中考攻略专题10几何三大变换之平移探讨.docx

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中考攻略专题10几何三大变换之平移探讨

专题10：

几何三大变换之平移探讨

轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。

平移由移动的方向和距离决定。

经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等；平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。

在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识，是中考数学的必考内容。

结合全国各地中考的实例，我们从下面七方面探讨平移变换：

（1）构造平移图形；

（2）点的平移；（3）直线（线段）的平移；（4）曲线的平移；（5）三角形的平移；（6）四边形的平移。

一、构造平移图形：

典型例题：

例1.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：

（1）将△ABC向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度，画出两次平移后的△A1B1C1;

（2）写出A1、C1的坐标；

（3）将△A1B1C1绕C1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1，求线段B1C1旋转过程中扫过的面积（结

果保留π）。

例2.（2012海南省8分）如图，在正方形网络中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（－2，4）、（－2，0）、（－4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：

（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1.

（2）平移△ABC，使点A移动到点A2（0，2），画出平移后的△A2B2C2并写出点B2、C2的坐标.

（3）在△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2中，△A2B2C2与成中心对称，其对称中心的坐标为.

练习题：

1.如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），反比例函数

与直线的交点A、B均在格点上，根据所给的直角坐标系（点O是坐标原点），解答下列问题：

（1）分别写出点A、B的坐标后，把直线AB向右平移平移5个单位，再在向上平移5个单位，画出平移后的直线A′B′.

（2）若点C在函数

的图像上，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，请写出点C的坐标.

2.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（－1，3）、（－4，1），先

将线段AB沿一确定方向平移得到线段A1B1，点A的对应点为A1，点B1的坐标为（0，2），在将线段A1B1

绕远点O顺时针旋转90°得到线段A2B2，点A1的对应点为点A2．

（1）画出线段A1B1、A2B2；

（2）直接写出在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长．

3.（2012辽宁丹东8分）已知：

△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）.（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）

（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；

（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2︰1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．

二、点的平移：

典型例题：

例1.在平面直角坐标系中，将点P（﹣1，4）向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，得到点P1，则点P1的坐标为．

例2.如图，在△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，

沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是【】

A.一直增大B.一直减小C.先减小后增大D.先增大后减小

例3.如图所示，已知A

，B

为反比例函数

图像上的两点，动

点P

在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是【】

A.

B.

C.

D.

例4.（2012辽宁大连3分）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C－D－E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（－1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为【】

  A.1  B.2  C.3  D.4

练习题：

1.将点A（2，1）向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是【】

A．（2，3）B．（2，－１）C．（4，1）D.（0，1）

2.在平面直角坐标系中，一青蛙从点A（－1，0）处向右跳2个单位长度，再向上跳2个单位长度到点A′处，则点A′的坐标为▲.

3.如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2

）、D（0，3

），射线l过点D且与

x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60º．

（1）点B的坐标是，∠CAO＝º，当点Q与点A重合时，点P的坐标

为；

（2）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应

的自变量x的取值范围．

4.如图，在

OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．动

点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以

acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．

设运动时间为t秒．

（1）填空：

点C的坐标是（______，______），对角线OB的长度是_______cm；

（2）当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?

（3）当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

三、直线（线段）的平移：

典型例题：

例1.将直线y=2x向上平移1个单位长度后得到的直线是

例2.如图，A．B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移到至A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则a+b=　　．

例3.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在

的直线建立平面直角坐标系，抛物线

经过A、B两点.

（1）写出点A、点B的坐标；

（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物

线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；

（3）在

（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？

若存在，请求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

例4.（2012福建福州14分）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D

的坐标；

（3）如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在

（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB

的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

练习题：

1.将直线

向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为【】

A．

　　　　　B．

C．

　　　　　D．

2.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（

），B（

），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线

经过点D、M、N．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？

并求出最大值．

3.如图，直线y＝

x＋m（m≠0）交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B且AB＝5，过点A作直线AC⊥AB交y轴于点C.点E从坐标原点O出发，以0.8个单位/秒的速度沿y轴向上运动；与此同时直线l从与直线AC重合的位置出发，以1个单位/秒的速度沿射线AB方向平行移动.直线l在平移过程中交射线AB于点F、交y轴于点G.设点E离开坐标原点O的时间为t（t≥0）s.

（1）求直线AC的解析式；

（2）直线l在平移过程中，请直接写出△BOF为等腰三角形时点F的坐标；

（3）直线l在平移过程中，设点E到直线l的距离为d，求d与t的函数关系．

备用图

四、曲线的平移：

典型例题：

例1.将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是▲．

例2.在平面直角坐标系中，将抛物线

向上（下）或向左（右）平移了m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则

的最小值为【】

A．1　　B．2　　　　C．3　　　　D．6

例3.如图，把抛物线y=

x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=

x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为

　　．

例4.如图，经过点A（0，－4）的抛物线y＝

x2＋bx＋c与x轴相交于点B（－0，0）和C，O为坐标原点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将抛物线y＝

x2＋bx＋c向上平移

个单位长度、再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物

线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；

（3）设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长．

练习题：

1.在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度，再

向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是【】

A.（－2，3）B.（－1，4）C.（1，4）D.（4，3）

2.将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是【】

A．y＝（x＋2）2＋2B．y＝（x＋2）2－2C．y＝（x－2）2＋2D．y＝（x－2）2－2

3.已知直线

与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线

的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．

（1）如图①，当点M与点A重合时，求：

①抛物线的解析式；（4分）

②点N的坐标和线段MN的长；（4分）

（2）抛物线

在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？

若存在，

直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）

4.已知抛物线y=x2+4x+m（m为常数）经过点（0,4）.

（1）求m的值；

（2）将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线.已知平移后的抛物线满足下述两个条件：

的

对称轴（设为直线l2）与平移前的抛物线的对称轴（设为直线l1）关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为-8.

1试求平移后的抛物线的解析式；

2试问在平移后的抛物线上是否存在点P，使得以3为半径的圆P既与x轴相切，又与直线l2

相交？

若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l2被圆P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由.

5.如图，在平面直角坐标系

中，把抛物线

向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线

.所得抛物线与

轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与

轴交于点C，顶点为D.

（1）写出

的值；

（2）判断△ACD的形状，并说明理由；

（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

五、三角形的平移：

典型例题：

例1.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于　▲　cm．

例2.如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D,E,F，连结AD，求证：

四边形ACFD是菱形。

例3.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．

（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；

（2）求线段BD的长．

例4.如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、

B（0，1）、C（d，2）。

（1）求d的值；

（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图

像上。

请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；

（3）在

（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G。

问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P，

使得四边形PGMC′是平行四边形。

如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

练习题：

1.如图，△A’B’C’是由

ABC沿射线AC方向平移2cm得到，若AC＝3cm，则A’C＝　　　　cm．

2.如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC＝3，

，则BB1＝．

3.如图

（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F

（1）求证：

CE=CF．

（2）将图

（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图

（2）所示．试猜想：

BE′与CF有怎样的数量关系？

请证明你的结论．

4.如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标

原点，边OA在

轴上，OA＝AB＝1个单位长度．把Rt△OAB沿

轴正方向平移1个单位长度后得△AA1B．

（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；

（2）若

（1）中的抛物线与OB交于点C，与

轴交于点D，

求点D、C的坐标．

六、四边形的平移：

典型例题：

例1.如图，等腰梯形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知A（-2，0）、B（6，0）、D（0，3），反比例函数的图象经过点C．

（1）求点C坐标和反比例函数的解析式；

（2）将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后，使点B恰好落在双曲线上，求m的值

例2.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l1:

y=

x与直线l2：

y=－x+6相交于点M，直线l2与x轴相较于点N.

（1）求M，N的坐标；

（2）在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个

单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S.移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）。

直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；

（3）在

（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？

并求出最大值.

例3.如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD

以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，

连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH

的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中

0≤x≤2.5

.

⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y=3时相应x的值；

⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；

⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.

练习题：

1.如图，已知抛物线y=ax²+bx+3经过点B（－1，0）、C（3，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转90°，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4,0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG,EF=EH=1。

直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；

（3）作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，直线HG与对称轴交于点K，当t为何值时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形。

请直接写出符合条件的t值。

2.已知抛物线

与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（－1，0），O是坐标原点，且

．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）直接写出直线BC的函数表达式；

（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF

以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0＜t≤2）.

求：

①s与t之间的函数关系式；

②在运动过程中，s是否存在最大值？

如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请

说明理由．

（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、

N、P为顶点的平行四边形？

若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．

①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．