高中物理中摩擦角应用.docx

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高中物理中摩擦角应用

摩擦角及其应用

一、摩擦角

1、全反力：

接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力，一般用R表示，亦称接触反力。

2、摩擦角：

全反力与支持力的最大夹角称摩擦角，一般用φm表示。

此时，要么物体已经滑动，必有：

φm=actanμ（μ为动摩擦因素），称动摩擦力角；要么物体达到最大运动趋势，必有：

φms=actanμs（μs为静摩擦因素），称静摩擦角。

通常处理为φm=φms。

3、引入全反力和摩擦角的意义：

使分析处理物体受力时更方便、更简捷。

二、隔离法与整体法

1、隔离法：

当物体对象有两个或两个以上时，有必要各个击破，逐个讲每个个体隔离开来分析处理，称隔离法。

在处理各隔离方程之间的联系时，应注意相互作用力的大小和方向关系。

2、整体法：

当各个体均处于平衡状态时，我们可以不顾个体的差异而讲多个对象看成一个整体进行分析处理，称整体法。

应用整体法时应注意“系统”、“内力”和“外力”的涵义。

三、应用

1、物体放在水平面上，用与水平方向成30°的力拉物体时，物体匀速前进。

若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素μ。

这是一个能显示摩擦角解题优越性的题目。

可以通过不同解法的比较让学生留下深刻印象。

法一，正交分解。

（学生分析受力→列方程→得结果。

）

法二，用摩擦角解题。

引进全反力R，对物体两个平衡状态进行受力分析，再进行矢量平移，得到图1中的左图和中间图（注意：

重力G是不变的，而全反力R的方向不变、F的大小不变），φm指摩擦角。

再将两图重叠成图1的右图。

由于灰色的三角形是一个顶角为30°的等腰三角形，其顶角的角平分线必垂直底边……故有：

φm=15°。

最后，μ=tgφm。

答案：

0.268。

思考：

如果F的大小是可以选择的，那么能维持物体匀速前进的最小F值是多少？

解：

见图1，右图中虚线的长度即Fmin，所以，Fmin=Gsinφm。

答：

Gsin15°（其中G为物体的重量）。

图1

2、“千斤顶”问题：

在固定的斜面上放一物体，并对它施加一竖直向下的压力，物体与斜面间的摩擦因数为μ。

求斜面倾角θ的最大值，使得当θ≤θm时，无论竖直向下的压力有多大，物体也不会滑下。

分析：

如图，物体受四个力，重力和压力的合力为G+F，静摩擦力Fs，斜面支持力FN。

将G+F分解为F1和F2，根据平衡条件：

物体不会滑下的条件是Fs小于最大静摩擦力Fm，而Fm=μFN ，从而有 （G+F）sinθ≤（G+F）cosθ

化简得   θ≤θ≤arctanμ，

所以只要θ≤arctanμ，无论F有多大，物体也不会滑下。

说明：

 “千斤顶”螺旋实际可以看作是tanθ＜μ的弯曲斜面。

3、（多选）如图所示，斜面体A静止在水平地面上，质量为m的滑块B在外力F1和F2的共同作用下沿斜面体表面向下运动。

当Fl方向水平向右，F2方向沿斜面体的表面向下时，斜面体受到地面的摩擦力向左，则下列说法正确的是（       ）  

（A）若同时撤去F1和F2，滑块B的加速度方向一定沿斜面向下

（B）若只撤去F1，在滑块B仍向下运动的过程中，A所受地面摩擦力的方向可能向左

（C）若只撤去F2，在滑块B仍向下运动的过程中，A所受地面摩擦力的方向可能向右 

（D）若只撤去F2，在滑块B仍向下运动的过程中，A所受地面摩擦力不变

【答案】C

4、推力的极大值（自锁）问题：

在机械设计中，常用到下面的力学装置，如图只要使连杆AB与滑块m所在平面法线的夹角θ小于某个值，那么无论连杆AB对滑块施加多大的作用力，都不可能使之滑动，且连杆AB对滑块施加的作用力越大，滑块就越稳定，工程力学上称为‘自锁’现象。

则自锁时θ应满足什么条件？

设滑块与所在平面间的动摩擦因数为μ。

分析：

将连杆AB对滑块施加的推力F分解，且F远远大于mg，可以忽略。

则滑块m 不产生滑动的条件为   Fsinθ＜μFcosθ

化简得自锁的条件为    θθ＜arctanμ。

5、在田径比赛、摩托车赛、自行车赛等运动项目中，当通过弯道时，运动员必须倾斜与路面保持一定的角度θ才能顺利通过弯道，这就是运动员的弯道技术。

路面的弯道半径越小，运动员的速度越快，运动员的倾斜角就越大。

设在摩托车比赛中，摩托车与路面间的摩擦因数为μ，试求摩托车所能达到的最大倾角。

分析：

运动员要稳定地平动，路面对摩托车的力必须通过整体的

重心，所以静摩擦力F1与支持力F2的夹角等于运动员与路面的倾斜角度。

而路面对摩托车整体的力F是F1和F2的合力，由图知F1=F2tanθ=mgtanθ

对摩托车的最大静摩擦力为 Fm=μF2=μmg

则摩托车不倾倒的条件是F1≤Fm  

化简得   θ≤arctanμ

所以摩托车所能达到的最大倾角为θm=arctanμ。

6、拉力的极小值问题：

在水平面上放有一质量为m的物体，物体与地面的动摩擦因数为μ，现用力F拉物体，使其匀速运动，怎样施加

F才能最小。

分析：

设拉力与水平面间的夹角为θ，将拉力F分解，并列出平衡方程，由动摩擦力公式，得Fcosθ=μ（mg-Fsinθ）

化简为

其中，

当

时，F有最小值：

且θ=arctanμ。

7、破冰船中的道理：

1999年，中国首次北极科学考察队乘坐我国自行研制的“雪龙”号科学考察船。

“雪龙”号科学考察船不仅采用特殊的材料，而且船体的结构也满足一定的条件，以对付北极地区的冰块和冰层。

它是靠本身的重力压碎周围的冰块，同时又将碎冰块挤向船底，如果碎冰块仍挤在冰层与船体之间，船体由于受到巨大的侧压力而可能解体。

为此，船体与竖直方向之间必须有一倾角α。

设船体与冰块之间的动摩擦因数为μ。

试问使压碎的冰块能被挤压向船底，α角应满足的条件。

分析：

冰块受到三个力：

冰层对冰块的水平向后的挤压力，船体对冰块的侧压力F，以及沿船体方向的摩擦力（冰块的重力和浮力可以忽略）。

将F分解，如图  FN = F1=FcosαFf  =μFN    

能使压碎的冰块被挤压向船底必须满足的条件为F2＞Ff ，

有 Fsinα＞μFcosα化简得   αα＞arctanμ

8、（第三届全国预赛）如图所示用力F推一放在水平地面上的木箱，质量为M，木箱与地面间摩擦因数为  问：

当力F与竖直成夹角φ多大时，力F再大也无法推动木箱?

 [思路分析]本题属于物体平衡问题，一般方法是用平衡条件列方程求极值，但这里用摩擦角的概念分析，问题会更加简单． 解:

选物体为研究对象，受力如图所示，其受四个力作用而静止，将弹力N和摩擦力f合成作出全反力F ．当物体将要发生滑动时，静摩擦角φ0。

满足tgφ0=m，由平衡条件知当0<φ<φ0时，物体出现自琐现象，也就是说此时无论用多大的力都不会使物体推动，故φ角属于范围（0,φ0）。

9、一个接触面的平衡问题：

一物体质量为m，置于倾角为α的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为m，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。

解析：

本题有两种解法，一种是根据平衡条件利用数学建模得到）F=F（θ）后再求极值，另一种是引入全反力（摩擦角）化四力平衡为三力平衡根据矢量三角形直观快速地求解。

解法一：

（利用平衡条件求解）设拉力与斜面夹角为θ，则由平衡条件可得：

即有

令

则有

解法二：

（引入摩擦角）如图所示，设

，则由平衡条件和矢量三角形可得：

当拉力F垂直于全反力方向时此时F的拉 

力最小，即：

10、有一重量为G的木块平放在水平地面上，木块与水平地面间的动摩擦因数为μ=

，一人欲用最小的作用力Fn使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？

解：

对物体受力分析，受重力、拉力、支持力和摩擦力，将支持力和摩擦力合成，由于Ff=μFN，故不论FN如何改变，Ff与FN的合力F1的方向都不会发生改变，设与竖直方向的夹角为φ，如下图所示：

平面对物体的作用力F1与竖直方向的夹角一定为φ，

由于tanφ=

，故φ=30°；

又由于F1、Fn 和G三力平衡，应构成一个封闭三角形，当改变Fn与水平方向夹角时，Fn和F1的大小都会发生改变，且Fn与F1方向垂直时Fn的值最小；

故拉力的最小值为：

，与水平方向成30°斜向上．

答：

最小作用力的大小为

mg，方向与水平方向成30°斜向上．

11、压延机原理：

压延机由两轮构成，两轮直径各为d=50cm，轮间的间隙为a=0.5cm.两轮按反方向转动，如图上箭头所示.已知烧红的铁板与铸铁轮之间的动摩擦因数μ=0.1，问能压延的铁板厚度是多少?

分析：

铁板的A、B两点和铸铁轮接触，接触点与转轴连线的夹角为α。

在A点铁板受到FN1和Ff1两个力，在B点铁板受到FN2和Ff2两个力，如图所示。

要使铁板能压延铁板所受合力必须向右，则   α＜θ=arctanμ

则铁板的最大厚度为 bm= a+2（r-rcosθ）=7.48mm 

所以能压延的铁板厚度       b＜7.48mm

12、木块和水平面间的动摩擦因数为m，水平外力F拉着物体沿水平面匀速（或加速）运动。

再加一个与外力F等大外力，使物体仍做匀速（或以原来的加速度）运动，该外力的方向如何？

解：

根据题意，该外力增加（或减少）的水平分力与增加（或减少）的与摩擦力等大反向，一定处于N和f的合力FNf位置共线，同向（或反向）的位置，即该外力与竖直方向的夹角为摩擦角θ，如图。

13、木块和水平面间的动摩擦因数为m，力F斜向上拉木块在水平面上匀速前进，求F和水平方向夹角为多少时最省力。

解：

将N和f的合成为FNf，则物体在平衡三力作用下匀速运动，如图。

从力的三角形法则可知，外力

F与FNf垂直时，F最小，它与水平方向的夹角正好为摩擦角θ。

14、（第三届全国预赛）如图所示，用力F推一放在水平地面上的木箱，质量为M，木箱与地面间摩擦因数为问：

当力F与竖直成夹角多大时，力F再大也无法推动木箱?

[思路分析]本题属于物体平衡问题，一般方法是用平衡条件列方程求极值，但这里用摩擦角的概念分析，问题会更加简单．

解:

选物体为研究对象，受力如图所示，其受四个力作用而静止，将弹力N和摩擦力f合成作出全反力F．当物体将要发生滑动时，静摩擦角0。

满足tg0=，由平衡条件知当0<<0时，物体出现自琐现象，也就是说此时无论用多大的力都不会使物体推动，故角属于范围（0,0）。

15、结构均匀的梯子AB，靠在光滑竖直墙上，已知梯子长为L，重为G，与地面间的动摩擦因数为μ，如图所示，

（1）求梯子不滑动，梯子与水平地面夹角θ的最小值θ0；

（2）当θ=θ0时，一重为P的人沿梯子缓慢向上，他上到什么位置，梯子开始滑动？

分析：

本题也有两种解法：

解法一是根据物体的平衡条件求解，这是常规解法；另一解法是分析出它临界条件θ0再引入摩擦角解。

解法一：

（1）如图2所示，平衡条件可得：

由上述3式可解得：

（2）如图3所示，由平衡条件可得：

由上述3式可解得：

解法二：

（1）（引入摩擦角）如图4所示，

，

由平衡条件可得：

所以有

（2）如图5所示，将梯子和人的重力用其等效重力代替

，

当等效重力的重心还在梯子重心下面时梯子还不会滑倒，当

等效重力的重心还在梯子重心上面时梯子就会滑倒，所以当

人上到梯子一半即L/2时，梯子开始滑动。

（注：

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