北京中考数学复习专题突破9图形变换.docx

1、北京中考数学复习专题突破9图形变换专题突破（九）图形变换名师说中考：本专题通常与“平移、轴对称、旋转”这三种全等变换相结合，这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的便于论证的基本图形用运动、变化的观点看待几何图形，通过几何变换移动线段(角)的位置是解决这些问题的有效手段常见问题类型及解题思路如下：一、证明线段之间的数量关系：当问题中有45角出现时，线段之间的关系往往同“”相关，当问题中有30或60角出现时，线段之间的关系往往同“”相关尤其是要猜想的结论或者要证明的结论与或相关时，就要想方设法构造含45，30或60的直角三角形，然

2、后再通过适当的代换来实现目标二、证明角与角之间的数量关系：一般情况下证明角等(或不等)往往转化为证明在一个三角形中的边相等(或不等)，即等边对等角，大边对大角，小边对小角，或者利用三角形的外角与内角间的关系，三角形的内角和定理等A组真题体验12017北京如图Z91，在等腰直角ABC中，ACB90，P是线段BC上一动点(与点B、C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQCP，过点Q作QHAP于点H，交AB于点M.(1)若PAC，求AMQ的大小(用含的式子表示)(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明图Z9122016北京在等边ABC中，(1)如图Z92，P，Q是BC边上两点，AP

3、AQ，BAP20，求AQB的度数；(2)点P，Q是BC边上的两个动点(不与点B，C重合)，点P在点Q的左侧，且APAQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM.依题意将图补全；小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PAPM.小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PAPM，只需证APM是等边三角形想法2：在BA上取一点N，使得BNBP，要证PAPM，只需证ANPPCM.想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60，得到线段BK，要证PAPM，只需证PACK，PMCK.请你参考上面的想法，帮助小茹证明PAPM.(一种方法即可)图Z9

4、2B组专题训练类型1证明线段之间的数量关系12017东城一模在等腰ABC中，(1)如图Z93，若ABC为等边三角形，D为线段BC的中点，线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，连接DE，则BDE的度数为_；(2)若ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点(不与B，C重合)，连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60得到线段DE，连接BE.根据题意在图中补全图形；猜测：在点D的运动过程中，CD与BE之间的数量关系，并证明；(3)如图，若ABACkBC，ADkDE，且ADEC，此时BE，BD，AC三者之间满足一定的数量关系，这个数量关系是_(直接给出结论无需证明)图Z9322017石景山一模改编

5、在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的动点(与点A，C不重合)，连接BE.(1)将射线BE绕点B顺时针旋转45，交直线AC于点F.依题意补全图Z94；猜想线段AE，FC，EF之间存在什么样的数量关系，并证明该猜想(2)如图，若将直线BE绕点B顺时针旋转135，交直线AC于点F.直线AC上存在三条线段(不添加辅助线)满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系图Z9432017平谷一模在ABC中，ABAC，A60，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，将射线DE绕点D顺时针旋转120，与直线AC交于点F.(1)依题意将图Z95补全；(2)小华

6、通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DEDF.小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DEDF；想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由BAC与EDF互补，可得AED与AFD互补，由等角对等边，可证DEDF；想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是BAC的平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DEDF，.请你参考上面的想法，帮助小华证明DEDF(选一种方法即可)；(3)在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关

7、系图Z9542017丰台二模已知正方形ABCD，点E，F分别在射线AB，射线BC上，AEBF，DE与AF交于点O.(1)如图Z96，当点E，F分别在线段AB，BC上时，线段DE与AF的数量关系是_，位置关系是_(2)如图Z96，当点E在线段AB的延长线上时，将线段AE沿AF进行平移至FG，连接DG.依题意将图补全；小亮通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DG22AD22AE2.小亮把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：连接EG，要证明DG22AD22AE2，只需证明四边形FAEG是平行四边形及DGE是等腰直角三角形想法2：延长AD，GF交于点H

8、，要证明DG22AD22AE2，只需证明DGH是直角三角形请你参考上面的想法，帮助小亮证明DG22AD22AE2.(一种方法即可)图Z96类型2证明角与角之间的数量关系52017西城一模在ABC中，ABBC，BDAC于点D.(1)如图Z97，当ABC90时，若CE平分ACB，交AB于点E，交BD于点F.求证：BEF是等腰三角形；求证：BD (BCBF)；(2)点E在AB边上，连接CE.若BD (BCBE)，在图中补全图形，判断ACE与ABC之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解ACE与ABC关系的思路图Z9762017海淀二模在锐角ABC中，ABAC，AD为BC边上的高，E为AC中点(1)如

9、图Z98，过点C作CFAB于点F，连接EF.若BAD20，求AFE的度数；(2)若M为线段BD上的动点(点M与点D不重合)，过点C作CNAM于点N，射线EN与射线AB交于点P.依题意将图补全；小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M运动的过程中，始终有APE2MAD.小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：连接DE，要证APE2MAD，只需证PED2MAD.想法2：设MAD，DAC，只需用，表示出PEC，通过角度计算得APE2.想法3：在NE上取点Q，使NAQ2MAD，要证APE2MAD，只需证NAQAPQ.请你参考上面的想法，帮助小宇证明APE2MAD.(一种方法即可

10、)图Z9872017房山二模在ABC中，ABBC，B90，点D为直线BC上一个动点(不与B、C重合)，连接AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90，使点A旋转到点E，连接EC.(1)如果点D在线段BC上运动，如图Z99.依题意补全图；求证：BADEDC.通过观察、实验，小明得出结论：在点D运动的过程中，总有DCE135.小明与同学讨论后，形成了证明这个结论的几种想法：想法1：在AB上取一点F，使得BFBD，要证DCE135，只需证ADFDEC.想法2：以点D为圆心，DC为半径画弧交AC于点F.要证DCE135，只需证AFDECD.想法3：过点E作BC所在直线的垂线段EF，要证DCE135，只

11、需证EFCF.请你参考上面的想法，证明DCE135.(2)如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图画图分析，DCE的度数还是确定的值吗？如果是，直接写出DCE的度数；如果不是，说明你的理由图Z9982017怀柔二模在ABN中，B90，点M是AB上的动点(不与A，B两点重合)，点C是BN延长线上的动点(不与点N重合)，且AMBC，CNBM，连接CM与AN交于点P.(1)在图Z910中依题意补全图形；(2)小伟通过观察、实验，提出猜想：在点M，C运动的过程中，始终有APM45.小伟把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的一种思路：要想解决这个问题，首先应想办法移动部分等线段构造全等

12、三角形，证明线段相等，再构造平行四边形，证明线段相等，进而证明等腰直角三角形，出现45的角，再通过平行四边形对边平行的性质，证明APM45.他们的一种做法是：过点M在AB下方作MDAB于点M，并且使MDCN.通过证明AMDCBM，得到ADCM，再连接DN，证明四边形CMDN是平行四边形，得到DNCM，进而证明ADN是等腰直角三角形，得到DNA45.又由四边形CMDN是平行四边形，推得APM45.使问题得以解决请你参考上面同学的思路，用另一种方法证明APM45.图Z910参考答案|真题体验|1解：(1)AMQ45，理由如下：PAC，ACB是等腰直角三角形，PAB45，QHAP，AHM90，AMQ

13、180AHMPAM45.(2)线段MB与PQ之间的数量关系：PQMB.理由如下：连接AQ，过点M作MEQB于E，如图所示：ACQP，CQCP，QACPAC，QAM45AMQ，APAQQM，PAQ2，APAQ，APQ (1802)90，PQH90APQ.在APC和QME中，APCQME，PCME，MEB是等腰直角三角形，MEMB，PQMB，PQMB.2解：(1)APAQ，APQAQP，APBAQC.又BC60，BAPCAQ20，PAQBACBAPCAQ60202020，BAQBAPPAQ40.又B60，AQB180BBAQ80.(2)如图；利用想法1.证明：连接AQ，首先应该证明APBAQC，得

14、到BAPCAQ，然后由CAQCAM得到CAMBAP，进而得到PAM60；接着利用MCAQCAPBA60，ABAC，CAMBAP，得到APBAMC，从而得到APAM，进而得到PAPM.(利用其他想法证明也可以)|专题训练|类型1证明线段之间的数量关系1解：(1)30(2)如图：猜测CDBE.证明：思路1：连接AE，DE是由AD绕点D逆时针旋转60所得，DEAD，ADE60，ADE为等边三角形ADAE，EAD60，BAC60，EABDAC，ABC为等边三角形，ABAC.在ADC和AEB中，ADCAEB(SAS)，CDBE.思路2：过点D作DFAB，交AC于点F，四边形DFAB为梯形ABC为等边三角

15、形，ABCBAC60，梯形DFAB为等腰梯形，BDAF.BAC60，BADCAD60.ABC60，BADBDA120.DE是由AD绕点D逆时针旋转60所得，DEAD，ADE60，BADBDE60，BDECADFAD.在ADF和DEB中，ADFDEB(SAS)，DFEB，DFAB，FDCDFCC60，DFC为等边三角形，DFCD，EBCD.思路3：证明：延长CB至G，使BGCD，连接EG，ABC为等边三角形，ABCBACC60，BCAC，BADDAC60，BADBDA120.DE是由AD绕点D逆时针旋转60所得，ADDE，ADE60，BADBDE60，BDEDAC，BGCD，GDBCAC，在AD

16、C和DEG中，ADCDEG(SAS)，GECDBG且GC60，GBE为等边三角形，BEGEGBCD.(3)数量关系是：k(BDBE)AC.思路提示：连接AE，易证ADEACB，k，ADEC，AEAD，ABAC，EADBAC，EABDAC，ABEACD，BECD，BEBDBC，k(BDBE)AC.2解：(1)依题意补全图形，如图.线段AE，FC，EF之间的数量关系为：AE2FC2EF2.证法一：过点B作MBBF于点B且BMBF，连接ME，MA，如图.四边形ABCD是正方形，ABC90，1245，ABBC.345，MBE345.又BEBE，MBEFBE.EMEF.490ABF，590ABF，45.

17、又BMBF，ABCB，AMBCFB.AMCF，6245.MAE6190.在RtMAE中，AE2MA2EM2.AE2FC2EF2.证法二：作21，且BNBA，连接EN，FN，如图.又BEBE，BNEBAE.NEAE，65.四边形ABCD是正方形，ABC90，5845，ABBC.BNBC.3EBF2452，4ABCEBF190451451，34.又BFBF，BNFBCF.FNFC，7845.ENF67454590.在RtENF中，NE2FN2EF2.AE2FC2EF2.(2)用等式表示这三条线段的数量关系：AF2EC2EF2.3解：(1)如图.(2)想法1：证明：如图，过D作DGAB，交AC于G，

18、点D是BC边的中点，DGAB.CDG是等边三角形EDBEDG120.FDGEDG120，EDBFDG.BDDG，BFGD60，BDEGDF.DEDF.想法2：证明：如图，连接AD，点D是BC边的中点，AD是ABC的对称轴作点E关于线段AD的对称点P，点P在边AC上，ADEADP，DEDP，AEDAPD.BACEDF180，AEDAFD180.APDDPF180，AFDDPF.DPDF.DEDF.想法3：证明：如图，连接AD，过D作DMAB于M，DNAC于N，点D是BC边的中点，AD平分BAC.DMAB于M，DNAC于N，DMDN.BAC60，MDEEDN120.FDNEDN120，MDEFDN

19、.RtMDERtNDF.DEDF.(3)当点F在AC边上时，BECFAB；当点F在AC延长线上时，BECFAB.4解：(1)相等垂直(2)依题意补全图形如图想法1：证明：连接GE.由平移可得AEFG，AEFG，四边形AEGF是平行四边形AFEG，AFEG，12.四边形ABCD是正方形，ADAB，DAEABC90.AEBF，AEDBFA.34，AFDE.EGDE.2490，1390，DEG90，DG2DE2EG22DE2.又DE2AD2AE2，DG22AD22AE2.想法2：证明：延长AD，GF交于点H，由平移可得AEFG，AEFG，HDAB180，四边形ABCD是正方形，DAB90，ADDC.

20、H90.DG2GH2DH2.HDCDCF90，四边形HDCF是矩形HFDC.HFAD.HGFGHF，HGAEHFAEAD.易证BFAH，又BFAE，HDAEAD.DG2(AEAD)2(AEAD)22AD22AE2.类型2证明角与角之间的数量关系5解：在ABC中，ABBC，BDAC于点D.ABDCBD，ADCD.(1)证明：ABC90，ACB45.CE平分ACB，ECBACE22.5.BEFCFDBFE67.5.BEBF.BEF是等腰三角形延长AB至M，使得BMAB，连接CM.BDCM，BDCM，BCMDBCABDBMC45，BFEMCE.由可得，BEFBFE，BEBF.BFEMCEBEF.EM

21、MC，BCABBM，BD (BCBF)(2)补图如下(实线部分)ACEABC.a延长AB至P，使ABBP，连接PC，与(1)同理可证BDPC，BDPC，BPBC；b由BD (BCBE)可知PEC和BEF均是等腰三角形；c由BEFBFEEBF180，FCDDFC90，可知ACEABC.6解：(1)ABAC，AD为BC边上的高，BAD20，BAC2BAD40.AFC90，E为AC中点，EFEAAC.AFEBAC40.(2)补图如下：画出一种即可证明：想法1：连接DE.ABAC，AD为BC边上的高，D为BC中点E为AC中点，EDAB，1APE.ADC90，E为AC中点，AEDECEAC.同理可证AE

22、NECEAC.AENECEDE.A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上12MAD.APE2MAD.想法2：设MAD，DAC，CNAM，ANC90.E为AC中点，AENEAC.ANENACMADDAC.NECANENAC22.ABAC，ADBC，BAC2DAC2.APEPECBAC2.APE2MAD.想法3：在NE上取点Q，使NAQ2MAD，连接AQ，12.ABAC，ADBC，BADCAD.BAD1CAD2，即34.3NAQ4NAQ，即PAQEAN.CNAM，ANC90.E为AC中点，AENEAC.ANEEAN.PAQANE.AQPAQP，PAQANQ.APENAQ2MAD.7解：(1)

23、补全图形如图：证明：B90，BADBDA90，ADE90，点D在线段BC上，BDAEDC90，BADEDC.想法1：在AB上取点F，使得BFBD，连接DF，BFBD，B90，BFD45，AFD135，BABC，AFCD，在ADF和DEC中，ADFDEC，DCEAFD135.想法2：以D为圆心，DC为半径作弧交AC于点F，连接DF，DCDF，DFCDCF，ABBC，B90，ACB45，DFC45，FDC90，AFD135，ADEFDC90，ADFEDC，又ADDE，DFDC，ADFEDC，DCEAFD135.想法3：过点E作EFBC交BC延长线于点F，EFD90，B90，EFDB，BADCDE，ADDE，ABDDFE，ABDF，BDEF，ABBC，BCDF，BCDCDFDC，即BDCF，EFCF，EFC90，ECF45，DCE135.(2)DCE45.8解：(1)依题意补全图形，如图所示：(2)证明：如图，过点A作ADAB于点A，并且使ADCN.连接DM，DC.AMBC，DAMMBC90，CNBMAD，DAMMBC，DMCM，AMDBCM.DAM90，AMDBMC90，DMC90.MCD45.ADCN，ADCN，四边形ADCN是平行四边形ANDC.MCD45.APM45.