北京中考数学复习专题突破9图形变换.docx

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北京中考数学复习专题突破9图形变换

专题突破（九）　图形变换

名师说中考：

本专题通常与“平移、轴对称、旋转”这三种全等变换相结合，这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的便于论证的基本图形．用运动、变化的观点看待几何图形，通过几何变换移动线段（角）的位置是解决这些问题的有效手段．常见问题类型及解题思路如下：

一、证明线段之间的数量关系：

当问题中有45°角出现时，线段之间的关系往往同“

”相关，当问题中有30°或60°角出现时，线段之间的关系往往同“

”相关．尤其是要猜想的结论或者要证明的结论与

或

相关时，就要想方设法构造含45°，30°或60°的直角三角形，然后再通过适当的代换来实现目标．

二、证明角与角之间的数量关系：

一般情况下证明角等（或不等）往往转化为证明在一个三角形中的边相等（或不等），即等边对等角，大边对大角，小边对小角，或者利用三角形的外角与内角间的关系，三角形的内角和定理等．

A组·真题体验

1．［2017·北京］如图Z9－1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.

（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．

（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．

图Z9－1

2．［2016·北京］在等边△ABC中，

（1）如图Z9－2①，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；

（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM.

①依题意将图②补全；

②小茹通过观察、实验提出猜想：

在点P，Q运动的过程中，始终有PA＝PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：

要证明PA＝PM，只需证△APM是等边三角形．

想法2：

在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM.

想法3：

将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA＝PM，只需证PA＝CK，PM＝CK.

……

请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM.（一种方法即可）

图Z9－2

B组·专题训练

类型1　证明线段之间的数量关系　

1．［2017·东城一模］在等腰△ABC中，

（1）如图Z9－3①，若△ABC为等边三角形，D为线段BC的中点，线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，连接DE，则∠BDE的度数为________；

（2）若△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE.

①根据题意在图②中补全图形；

②猜测：

在点D的运动过程中，CD与BE之间的数量关系，并证明；

（3）如图③，若AB＝AC＝kBC，AD＝kDE，且∠ADE＝∠C，此时BE，BD，AC三者之间满足一定的数量关系，这个数量关系是________．（直接给出结论无需证明）

图Z9－3

2．［2017·石景山一模］改编在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的动点（与点A，C不重合），连接BE.

（1）将射线BE绕点B顺时针旋转45°，交直线AC于点F.

①依题意补全图Z9－4①；

②猜想线段AE，FC，EF之间存在什么样的数量关系，并证明该猜想．

（2）如图②，若将直线BE绕点B顺时针旋转135°，交直线AC于点F.直线AC上存在三条线段（不添加辅助线）满足：

其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系．

图Z9－4

3．［2017·平谷一模］在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，将射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F.

（1）依题意将图Z9－5补全；

（2）小华通过观察、实验提出猜想：

在点E运动的过程中，始终有DE＝DF.小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：

由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE＝DF；

想法2：

利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE＝DF；

想法3：

由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE＝DF，

…….

请你参考上面的想法，帮助小华证明DE＝DF（选一种方法即可）；

（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．

图Z9－5

4．［2017·丰台二模］已知正方形ABCD，点E，F分别在射线AB，射线BC上，AE＝BF，DE与AF交于点O.

（1）如图Z9－6①，当点E，F分别在线段AB，BC上时，线段DE与AF的数量关系是________，位置关系是________．

（2）如图Z9－6②，当点E在线段AB的延长线上时，将线段AE沿AF进行平移至FG，连接DG.

①依题意将图②补全；

②小亮通过观察、实验提出猜想：

在点E运动的过程中，始终有DG2＝2AD2＋2AE2.

小亮把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：

连接EG，要证明DG2＝2AD2＋2AE2，只需证明四边形FAEG是平行四边形及△DGE是等腰直角三角形．

想法2：

延长AD，GF交于点H，要证明DG2＝2AD2＋2AE2，只需证明△DGH是直角三角形．

请你参考上面的想法，帮助小亮证明DG2＝2AD2＋2AE2.（一种方法即可）

图Z9－6

类型2　证明角与角之间的数量关系　

5．［2017·西城一模］在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D.

（1）如图Z9－7①，当∠ABC＝90°时，若CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F.

①求证：

△BEF是等腰三角形；

②求证：

BD＝

（BC＋BF）；

（2）点E在AB边上，连接CE.若BD＝

（BC＋BE），在图②中补全图形，判断∠ACE与∠ABC之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE与∠ABC关系的思路．

图Z9－7

6．［2017·海淀二模］在锐角△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，E为AC中点．

（1）如图Z9－8①，过点C作CF⊥AB于点F，连接EF.若∠BAD＝20°，求∠AFE的度数；

（2）若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CN⊥AM于点N，射线EN与射线AB交于点P.

①依题意将图②补全；

②小宇通过观察、实验，提出猜想：

在点M运动的过程中，始终有∠APE＝2∠MAD.

小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：

连接DE，要证∠APE＝2∠MAD，只需证∠PED＝2∠MAD.

想法2：

设∠MAD＝α，∠DAC＝β，只需用α，β表示出∠PEC，通过角度计算得∠APE＝2α.

想法3：

在NE上取点Q，使∠NAQ＝2∠MAD，要证∠APE＝2∠MAD，只需证△NAQ∽△APQ.

……

请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE＝2∠MAD.（一种方法即可）

图Z9－8

7．［2017·房山二模］在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，点D为直线BC上一个动点（不与B、C重合），连接AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连接EC.

（1）如果点D在线段BC上运动，如图Z9－9①.

①依题意补全图①；

②求证：

∠BAD＝∠EDC.

③通过观察、实验，小明得出结论：

在点D运动的过程中，总有∠DCE＝135°.小明与同学讨论后，形成了证明这个结论的几种想法：

想法1：

在AB上取一点F，使得BF＝BD，要证∠DCE＝135°，只需证△ADF≌△DEC.

想法2：

以点D为圆心，DC为半径画弧交AC于点F.要证∠DCE＝135°，只需证△AFD≌△ECD.

想法3：

过点E作BC所在直线的垂线段EF，要证∠DCE＝135°，只需证EF＝CF.

……

请你参考上面的想法，证明∠DCE＝135°.

（2）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图②画图分析，∠DCE的度数还是确定的值吗？

如果是，直接写出∠DCE的度数；如果不是，说明你的理由．

图Z9－9

8．[2017·怀柔二模]在△ABN中，∠B＝90°，点M是AB上的动点（不与A，B两点重合），点C是BN延长线上的动点（不与点N重合），且AM＝BC，CN＝BM，连接CM与AN交于点P.

（1）在图Z9－10中依题意补全图形；

（2）小伟通过观察、实验，提出猜想：

在点M，C运动的过程中，始终有∠APM＝45°.小伟把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的一种思路：

要想解决这个问题，首先应想办法移动部分等线段构造全等三角形，证明线段相等，再构造平行四边形，证明线段相等，进而证明等腰直角三角形，出现45°的角，再通过平行四边形对边平行的性质，证明∠APM＝45°.

他们的一种做法是：

过点M在AB下方作MD⊥AB于点M，并且使MD＝CN.通过证明△AMD≌△CBM，得到AD＝CM，再连接DN，证明四边形CMDN是平行四边形，得到DN＝CM，进而证明△ADN是等腰直角三角形，得到∠DNA＝45°.又由四边形CMDN是平行四边形，推得∠APM＝45°.使问题得以解决．

请你参考上面同学的思路，用另一种方法证明∠APM＝45°.

图Z9－10

参考答案

|真题体验|

1．解：

（1）∠AMQ＝45°＋α，理由如下：

∵∠PAC＝α，△ACB是等腰直角三角形，

∴∠PAB＝45°－α，

∵QH⊥AP，

∴∠AHM＝90°，

∴∠AMQ＝180°－∠AHM－∠PAM＝45°＋α.

（2）线段MB与PQ之间的数量关系：

PQ＝

MB.理由如下：

连接AQ，过点M作ME⊥QB于E，如图所示：

∵AC⊥QP，CQ＝CP，

∴∠QAC＝∠PAC＝α，

∴∠QAM＝45°＋α＝∠AMQ，

∴AP＝AQ＝QM，

∵∠PAQ＝2α，AP＝AQ，∴∠APQ＝

（180°－2α）＝90°－α，

∴∠PQH＝90°－∠APQ＝α.

在△APC和△QME中，∵

∴△APC≌△QME，

∴PC＝ME，

∵△MEB是等腰直角三角形，∴ME＝

MB，

∴

PQ＝

MB，

∴PQ＝

MB.

2．解：

（1）∵AP＝AQ，

∴∠APQ＝∠AQP，

∴∠APB＝∠AQC.

又∵∠B＝∠C＝60°，

∴∠BAP＝∠CAQ＝20°，

∴∠PAQ＝∠BAC－∠BAP－∠CAQ＝60°－20°－20°＝20°，

∴∠BAQ＝∠BAP＋∠PAQ＝40°.

又∵∠B＝60°，

∴∠AQB＝180°－∠B－∠BAQ＝80°.

（2）①如图；

②利用想法1.证明：

连接AQ，首先应该证明△APB≌△AQC，

得到∠BAP＝∠CAQ，然后由∠CAQ＝∠CAM得到∠CAM＝∠BAP，进而得到∠PAM＝60°；

接着利用∠MCA＝∠QCA＝∠PBA＝60°，

AB＝AC，∠CAM＝∠BAP，

得到△APB≌△AMC，

从而得到AP＝AM，进而得到PA＝PM.（利用其他想法证明也可以）

|专题训练|

类型1　证明线段之间的数量关系

1．解：

（1）30°

（2）①如图：

②猜测CD＝BE.证明：

思路1：

连接AE，∵DE是由AD绕点D逆时针旋转60°所得，

∴DE＝AD，∠ADE＝60°，

∴△ADE为等边三角形．

∴AD＝AE，∠EAD＝60°，

∵∠BAC＝60°，

∴∠EAB＝∠DAC，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB＝AC.

在△ADC和△AEB中，

∴△ADC≌△AEB（SAS），

∴CD＝BE.

思路2：

过点D作DF∥AB，交AC于点F，

∴四边形DFAB为梯形．

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC＝∠BAC＝60°，

∴梯形DFAB为等腰梯形，

∴BD＝AF.

∵∠BAC＝60°，

∴∠BAD＋∠CAD＝60°.

∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＋∠BDA＝120°.

∵DE是由AD绕点D逆时针旋转60°所得，

∴DE＝AD，∠ADE＝60°，

∴∠BAD＋∠BDE＝60°，

∴∠BDE＝∠CAD＝∠FAD.

在△ADF和△DEB中，

∴△ADF≌△DEB（SAS），∴DF＝EB，

∵DF∥AB，∴∠FDC＝∠DFC＝∠C＝60°，

∴△DFC为等边三角形，

∴DF＝CD，

∴EB＝CD.

思路3：

证明：

延长CB至G，使BG＝CD，连接EG，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°，BC＝AC，

∴∠BAD＋∠DAC＝60°，∠BAD＋∠BDA＝120°.

∵DE是由AD绕点D逆时针旋转60°所得，

∴AD＝DE，∠ADE＝60°，

∴∠BAD＋∠BDE＝60°，

∴∠BDE＝∠DAC，

∵BG＝CD，

∴GD＝BC＝AC，

在△ADC和△DEG中，

∴△ADC≌△DEG（SAS），

∴GE＝CD＝BG且∠G＝∠C＝60°，

∴△GBE为等边三角形，

∴BE＝GE＝GB＝CD.

（3）数量关系是：

k（BD＋BE）＝AC.

思路提示：

连接AE，易证△ADE∽△ACB，∴

＝

＝k，∵∠ADE＝∠C，AE＝AD，AB＝AC，∴∠EAD＝∠BAC，

∴∠EAB＝∠DAC，∴△ABE≌△ACD，

∴BE＝CD，∴BE＋BD＝BC，

∴k（BD＋BE）＝AC.

2．解：

（1）①依题意补全图形，如图①.

②线段AE，FC，EF之间的数量关系为：

AE2＋FC2＝EF2.

证法一：

过点B作MB⊥BF于点B且BM＝BF，

连接ME，MA，如图②.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，∠1＝∠2＝45°，AB＝BC.

∵∠3＝45°，

∴∠MBE＝∠3＝45°.

又∵BE＝BE，

∴△MBE≌△FBE.

∴EM＝EF.

∵∠4＝90°－∠ABF，∠5＝90°－∠ABF，

∴∠4＝∠5.

又∵BM＝BF，AB＝CB，

∴△AMB≌△CFB.

∴AM＝CF，∠6＝∠2＝45°.

∴∠MAE＝∠6＋∠1＝90°.

在Rt△MAE中，AE2＋MA2＝EM2.

∴AE2＋FC2＝EF2.

证法二：

作∠2＝∠1，且BN＝BA，连接EN，FN，如图③.

又∵BE＝BE，

∴△BNE≌△BAE.

∴NE＝AE，∠6＝∠5.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，∠5＝∠8＝45°，AB＝BC.

∴BN＝BC.

∵∠3＝∠EBF－∠2＝45°－∠2，∠4＝∠ABC－∠EBF－∠1＝90°－45°－∠1＝45°－∠1，

∴∠3＝∠4.

又∵BF＝BF，

∴△BNF≌△BCF.

∴FN＝FC，∠7＝∠8＝45°.

∴∠ENF＝∠6＋∠7＝45°＋45°＝90°.

∴在Rt△ENF中，NE2＋FN2＝EF2.

∴AE2＋FC2＝EF2.

（2）用等式表示这三条线段的数量关系：

AF2＋EC2＝EF2.

3．解：

（1）如图①.

（2）想法1：

证明：

如图②，过D作DG∥AB，交AC于G，

∵点D是BC边的中点，

∴DG＝

AB.

∴△CDG是等边三角形．

∴∠EDB＋∠EDG＝120°.

∵∠FDG＋∠EDG＝120°，

∴∠EDB＝∠FDG.

∵BD＝DG，∠B＝∠FGD＝60°，

∴△BDE≌△GDF.

∴DE＝DF.

想法2：

证明：

如图③，连接AD，

∵点D是BC边的中点，

∴AD是△ABC的对称轴．

作点E关于线段AD的对称点P，点P在边AC上，

∴△ADE≌△ADP，

∴DE＝DP，∠AED＝∠APD.

∵∠BAC＋∠EDF＝180°，

∴∠AED＋∠AFD＝180°.

∵∠APD＋∠DPF＝180°，

∴∠AFD＝∠DPF.

∴DP＝DF.

∴DE＝DF.

想法3：

证明：

如图④，连接AD，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，

∵点D是BC边的中点，

∴AD平分∠BAC.

∵DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，

∴DM＝DN.

∵∠BAC＝60°，

∴∠MDE＋∠EDN＝120°.

∵∠FDN＋∠EDN＝120°，

∴∠MDE＝∠FDN.

∴Rt△MDE≌Rt△NDF.∴DE＝DF.

（3）当点F在AC边上时，BE＋CF＝

AB；

当点F在AC延长线上时，BE－CF＝

AB.

4．解：

（1）相等　垂直

（2）①依题意补全图形如图．

②想法1：

证明：

连接GE.

由平移可得AE＝FG，AE∥FG，

∴四边形AEGF是平行四边形．

∴AF＝EG，AF∥EG，

∴∠1＝∠2.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠DAE＝∠ABC＝90°.

∵AE＝BF，

∴△AED≌△BFA.

∴∠3＝∠4，AF＝DE.

∴EG＝DE.

∵∠2＋∠4＝90°，

∴∠1＋∠3＝90°，

∴∠DEG＝90°，

∴DG2＝DE2＋EG2＝2DE2.

又∵DE2＝AD2＋AE2，

∴DG2＝2AD2＋2AE2.

想法2：

证明：

延长AD，GF交于点H，

由平移可得AE＝FG，AE∥FG，

∴∠H＋∠DAB＝180°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAB＝90°，AD＝DC.

∴∠H＝90°.

∴DG2＝GH2＋DH2.

∵∠HDC＝∠DCF＝90°，

∴四边形HDCF是矩形．

∴HF＝DC.

∴HF＝AD.

∵HG＝FG＋HF，

∴HG＝AE＋HF＝AE＋AD.

易证BF＝AH，又BF＝AE，

∴HD＝AE－AD.

∴DG2＝（AE＋AD）2＋（AE－AD）2＝2AD2＋2AE2.

类型2　证明角与角之间的数量关系

5．解：

在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D.

∴∠ABD＝∠CBD，AD＝CD.

（1）证明：

①∵∠ABC＝90°，

∴∠ACB＝45°.

∵CE平分∠ACB，

∴∠ECB＝∠ACE＝22.5°.

∴∠BEF＝∠CFD＝∠BFE＝67.5°.

∴BE＝BF.

∴△BEF是等腰三角形．

②延长AB至M，使得BM＝AB，连接CM.

∴BD∥CM，BD＝

CM，

∴∠BCM＝∠DBC＝∠ABD＝∠BMC＝45°，∠BFE＝∠MCE.

由①可得，∠BEF＝∠BFE，BE＝BF.

∴∠BFE＝∠MCE＝∠BEF.

∴EM＝MC，∵BC＝AB＝BM，

∴BD＝

（BC＋BF）．

（2）补图如下（实线部分）．∠ACE＝

∠ABC.

a．延长AB至P，使AB＝BP，连接PC，与

（1）②同理可证BD∥PC，BD＝

PC，BP＝BC；

b．由BD＝

（BC＋BE）可知△PEC和△BEF均是等腰三角形；

c．由∠BEF＋∠BFE＋∠EBF＝180°，∠FCD＋∠DFC＝90°，

可知∠ACE＝

∠ABC.

6．解：

（1）∵AB＝AC，AD为BC边上的高，∠BAD＝20°，∴∠BAC＝2∠BAD＝40°.

∵∠AFC＝90°，E为AC中点，

∴EF＝EA＝

AC.

∴∠AFE＝∠BAC＝40°.

（2）①补图如下：

画出一种即可．

②证明：

想法1：

连接DE.

∵AB＝AC，AD为BC边上的高，

∴D为BC中点．

∵E为AC中点，∴ED∥AB，

∴∠1＝∠APE.

∵∠ADC＝90°，E为AC中点，

∴AE＝DE＝CE＝

AC.

同理可证AE＝NE＝CE＝

AC.

∴AE＝NE＝CE＝DE.

∴A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上．

∴∠1＝2∠MAD.

∴∠APE＝2∠MAD.

想法2：

设∠MAD＝α，∠DAC＝β，

∵CN⊥AM，

∴∠ANC＝90°.

∵E为AC中点，

∴AE＝NE＝

AC.

∴∠ANE＝∠NAC＝∠MAD＋∠DAC＝α＋β.

∴∠NEC＝∠ANE＋∠NAC＝2α＋2β.

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAC＝2∠DAC＝2β.

∴∠APE＝∠PEC－∠BAC＝2α.

∴∠APE＝2∠MAD.

想法3：

在NE上取点Q，使∠NAQ＝2∠MAD，连接AQ，

∴∠1＝∠2.

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠CAD.

∴∠BAD－∠1＝∠CAD－∠2，

即∠3＝∠4.

∴∠3＋∠NAQ＝∠4＋∠NAQ，

即∠PAQ＝∠EAN.

∵CN⊥AM，∴∠ANC＝90°.

∵E为AC中点，

∴AE＝NE＝

AC.

∴∠ANE＝∠EAN.

∴∠PAQ＝∠ANE.

∵∠AQP＝∠AQP，

∴△PAQ∽△ANQ.

∴∠APE＝∠NAQ＝2∠MAD.

7．解：

（1）①补全图形如图：

②证明：

∵∠B＝90°，

∴∠BAD＋∠BDA＝90°，

∵∠ADE＝90°，点D在线段BC上，

∴∠BDA＋∠EDC＝90°，

∴∠BAD＝∠EDC.

③想法1：

在AB上取点F，使得BF＝BD，连接DF，∵BF＝BD，∠B＝90°，

∴∠BFD＝45°，

∴∠AFD＝135°，

∵BA＝BC，∴AF＝CD，

在△ADF和△DEC中，

∴△ADF≌△DEC，

∴∠DCE＝∠AFD＝135°.

想法2：

以D为圆心，DC为半径作弧交AC于点F，连接DF，

∴DC＝DF，∠DFC＝∠DCF，

∵AB＝BC，∠B＝90°，

∴∠ACB＝45°，∠DFC＝45°，

∴∠FDC＝90°，∠AFD＝135°，

∵∠ADE＝∠FDC＝90°，

∴∠ADF＝∠EDC，

又∵AD＝DE，DF＝DC，

∴△ADF≌△EDC，

∴∠DCE＝∠AFD＝135°.

想法3：

过点E作EF⊥BC交BC延长线于点F，

∴∠EFD＝90°，

∵∠B＝90°，

∴∠EFD＝∠B，

∵∠BAD＝∠CDE，AD＝DE，

∴△ABD≌△DFE，

∴AB＝DF，BD＝EF，

∵AB＝BC，

∴BC＝DF，BC－DC＝DF－DC，即BD＝CF，

∴EF＝CF，

∵∠EFC＝90°，

∴∠ECF＝45°，

∴∠DCE＝135°.

（2）∠DCE＝45°.

8．解：

（1）依题意补全图形，如图①所示：

（2）证明：

如图②，

过点A作AD⊥AB于点A，并且使AD＝CN.连接DM，DC.

∵AM＝BC，∠DAM＝∠MBC＝90°，CN＝BM＝AD，∴△DAM≌△MBC，

∴DM＝CM，∠AMD＝∠BCM.

∵∠DAM＝90°，

∴∠AMD＋∠BMC＝90°，

∴∠DMC＝90°.

∴∠MCD＝45°.

∵AD∥CN，AD＝CN，

∴四边形ADCN是平行四边形．

∴AN∥DC.

∵∠MCD＝45°.∴∠APM＝45°.