高中数学同步题库含详解4函数的对称性与周期性.docx

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高中数学同步题库含详解4函数的对称性与周期性

高中数学同步题库含详解4函数的对称性与周期性

一、选择题（共40小题；共200分）

1.函数是定义在上的周期函数，最小正周期是，若，则的值为

A.B.C.D.

2.如图所示的是定义在上的四个函数的图象，不是周期函数图象的是

A.

B.

C.

D.

3.已知函数是奇函数，是偶函数，且，则

A.B.C.D.

4.如果函数对任意的实数，都有，那么

A.B.

C.D.

5.设为定义在上的奇函数，且满足，当时，，则

A.B.C.D.

6.函数的图象

A.与的图象关于轴对称

B.与的图象关于坐标原点对称

C.与的图象关于轴对称

D.与的图象关于坐标原点对称

7.设是定义在上的周期为的周期函数，如图表示该函数在区间上的图象，则

A.B.C.D.

8.已知函数不为轴，且的图象关于点对称，则

A.B.C.D.

9.对于函数，设，，，，令集合，则集合为

A.空集B.实数集C.单元素集D.二元素集

10.在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则

A.在区间上是增函数，在区间上是增函数

B.在区间上是增函数，在区间上是减函数

C.在区间上是减函数，在区间上是增函数

D.在区间上是减函数，在区间上是减函数

11.已知函数，则

A.B.C.D.

12.设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则

A.B.C.D.

13.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是

A.B.C.D.

14.函数的图象的图象

A.关于原点对称B.关于直线对称

C.关于轴对称D.关于直线对称

15.已知是上最小正周期为的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为

A.B.C.D.

16.已知，，则的值为

A.B.C.D.

17.已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且当时，，则

A.B.C.D.

18.已知定义在上的函数满足：

，当时，，若存在，使方程的实根，则的取值集合是

A.B.C.D.

19.已知是定义在上的偶函数，且恒成立，当时，，则当时，

A.B.C.D.

20.已知函数，则

A.在单调递增

B.在单调递减

C.的图象关于直线对称

D.的图象关于点对称

21.若直角坐标系内，两点满足：

点，都在的图象上；点，关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹”点对，与可看作一个“姊妹点对”，已知函数则的“姊妹点对“有

A.个B.个C.个D.个

22.函数对任意的均有，那么，，的大小关系是

A.B.

C.D.

23.已知定义在上的函数满足，，则

A.B.C.D.

24.点从点出发，按逆时针方向沿周长为的图形运动一周，，两点连线的距离与点走过的路程的函数关系如图，那么点所走的图形是

A.

B.

C.

D.

25.已知在上是奇函数，且满足，当时，，则等于

A.B.C.D.

26.定义在上的函数的图象关于点成中心对称，且对任意的实数都有，，，则

A.B.C.D.

27.定义在上的函数满足，，且时，，则等于

A.B.C.D.

28.设函数的图象关于直线对称，则的值为

A.B.C.D.

29.已知函数是定义在上的最小正周期为的奇函数，当时，则

A.B.C.D.

30.已知函数，且，则下列说法正确的是

A.

B.

C.

D.与的大小关系不能确定

31.奇函数满足，且当时，，则

A.B.C.D.

32.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到下列文字：

“已知二次函数的图象过点求证：

这个二次函数的图象关于直线对称．”根据以上信息知，题中二次函数的图象不具有的性质是

A.过点B.顶点为

C.在轴上截得的线段长为D.与轴的交点为

33.已知是上的偶函数，且满足，当时，，则

A.B.C.D.

34.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则

A.B.C.D.

35.定义在上的函数满足，当时，；当时，，则

A.B.C.D.

36.已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，，则的值为

A.B.C.D.

37.已知定义在上的函数对任意的都满足，当时，，若函数，且至少有个零点，则取值范围是

A.B.

C.D.

38.已知函数满足，，则等于

A.B.C.D.

39.设定义在上的函数满足，若，则．

A.B.C.D.

40.已知函数满足，若函数与图象的交点为，，，，则

A.B.C.D.

二、填空题（共40小题；共200分）

41.设是以为周期的偶函数，且当时，则 ．

42.已知是定义在上的奇函数，对任意，都有，若，则 ．

43.若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与曲线关于轴对称，则 ．

44.已知是奇函数，满足，，则 .

45.函数的图象的对称中心为 ．

46.设函数是定义在上的周期为的偶函数，当时，，则 ．

47.若在上满足，且的图象关于直线对称，则 ．

48.已知定义在上的函数满足，且对任意的都有，则 ．

49.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 ．

50.已知函数满足，若函数与图象的交点为，，，，则 ．

51.设函数的图象与函数的图象关于直线对称，且，则实数的值是 ．

52.已知函数对任意的，都有，且当时，，那么 ．

53.已知函数，则 ．

54.已知定义在上的函数满足对于任意的，都有，且时，，则 ．

55.已知函数，，若，则 ．

56.已知是定义在上的偶函数，并满足，当，则，则 .

57.已知函数，，则 ．

58.设是定义在上以为周期的奇函数，且，，则实数的取值范围是 ．

59.已知函数，则 ．

60.已知函数对于任意实数满足条件，若，则 ．

61.设函数是奇函数，且时，则 ．

62.已知是定义在上的奇函数，它的最小正周期为，那么 ．

63.已知奇函数的定义域为．若为偶函数，且，则 ．

64.设函数是定义在上的以为周期的奇函数，若，，则的取值范围是 ．

65.若函数的图象关于直线对称，则非零实数 ．

66.已知是定义在上的偶函数，且．若当时，，则 ．

67.若关于对称，则 ．

68.已知是定义在上的偶函数，并且，当时，，则 ．

69.已知函数，则 ．

70.已知函数对于任意实数都满足条件，若，则 ．

71.对于定义在上的函数，有下列四个命题，①若是奇函数，则的图象关于点对称；②若关于，有，则的图象关于直线对称；③函数的图象关于直线对称，则为偶函数；④函数与函数的图象关于直线对称．其中，正确命题的序号为 ．

72.已知函数满足：

，，则 ．

73.定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，给出下列关于的判断：

①是周期函数；

②关于直线对称；

③在上是增函数；

④在上是减函数；

⑤，

其中正确的序号是 ．

74.若函数的图象关于直线对称，则的最大值是 ．

75.定义在上的函数满足若时，，则 ．

76.已知函数，那么 ．

77.设是定义在上且周期为的函数，且在区间上，其中．若，则的值为 ．

78.已知是定义在上的函数，，且对于任意的都有，，若，则的值为 ．

79.是定义在上的函数，且，，，则 ．

80.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，若方程（）在区间上有四个不同的根，，，，则 .

三、解答题（共20小题；共260分）

81.如果函数对任意实数都有，比较，，的大小．

82.已知函数是定义在上的奇函数，且对任意实数有成立.

（1）证明：

是周期为的周期函数；

（2）若，求时，函数的解析式.

83.若函数对于定义域中的任意实数，都存在实数，满足，则称的图象关于点对称．已知函数的图象关于点对称，求实数的值．

84.已知函数定义在自然数集上，且对任意都有，其中．问是不是周期函数?

若是周期函数，求出它的一个周期，并求．

85.设，若函数与的图象关于轴对称，求证：

为偶函数．

86.设函数是定义在上的奇函数，对任意实数有成立．

（1）证明是周期函数，并指出其周期；

（2）若，求的值；

（3）若，且是偶函数，求实数的值．

87.设，若函数与的图象关于轴对称，求证：

为偶函数．

88.已知函数的定义域为，且满足．

（1）求证：

是周期函数；

（2）若为奇函数，且当时，，求在上使的所有的个数．

89.若函数对于定义域中的任意实数，都存在实常数，满足，则称关于点对称，已知函数的图象关于对称，求实数的值．

90.已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，

（1）求证：

是周期函数；

（2）当时，求的解析式；

（3）计算的值．

91.已知函数的定义域为，且当时，恒成立．

（1）求证：

的图象关于直线对称；

（2）若函数的图象的对称轴是，求非零实数的值．

92.已知函数的定义域为，且满足．

（1）求证：

是周期函数；

（2）若为奇函数，且当时，，求使在上的所有的个数．

93.已知函数的图象与函数的图象关于点对称．

（1）求的解析式；

（2）若，且在区间上为减函数，求实数的取值范围．

94.设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．

（1）求证：

函数恒有成立；

（2）当时，求的解析式；

（3）计算．

95.已知函数与的图象关于原点对称．

（1）写出函数的解析式；

（2）若函数为奇函数，试确定实数的值；

（3）当时，总有成立，求实数的取值范围．

96.已知函数是定义域为的奇函数，且对任意的，都有成立，当时，．

（1）当时，求函数的解析式；

（2）求不等式在区间上的解集．

97.已知函数和的图象关于原点对称，且．

（1）求函数的解析式；

（2）若在上是增函数，求实数的取值范围．

98.已知函数是定义在上且的周期函数，当时，，当时，，又函数在上是奇函数且在区间上单调递增．

（1）求函数在上的解析式；

（2）求函数在上的解析式．

99.已知函数在上的最大值与最小值之和为，记．

（1）求的值；

（2）证明；

（3）求的值．

100.已知函数对任意实数均有，其中为常数.

（1）若，函数是否具有周期性?

若是，求出其周期；

（2）在

（1）的条件下，又知为定义在上的奇函数，且当时，，则方程在区间上有多少个解?

（写出结论，不需过程）

（3）若为负常数，且当时，，求在上的解析式，并求的最小值与最大值．

答案

第一部分

1.B2.D3.A【解析】函数是奇函数，

所以函数的图象关于对称，．

又因为是偶函数，

所以的图象关于直线对称，

所以，

所以．

4.D【解析】由知图象关于直线对称．

5.A

【解析】由，知．

6.D【解析】如图，分别作出函数，，的草图，

利用图象关于轴对称及关于原点对称的特征进行观察比较．

7.C8.C【解析】由题意可得，，解得．

9.B【解析】因为，

所以，，，，

所以是以为周期的函数，

所以，

所以集合．

10.B

11.B【解析】由已知可得，当时，，故其周期为，．

12.C【解析】设是函数图象上任意一点，它关于直线的对称点为，

由的图象与的图象关于直线对称，可知在的图象上，

即，

解得，

所以，

解得．

13.D【解析】提示：

当时，函数，函数，因为两函数上存在关于轴对称的点，所以有解得.

14.A15.B

【解析】当时，令，得或．根据周期函数的性质，由的最小正周期为，可知在上有个零点，又，所以在上与轴的交点个数为．

16.C17.B【解析】因为为奇函数，为偶函数，

所以，

所以，

所以，

所以为周期函数，且周期为，

所以，．

在中，令，可得，

所以．

18.D【解析】由可知的图象关于直线对称．

当时，令，解出．又因为的图象关于对称，所以当时，对应的实根为．所以的取值为和．

19.B20.C

【解析】因为函数，

所以，即，即的图象关于直线对称．

21.B【解析】函数图象如图所示，由题意，只须作出函数的图象关于原点对称的图象，看它与函数的交点个数即可，观察图象可得交点个数为．

22.C【解析】因为，所以抛物线的对称轴是直线，

所以，即，

所以，

所以，，，故有．

23.B24.C25.B

【解析】由知，是周期为的周期函数，，又，所以，由得，所以．

26.A27.C【解析】由，

得，

因为，

所以

28.A29.C【解析】因为，

，

，

，

所以．

30.A

【解析】函数图象的对称轴为，而，因为，故到对称轴的距离大，所以较大．

31.A【解析】因为，

所以是以为周期的周期函数，

所以，

易知，

所以，

所以．

32.B33.B34.B【解析】由知函数的周期为，又函数为奇函数，所以．

35.A

36.B【解析】由已知条件知，函数在定义域上关于点对称，同时关于直线对称，所以函数的周期为．又，所以．易知，所以，，．因此

37.A【解析】故函数周期为，已知其在的解析式是可画出图象．的零点就是与交点．可知或满足题意．解得范围是.

38.D【解析】，

，

则是以为周期的周期函数，

从而．

39.C【解析】又，，所以，所以函数的周期为，．

40.B

【解析】由得关于对称，而也关于对称，所以对于每一组对称点，，所以．

第二部分

41.

【解析】

42.

【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，

又因为对任意，都有，所以是周期为的周期函数．

故．

43.

【解析】与曲线关于轴对称的曲线为，函数的图象向左平移一个单位长度即可得到函数的图象，即．

44.

45.

【解析】因为，故的对称中心为．

46.

【解析】．

47.

【解析】因为在上满足，

所以令，则，得．

又因为的图象关于直线对称，所以．

所以，，，，．

所以．

48.

49.

【解析】由题意，得，．由，，可得．

50.

【解析】由，得的图象关于点对称．

因为的图象也关于点对称，且在时无定义，

所以为正偶数，

所以对于每一组对称点和都有且，

所以．

51.

【解析】设函数的图象上任意一点的坐标为，其关于直线对称的点的坐标为，则点在函数的图象上，由得，，代入得，即，即函数，又，所以，解得．

52.

【解析】由得，所以函数的周期是，所以．

53.

【解析】易得，所以，又，所以，所以．

54.

【解析】由题意得，，，，，将个式子相加得，即．

故．

55.

【解析】因为函数，，

所以

所以，

因为，

所以．

56.

57.

【解析】，，

所以，．

58.

【解析】因为，

所以，

解得．

59.1

【解析】，，所以．

60.

【解析】由得，所以，则．

61.

62.

【解析】因为的最小正周期为，所以．又是奇函数，所以，所以，则，故．

63.

【解析】因为为偶函数，

所以其图象的对称轴为直线，

所以函数的图象的对称轴为直线．

又因为函数是奇函数，其定义域为，

所以，

所以，

故．

64.

【解析】因为函数以为周期，

所以，

又因为，函数是奇函数，

所以，

因此，，解之得或．

65.

【解析】易知，即，或．又实数，故，经检验符合题意．

66.

【解析】由，则，

所以为周期为的周期函数，，

由是定义在上的偶函数，则，

当时，，，

所以．

67.

68.

【解析】因为，所以，

所以函数是周期为的周期函数，

所以，又，是定义在上的偶函数，

所以．

因为当时，，

所以，则．

69.

70.

【解析】由，得，

所以，则．

71.①③

72.

【解析】取，得．取，，有，同理，联立得，所以，故．

73.①②⑤

【解析】①正确；因为定义在上的偶函数满足，

所以，所以是周期为的函数．

②正确；因为，所以的图象关于对称．

③④错误；因为为偶函数且在上是增函数，所以在上是减函数．又因为对称轴为，所以在上为增函数．

⑤正确；因为对称轴为，所以．

74.

【解析】由的图象关于直线对称，且知，．

所以．

令，则

当时，有．

75.

76.

【解析】因为．

所以．

77.

【解析】由题意，得

由，得，

即．

由，得．

联立①②，解得

所以．

78.

【解析】由，知，又，，得，，即，，从而，所以，是周期为的周期函数，则．

79.

80.

【解析】为定义在上的奇函数满足，所以.

因为为奇函数，所以函数图象关于直线对称且.

由知，所以函数是以为周期的周期函数.

又因为在区间上是增函数，所以在区间上也是增函数.

如图所示，那么不妨设方程（）在区间上的四个不同的根，，，之间的大小关系为，

由对称性知，所以.

第三部分

81.由题意知，的对称轴为，故，

因为在上是增函数，

所以，即．

82.

（1）由可得

又函数是定义在上的奇函数，有，

故.

从而，所以是周期为的周期函数.

（2）由函数是定义在上的奇函数，有.

时，，，

故时，.

时，.

，

从而，时，函数的解析式为.

83.由题意值，若的图象关于点对称，

则．

因为的图象关于点对称，

所以，

所以．

所以，

所以．

84.由，得．

所以．

所以．

同理，，

所以是以为周期的周期函数．

．

85.由函数与的图象关于轴对称，可知．

将换成代入上式可得，

即，由偶函数的定义可知为偶函数．

86.

（1）由，且，

知，

所以是周期函数，且是其一个周期．

（2）因为为定义在上的奇函数，所以，

且，又是的一个周期，

所以．

      （