高中数学同步题库含详解4函数的对称性与周期性.docx

1、高中数学同步题库含详解4函数的对称性与周期性高中数学同步题库含详解4函数的对称性与周期性 一、选择题（共40小题；共200分）1. 函数 是定义在 上的周期函数，最小正周期是 ，若 ，则 的值为 A. B. C. D. 2. 如图所示的是定义在 上的四个函数的图象，不是周期函数图象的是 A. B. C. D. 3. 已知函数 是奇函数， 是偶函数，且 ，则 A. B. C. D. 4. 如果函数 对任意的实数 ，都有 ，那么 A. B. C. D. 5. 设 为定义在 上的奇函数，且满足 ，当 时，则 A. B. C. D. 6. 函数 的图象 A. 与 的图象关于 轴对称 B. 与 的图象关

2、于坐标原点对称 C. 与 的图象关于 轴对称 D. 与 的图象关于坐标原点对称 7. 设 是定义在 上的周期为 的周期函数，如图表示该函数在区间 上的图象，则 A. B. C. D. 8. 已知函数 不为 轴，且 的图象关于点 对称，则 A. B. C. D. 9. 对于函数 ，设 ，令集合 ，则集合 为 A. 空集 B. 实数集 C. 单元素集 D. 二元素集 10. 在 上定义的函数 是偶函数，且 ，若 在区间 上是减函数，则 A. 在区间 上是增函数，在区间 上是增函数 B. 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数 C. 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数 D. 在区间 上是减函数，

3、在区间 上是减函数 11. 已知函数 ，则 A. B. C. D. 12. 设函数 的图象与 的图象关于直线 对称，且 ，则 A. B. C. D. 13. 已知函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 14. 函数的图象 的图象 A. 关于原点对称 B. 关于直线 对称 C. 关于 轴对称 D. 关于直线 对称 15. 已知 是 上最小正周期为 的周期函数，且当 时，则函数 的图象在区间 上与 轴的交点的个数为 A. B. C. D. 16. 已知 ，则 的值为 A. B. C. D. 17. 已知 是定义在 上的奇函数， 是偶函数，且当 时，则

4、A. B. C. D. 18. 已知定义在 上的函数 满足：，当 时，若存在 ，使方程 的实根 ，则 的取值集合是 A. B. C. D. 19. 已知 是定义在 上的偶函数，且 恒成立，当 时，则当 时， A. B. C. D. 20. 已知函数 ，则 A. 在 单调递增 B. 在 单调递减 C. 的图象关于直线 对称 D. 的图象关于点 对称 21. 若直角坐标系内 ， 两点满足： 点 ， 都在 的图象上； 点 ， 关于原点对称，则称点对 是函数 的一个“姊妹”点对， 与 可看作一个“姊妹点对”，已知函数 则 的“姊妹点对“有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 22. 函数 对任意的

5、 均有 ，那么 ， 的大小关系是 A. B. C. D. 23. 已知定义在 上的函数 满足 ，则 A. B. C. D. 24. 点 从点 出发，按逆时针方向沿周长为 的图形运动一周， 两点连线的距离 与点 走过的路程 的函数关系如图，那么点 所走的图形是 A. B. C. D. 25. 已知 在 上是奇函数，且满足 ，当 时，则 等于 A. B. C. D. 26. 定义在 上的函数 的图象关于点 成中心对称，且对任意的实数 都有 ，则 A. B. C. D. 27. 定义在 上的函数 满足 ，且 时，则 等于 A. B. C. D. 28. 设函数 的图象关于直线 对称，则 的值为 A.

6、 B. C. D. 29. 已知函数 是定义在 上的最小正周期为 的奇函数，当 时 ，则 A. B. C. D. 30. 已知函数 ，且 ，则下列说法正确的是 A. B. C. D. 与 的大小关系不能确定 31. 奇函数 满足 ，且当 时，则 A. B. C. D. 32. 由于被墨水污染，一道数学题仅能见到下列文字：“已知二次函数 的图象过点 求证：这个二次函数的图象关于直线 对称”根据以上信息知，题中二次函数的图象不具有的性质是 A. 过点 B. 顶点为 C. 在 轴上截得的线段长为 D. 与 轴的交点为 33. 已知 是 上的偶函数，且满足 ，当 时，则 A. B. C. D. 34.

7、 已知定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时，则 A. B. C. D. 35. 定义在 上的函数 满足 ，当 时，；当 时，则 A. B. C. D. 36. 已知定义在 上的奇函数 的图象关于直线 对称，则 的值为 A. B. C. D. 37. 已知定义在 上的函数 对任意的 都满足 ，当 时，若函数 ，且 至少有 个零点，则 取值范围是 A. B. C. D. 38. 已知函数 满足 ，则 等于 A. B. C. D. 39. 设定义在 上的函数 满足 ，若 ，则 A. B. C. D. 40. 已知函数 满足 ，若函数 与 图象的交点为 ，则 A. B. C. D. 二、填空题（共40

8、小题；共200分）41. 设 是以 为周期的偶函数，且当 时 ，则 42. 已知 是定义在 上的奇函数，对任意 ，都有 ，若 ，则 43. 若将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象与曲线 关于 轴对称，则 44. 已知 是奇函数，满足 ，则 . 45. 函数 的图象的对称中心为 46. 设函数是定义在 上的周期为 的偶函数，当 时，则 47. 若 在 上满足 ，且 的图象关于直线 对称，则 48. 已知定义在 上的函数 满足 ，且对任意的 都有 ，则 49. 设 是定义在 上的奇函数，且 的图象关于直线 对称，则 50. 已知函数 满足 ，若函数 与 图象的交点为 ，则 51. 设函数

9、的图象与函数 的图象关于直线 对称，且 ，则实数 的值是 52. 已知函数 对任意的 ，都有 ，且当 时，那么 53. 已知函数 ，则 54. 已知定义在 上的函数 满足对于任意的 ，都有 ，且 时，则 55. 已知函数 ，若 ，则 56. 已知 是定义在 上的偶函数，并满足 ，当 ，则 ，则 . 57. 已知函数 ，则 58. 设 是定义在 上以 为周期的奇函数，且 ，则实数 的取值范围是 59. 已知函数 ，则 60. 已知函数 对于任意实数 满足条件 ，若 ，则 61. 设函数 是奇函数，且 时 ，则 62. 已知 是定义在 上的奇函数，它的最小正周期为 ，那么 63. 已知奇函数 的定

10、义域为 若 为偶函数，且 ，则 64. 设函数 是定义在 上的以 为周期的奇函数，若 ，则 的取值范围是 65. 若函数 的图象关于直线 对称，则非零实数 66. 已知 是定义在 上的偶函数，且 若当 时，则 67. 若 关于 对称，则 68. 已知 是定义在 上的偶函数，并且 ，当 时，则 69. 已知函数 ，则 70. 已知函数 对于任意实数 都满足条件 ，若 ，则 71. 对于定义在 上的函数 ，有下列四个命题， 若 是奇函数，则 的图象关于点 对称； 若关于 ，有 ，则 的图象关于直线 对称； 函数 的图象关于直线 对称，则 为偶函数； 函数 与函数 的图象关于直线 对称其中，正确命题

11、的序号为 72. 已知函数 满足：，则 73. 定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上是增函数，给出下列关于 的判断： 是周期函数； 关于直线 对称； 在 上是增函数； 在 上是减函数； ， 其中正确的序号是 74. 若函数 的图象关于直线 对称，则 的最大值是 75. 定义在 上的函数 满足 若 时，则 76. 已知函数 ，那么 77. 设 是定义在 上且周期为 的函数，且在区间 上， 其中 若 ，则 的值为 78. 已知 是定义在 上的函数，且对于任意的 都有 ，若 ，则 的值为 79. 是定义在 上的函数，且 ，则 80. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函数，若方程 （

12、）在区间 上有四个不同的根 ， ，则 . 三、解答题（共20小题；共260分）81. 如果函数 对任意实数 都有 ，比较 ， 的大小 82. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且对任意实数有 成立.（1）证明： 是周期为 的周期函数；（2）若 ，求 时，函数 的解析式. 83. 若函数 对于定义域中的任意实数 ，都存在实数 ， 满足 ，则称 的图象关于点 对称已知函数 的图象关于点 对称，求实数 的值 84. 已知函数 定义在自然数集上，且对任意 都有 ，其中 问 是不是周期函数?若是周期函数，求出它的一个周期，并求 85. 设 ，若函数 与 的图象关于 轴对称，求证： 为偶函数 86. 设函数

13、 是定义在 上的奇函数，对任意实数 有 成立（1）证明 是周期函数，并指出其周期；（2）若 ，求 的值；（3）若 ，且 是偶函数，求实数 的值 87. 设 ，若函数 与 的图象关于 轴对称，求证： 为偶函数 88. 已知函数 的定义域为 ，且满足 （1）求证： 是周期函数；（2）若 为奇函数，且当 时，求在 上使 的所有 的个数 89. 若函数 对于定义域中的任意实数 ，都存在实常数 ， 满足 ，则称 关于点 对称，已知函数 的图象关于 对称，求实数 的值 90. 已知函数 是 上的奇函数，且 的图象关于 对称，当 时，（1）求证： 是周期函数；（2）当 时，求 的解析式；（3）计算 的值 9

14、1. 已知函数 的定义域为 ，且当 时， 恒成立（1）求证： 的图象关于直线 对称；（2）若函数 的图象的对称轴是 ，求非零实数 的值 92. 已知函数 的定义域为 ，且满足 （1）求证： 是周期函数；（2）若 为奇函数，且当 时，求使 在 上的所有 的个数 93. 已知函数 的图象与函数 的图象关于点 对称（1）求 的解析式；（2）若 ，且 在区间 上为减函数，求实数 的取值范围 94. 设 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 ，恒有 当 时，（1）求证：函数 恒有 成立；（2）当 时，求 的解析式；（3）计算 95. 已知函数 与 的图象关于原点对称（1）写出函数 的解析式；（2）若函数

15、为奇函数，试确定实数 的值；（3）当 时，总有 成立，求实数 的取值范围 96. 已知函数 是定义域为 的奇函数，且对任意的 ，都有 成立，当 时，（1）当 时，求函数 的解析式；（2）求不等式 在区间 上的解集 97. 已知函数 和 的图象关于原点对称，且 （1）求函数 的解析式；（2）若 在 上是增函数，求实数 的取值范围 98. 已知函数 是定义在 上且 的周期函数，当 时，当 时，又函数 在 上是奇函数且在区间 上单调递增（1）求函数 在 上的解析式；（2）求函数 在 上的解析式 99. 已知函数 在 上的最大值与最小值之和为 ，记 （1）求 的值；（2）证明 ；（3）求 的值 100

16、. 已知函数 对任意实数 均有 ，其中 为常数.（1）若 ，函数 是否具有周期性?若是，求出其周期；（2）在（1）的条件下，又知 为定义在 上的奇函数，且当 时，则方程 在区间 上有多少个解?（写出结论，不需过程）（3）若 为负常数，且当 时，求 在 上的解析式，并求 的最小值与最大值答案第一部分1. B 2. D 3. A 【解析】函数 是奇函数，所以函数 的图象关于 对称，又因为 是偶函数，所以 的图象关于直线 对称，所以 ，所以 4. D 【解析】由 知 图象关于直线 对称5. A 【解析】由 ，知 6. D 【解析】如图，分别作出函数 ， 的草图，利用图象关于 轴对称及关于原点对称的特

17、征进行观察比较7. C 8. C 【解析】由题意可得，解得 9. B 【解析】因为 ，所以 ，所以 是以 为周期的函数，所以 ，所以集合 10. B 11. B 【解析】由已知可得，当 时，故其周期为 ，12. C 【解析】设 是函数 图象上任意一点，它关于直线 的对称点为 ，由 的图象与 的图象关于直线 对称，可知 在 的图象上，即 ，解得 ，所以 ，解得 13. D 【解析】提示：当 时，函数 ，函数 ，因为两函数上存在关于 轴对称的点，所以有 解得 .14. A 15. B 【解析】当 时，令 ，得 或 根据周期函数的性质，由 的最小正周期为 ，可知 在 上有 个零点，又 ，所以 在 上

18、与 轴的交点个数为 16. C 17. B 【解析】因为 为奇函数， 为偶函数，所以 ，所以 ，所以 ，所以 为周期函数，且周期为 ，所以 ，在 中，令 ，可得 ，所以 18. D 【解析】由 可知 的图象关于直线 对称当 时，令 ，解出 又因为 的图象关于 对称，所以当 时， 对应的实根为 所以 的取值为 和 19. B 20. C 【解析】因为函数 ，所以 ，即 ，即 的图象关于直线 对称21. B 【解析】函数 图象如图所示，由题意，只须作出函数 的图象关于原点对称的图象，看它与函数 的交点个数即可，观察图象可得交点个数为 22. C 【解析】因为 ，所以抛物线 的对称轴是直线 ，所以

19、，即 ，所以 ，所以 ，故有 23. B 24. C 25. B 【解析】由 知， 是周期为 的周期函数，又 ，所以 ，由 得 ，所以 26. A 27. C 【解析】由 ，得 ，因为 ，所以 28. A 29. C 【解析】因为 ， ， ， ，所以 30. A 【解析】函数图象的对称轴为 ，而 ，因为 ，故 到对称轴的距离大，所以 较大31. A 【解析】因为 ，所以 是以 为周期的周期函数，所以 ，易知 ，所以 ，所以 32. B 33. B 34. B 【解析】由 知函数 的周期为 ，又函数 为奇函数，所以 35. A 36. B 【解析】由已知条件知，函数 在定义域 上关于点 对称，同

20、时关于直线 对称，所以函数 的周期为 又 ，所以 易知 ，所以 ，因此 37. A 【解析】 故函数周期为 ，已知其在 的解析式是 可画出图象 的零点就是 与 交点可知 或 满足题意解得 范围是 .38. D 【解析】， ，则 是以 为周期的周期函数，从而 39. C 【解析】又 ，所以 ，所以函数 的周期为 ，40. B 【解析】由 得 关于 对称，而 也关于 对称，所以对于每一组对称点 ，所以 第二部分41. 【解析】42. 【解析】因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，又因为对任意 ，都有 ，所以 是周期为 的周期函数故 43. 【解析】与曲线 关于 轴对称的曲线为 ，函数 的图象向左平移

21、一个单位长度即可得到函数 的图象，即 44. 45. 【解析】因为 ，故 的对称中心为 46. 【解析】47. 【解析】因为 在 上满足 ，所以令 ，则 ，得 又因为 的图象关于直线 对称，所以 所以 ，所以 48. 49. 【解析】由题意，得 ，由 ，可得 50. 【解析】由 ，得 的图象关于点 对称因为 的图象也关于点 对称，且 在 时无定义，所以 为正偶数，所以对于每一组对称点 和 都有 且 ，所以 51. 【解析】设函数 的图象上任意一点的坐标为 ，其关于直线 对称的点的坐标为 ，则点 在函数 的图象上，由 得 ，代入 得 ，即 ，即函数 ，又 ，所以 ，解得 52. 【解析】由 得

22、，所以函数的周期是 ，所以 53. 【解析】易得 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 54. 【解析】由题意得 ，将 个式子相加得 ，即 故 55. 【解析】因为函数 ，所以 所以 ，因为 ，所以 56. 57. 【解析】，所以 ，58. 【解析】因为 ，所以 ，解得 59. 1【解析】，所以 60. 【解析】由 得 ，所以 ，则 61. 62. 【解析】因为 的最小正周期为 ，所以 又 是奇函数，所以 ，所以 ，则 ，故 63. 【解析】因为 为偶函数，所以其图象的对称轴为直线 ，所以函数 的图象的对称轴为直线 又因为函数 是奇函数，其定义域为 ，所以 ，所以 ，故 64. 【解析】因为函数 以

23、为周期，所以 ，又因为 ，函数是奇函数，所以 ，因此，解之得 或 65. 【解析】易知 ，即 ， 或 又实数 ，故 ，经检验符合题意66. 【解析】由 ，则 ，所以 为周期为 的周期函数，由 是定义在 上 的偶函数，则 ，当 时，所以 67. 68. 【解析】因为 ，所以 ，所以函数 是周期为 的周期函数，所以 ，又 ， 是定义在 上的偶函数，所以 因为当 时，所以 ，则 69. 70. 【解析】由 ，得 ，所以 ，则 71. 72. 【解析】取 ， 得 取 ，有 ，同理 ，联立得 ，所以 ，故 73. 【解析】正确；因为定义在 上的偶函数 满足 ，所以 ，所以 是周期为 的函数正确；因为 ，

24、所以 的图象关于 对称错误；因为 为偶函数且在 上是增函数，所以 在 上是减函数又因为对称轴为 ，所以 在 上为增函数正确；因为对称轴为 ，所以 74. 【解析】由 的图象关于直线 对称，且 知，所以 令 ，则当 时，有 75. 76. 【解析】因为 所以 77. 【解析】由题意，得由 ，得 ，即 由 ，得 联立，解得 所以 78. 【解析】由 ，知 ，又 ，得 ，即 ，从而 ，所以 ， 是周期为 的周期函数，则 79. 80. 【解析】为定义在 上的奇函数 满足 ，所以 .因为 为奇函数，所以函数图象关于直线 对称且 .由 知 ，所以函数是以 为周期的周期函数.又因为 在区间 上是增函数，所

25、以 在区间 上也是增函数.如图所示，那么不妨设方程 （ ）在区间 上的四个不同的根 ， 之间的大小关系为 ，由对称性知 ，所以 .第三部分81. 由题意知， 的对称轴为 ，故 ，因为 在 上是增函数，所以 ，即 82. （1） 由 可得 又函数 是定义在 上的奇函数，有 ，故 .从而 ，所以 是周期为 的周期函数.（2） 由函数 是定义在 上的奇函数，有 . 时，故 时， . 时， . ，从而， 时，函数 的解析式为 .83. 由题意值，若 的图象关于点 对称，则 因为 的图象关于点 对称，所以 ，所以 所以 ，所以 84. 由 ，得 所以 所以 同理 ，所以 是以 为周期的周期函数 85. 由函数 与 的图象关于 轴对称，可知 将 换成 代入上式可得 ，即 ，由偶函数的定义可知 为偶函数86. （1） 由 ，且 ，知 ，所以 是周期函数，且 是其一个周期（2） 因为 为定义在 上的奇函数，所以 ，且 ，又 是 的一个周期，所以 （