相反数的相反数模型”和“抵消模型”,尽管这两种模型都存在着一些问题.如果加上“相反数模型”,就有21.01%的学生使用了这类模型.我们有理由相信,用相反数模型进行教学,是学生比较容易接受的.
相反,虽然归纳模型相对于相反数模型更具有数学味,但是,只有0.34%的学生使用了这个模型.这引起了我们的思考:
既然我们很难或者说不能够把为什么“负负得正”的道理讲清楚,在教学中,关键就是要让学生比较顺利地接受事实,不让学生觉得“负负得正”是“天上掉下来个林妹妹”.从这个角度而言,我们就不能对模型的所谓合理性“深究”,故而,相反数模型就要比归纳模型好.
②对规定性的认可.认为是“复述法则”、“书上说的,老师讲的”和“是个规定,没有理由”的学生占48.47%,几近一半.这说明学生对“负负得正”规定性的认识是:
这是一个规定,不好解释.
（2）学生喜欢的模型:
归纳模型,好孩子模型,数轴模型,相反数模型.
为了解学生对模型的倾向性,我们提供了7个说明“负负得正”的模型供学生选择（仅选取3班和6班）,学生的选择情况如表6.
①学生喜欢的模型依次是:
归纳模型,好孩子模型,数轴模型和相反数模型.
学生喜欢好孩子模型,大大超出了我们的预料.以下是对学生的访谈（学生-S;教师-T）.
S:
我喜欢这个模型.这个最好了,最形象了.我今天回家都给我妈讲了.
T:
妈妈听明白了没有?
S:
听明白了.我妈妈说,这个很好,很有意思.
T:
如果老师上课时用这个模型来说明“负负得正”,你认为可以吗?
S:
完全可以.我们班同学今天都在说这个方式说得清楚,比书上的好.看了这个以后,我就对有理数的乘法彻底懂了,我一辈子也忘不了.
15.8%的教师选择了好孩子模型.有的教师认为“孩子不能以好坏区分”,这样对教育学生不利.同样,也有个别的学生提出了类似的担心.
②喜欢和会用之间的矛盾.教师、学生都比较喜欢归纳模型,原因也许是这个模型是教科书中的模型.然而,调查表明,能够使用这个模型说明“负负得正”的学生少之又少.对这个模型,要谨慎使用.
综合学生回答问卷时使用的模型和学生选择的模型,我们可以得到结论:
学生最倾向于使用的模型依次是相反数模型、归纳模型、好孩子模型、数轴模型.
3.师生对模型的倾向性:
归纳模型、数轴模型与相反数模型
把学生喜欢的模型、教师喜欢的模型与教师教学中使用的模型进行对比,分析如下（图1）.
（1）师生倾向于使用的模型依次为:
归纳模型、数轴模型与相反数模型.
教师最倾向于使用归纳模型,学生最倾向于使用相反数模型.教师最喜爱的模型与教师最倾向于使用的模型是一致的,学生最喜爱的模型与学生最倾向于使用的模型不一致.
教师、学生对好孩子模型的倾向性差异较大:
学生非常喜欢,教师却不大喜欢.
（2）师生均不喜欢形式化的模型,比如分配律模型.
三、对模型的分析
1.模型就是一副“脚手架”
我们设计了这样一个问题:
“为了说明‘负负得正’,我们给学生提供了一个说明的模型.这个模型其实就是一副脚手架,一旦掌握了有理数乘法法则,这个脚手架就可以拆除了.”表7是教师的回答情况.
55.3%的教师持赞同态度,31.6%的教师不赞同.不赞同的教师也许认为,这些模型恰恰说明了为什么“负负得正”,恰恰能够帮助学生理解有理数乘法的算理.既如此,当然不能随随便便地拆除了.
2.模型并没有说明算理
推导小数乘法法则、分数除法法则时,要么凭直观进行推理,要么使用了规律进行推理,在很大程度上说明了运算的算理.“介绍一个实例,观察一个图形,导出一个解释,难道不比去介绍形式化证明更好吗.”比如,要说明乘法交换律,就可以用图形非常直观地说明3×4=4×3.但是,有理数乘法就完全不同了.
分配律模型事实上是在“保持运算的持续性”的前提下推导出了“负负得正”[7][8],本质上有了形式推理的味道,但有多少师生喜欢它?
归纳模型是一种合情推理模型,但是,调查表明,学生很难掌握它.除这两个模型外,其他模型几乎没有多少数学味道,本质上说,这些模型是为了帮助学生理解和掌握“负负得正”法则的“脚手架”,是裹在原理外面的“糖衣”.因为原理艰涩难懂,因为保持运算的持续性不好理解,所以通过模型这层“糖衣”把它包装起来,这样接受起来就容易多了.
既然没有说明算理,谈何要求学生理解其中的道理呢?
既如此,模型不是脚手架又是什么?
不是不想说明其中的道理,而是很难说清其中的道理,因为“负负得正”超越了学生的经验,很难证明.“由于日常生活中很少有学生容易理解的两个负数相乘的实例,因此学生会对法则合理性的认识有一定的困难.”[9]
3.教学从学生对模型的倾向性和认知水平出发
我们设计了这样一个问题:
“对于说明‘负负得正’的模型,只要学生喜欢,便于学生掌握‘负负得正’法则,哪一个都可以.”教师的回答情况如表8.
不赞同的只有10.5%,绝大部分教师认为,选择模型,要从学生对模型的倾向性和认知水平出发.实际教学中的不匹配现象值得我们思考.
四、结论与建议
1.教师使用的模型对学生的理解没有显著性影响
调查表明,教师使用的说明“负负得正”的模型对学生的理解没有显著性影响,能够说明“负负得正”的学生人数非常少,既然如此,就应该选择学生易于理解的模型.
2.师生最倾向使用的模型依次是:
归纳模型、数轴模型与相反数模型
虽然师生倾向于归纳模型,虽然归纳模型体现了真正的数学[10],但是,由于学生在实际中很难获得对它的理解,因而要谨慎使用.数轴模型也获得了师生的认可,但是正如有的研究所表明的,这个模型让学生转来转去,容易迷惑.相反数模型得到师生的一致认可,并且由于学生常常无意识地、自发地使用这个模型,也就是说学生最容易理解这个模型,所以,基于“要选择学生易于理解的模型”这一结论,我们应该更多地使用相反数模型.
师生最不喜欢形式化的模型,如分配律模型.
3.模型并没有说明为什么“负负得正”,模型就是一副脚手架
既然一种模型不能够真正说明“负负得正”,就应该选择另一种学生易于理解的模型,这是教学“高效性”的要求.
4.教学中和教科书中可以使用相反数模型
附件:
说明为什么“负负得正”的模型
（1）归纳模型:
（-5）×2=-10,（-5）×1=-5,
（-5）×0=0,从而（-5）×（-1）=5,（-5）×（-2）=10,（-5）×（-3）=15.
（2）分配律模型:
（-5）×（-3）=（-5）×（0-3）=（-5）×0-[（-5）×3]=0-（-15）=15.
（3）相反数模型:
5×3=5+5+5=15;（-5）×3=
（-5）+（-5）+（-5）=-15.所以,把一个因数换成它的相反数,所得的积就是原来的积的相反数.（-5）×（-3）=15.
（4）气温变化模型:
今天的气温记为0摄氏度,每天下降5摄氏度.昨天记为-1,前天记为-2,大前天记为-3,（-5）×（-3）就是大前天的度数,就是15.
（5）数轴模型:
规定,数轴的正方向为东,数轴的负方向为西.一个人在数轴的原点处,-5看做向西运动5米（计划向西）;（-5）×（-3）看做沿反方向（即向东）运动3次.结果:
向东运动了15米.所以（-5）×（-3）=15.
（6）好孩子模型:
好孩子用正数表示（+）,坏孩子用负数表示（-）;进城市用正数表示（+）,出城市用负数表示（-）;好事用正数表示（+）,坏事用负数表示（-）.好孩子（+）进城（+）,对城市来说是件好事（+）,所以（+）×（+）=+;坏孩子（-）出城（-）,对城市来说是件好事（+）,所以（-）×（-）=+.所以（-5）×（-3）=15.
（7）向后转模型:
规定一个人面朝东为+1,面朝西为-1.原地不动,表示×（+1）;向后转,表示×（-1）.现在一个人面朝西（-1）,向后转×（-1）,此时,他面朝东,所以（-1）×（-1）=1.所以（-5）×（-3）=15.
（注:
本文得到张奠宙先生的指导,特致谢意）
参考文献:
[1]李光树.小学数学教学论[M].北京:
人民教育出版社,2004:
161.
[2]马云鹏.小学数学教学论[M].北京:
人民教育出版社,2003:
20.
[3]人民教育出版社中学数学室.代数第一册（上）[M].北京:
人民教育出版社,2001:
93-101.
[4]罗增儒.案例创作:
“（-3）×（-4）=?
”数轴表示的挑战[J].中学数学教学参考,2004（12）:
3-7.
[5]马复.数学（七年级上册）[M].北京:
北京师范大学出版社,2005:
74-79.
[6]王建磐.数学（七年级上）[M].上海:
华东师范大学出版社,2001:
52-56.
[7]F.克莱因.高观点下的初等数学（第一册）[M].武汉:
湖北教育出版社,1989,7-37.
[8][10]FREUDENTHALH.作为教育任务的数学[M].陈昌平,唐瑞芬,等译.上海:
上海教育出版社,1995:
189-210,221.
[9]范良火.数学?
七年级（上）教学参考书[M].杭州:
浙江教育出版社,2006:
59.
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