与圆有关的阴影面积的计算.docx

1、与圆有关的阴影面积的计算辅导材料：与圆有关的阴影面积的计算准备阶段：1圆的面积公式：S二二r2.其中r为圆的半径.12半圆的面积公式：S半圆=-二r2.223扇形的面积公式：S扇形二n J.其中r为扇形的半径,n为扇形的半径.36014.扇形的面积公式(另):S扇形寸.其中r为扇形的半径，l为扇形的弧长.-S扇形n 二 r 1r = l r.18 0 25关于旋转：(1)复习旋转的性质.(2)会画出一个图形旋转后的图形(3)旋转的作用：通过旋转，有时候我们可以把分散的几何条件集中起来，使题目 呈现出整体上的特点.该作用也常用于与圆有关的阴影面积的计算.6重点介绍：转化思想在解决数学问题时，把复

2、杂问题简单化，把一般问题特殊化，把抽象问题具体 化等的思想方法，叫做转化思想.7怎样求与圆有关的阴影的面积？(1)利用圆、半圆以及扇形的面积计算公式.(2)利用整体与部分之间的关系.(3)采用整体思想 求不规则图形的面积，一般将其转化为规则图形的和差来解 决，具体可以通过平移、旋转或割补的形式进行转化 .实战阶段： 1. （ 2015河南）如图（1）所示，在扇形AOB中,/ A0B=9，点C为0A的 中点,CE丄OA交弧AB于点E.以点0 为圆心,0C的长为半径作弧CD交0B 于点D.若0A=2,则阴影部分的面积为在 Rt COE 中,/ CEO=30/ EOC=60vZ AOB=9 / BO

3、E=30在Rt COE中,由勾股定理得：CE OE2 OC2 = 22 12 二 3S阴影二S COE S扇形OBE - S扇形OCD图（1）图（1）解析：图（1）中阴影所在图形为不规 则图形,可以利用整体与部分之间的关 系的方法求解，即采用整体和差的方 法.解:连结0E. OA=OB=OEv CE 丄 0A COE为直角三角形v点C为0A的中点 OC0A0E -122i 2 1 21“ c 30 ： ： 2 90 二 1132360 3603 二=+212 2. （2015.贵州遵义）如图（2）所示,在圆心角为90的扇形OAB中，半径OA=2 cm,C为弧AB的中点,D、E分别是OA、OB的

4、中点，则图中阴影部分的面积是 .解：连结0C,并作CM丄OA于点M.点C为弧AB的中点，/ A0B=9 1/ AOC= / BOC= - / AOB=42 COM为等腰直角三角形 OM=CM/ 0C=2cm-： 2 I CM=OC sin45 = 2 2 cm2v D、E分别是OA、OB的中点 OD=OE=1 cm DM=OM OD=( 2 -1)cm（1） 三角形全等的判定定理有哪些 ？（2） 全等三角形具有怎样的性质？对于第二个问题，全等三角形的面 积相等，我们可以借助该性质将三角形 的面积等量转化.B图（3）S阴影二 S扇形 OBC S COM - S CDM - S DOE解:连结CD

5、.设DE与AC交于点M,DF 与BC交于点N.兀 2-42 11-22 2江1 -12-t)cm22注意：若题目对结果无特殊要求，则结 果保留二，不取具体值. 3.（2015开封二模）如图（3）所示，在 ABC 中,CA=CB, / ACB=90 ,AB=2.点D为AB的中点，以点D为圆心作圆 心角为90的扇形DEF,点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 BEv/ ACB=90/ CDE + / 仁90v CA=CB,点D为AB的中点CD丄AB (等腰三角形 三线合一”/ CDE + / 2=90解析：本题问题的解决要用到三角形全等的知识，请复习：1 / DCN= ACB=452:丄 D

6、AM= / DCNvZ ACB=901二 CD AB = AD =12 DE=CD=1在厶ADM和厶CDN中DAM DCNv * AD =CDN2 =N1 ADM CDN(ASA) Sa ADM =s CDNV S 四边形 DMCN =SaCDM +Sa DCNSa ACD=Sa CDM +S ADMS 四边形 DMCN = SaACDS阴影=S扇形DEF - S四边形DMCN-S 扇形 DEF - S ACD90 ： / ; 12 1 1-3 60 2JT 1= 4 2B在求扇形的面积时确定圆心角的度数很重要大多数扇形的圆心角题目会直接 给出，但有时却需要我们自己求解 见 第 5题. 4.（

7、2015.洛阳一模）如图（4）所示, 在扇形OAB中,Z AOB=9 ,半径OA=6.将扇形AOB沿过点B的直线折 叠.点0恰好落在弧AB上点D处，折 痕交0A于点C,则图中阴影部分的面 积为 .图（4）解析本题,S阴影二S扇形OAB - 2S BOC , 题目所给条件不难求出扇形 OAB的 面积，但 BOC的面积不易求得如果 连结0D,那么OB=OD,再根据对折，得 OB=BD,从而 OB=OD=BD,即厶 BOD 为等边三角形至此，问题便很容易解 决解：连结0D.O BOB=OD BOCBDC (由翻折可得)OB=BD, Z OBC = Z DBCOB=OD=BD BOD为等边三角形/ O

8、BD=6/ OBC =Z DBC=30在 Rt BOC 中,/ OBC=3。OC tan/OBC 二 tan 30 :OB.OC 一 3. 二 6 3-OC= 2 ： 3S阴影 二S扇形OAB S BOC90 ： ： 62 a 6 2 32360 2=9二-12 3 5.（ 2015焦作一模）如图（5）所示,在矩形ABCD中,AB= 3,AD=1,把该矩形绕点 A顺时针旋转:得到矩形AB C D点 C落在AB的延长线上，则 图中阴影部分的面积是 .C解：在Rt ABC中,由勾股定理得：AC 二 AB2 BC2 7（ 3）2 12 =2.AC=2BC/ BAC=30由旋转的性质得：=Z BAB=

9、30S阴影二S.ABC 一 S扇形ABB=S.gBC - S扇形 ABB31 30 ： ： （、3）2=2 360- 3 二= 2 4 6. （2014河南）如图，在菱形ABCD 中,AB=1,Z DAB=60 把菱形 ABCD 绕 点A顺时针旋转30得到菱形AB C D 其中点C的运动路径为弧CC，则图中 阴影部分的面积为 .D CB图（6）解：由题意可知:A、D、C三点共线,A、B、C三点共线，如图所示，设BC与C Df目交于点E.D CB容易得知：/ BED =Z CEE =0设 DE=x,则 BE=x,CD = 2x (为什么?)/. CE=4 - x在Rt DCE中,由勾股定理得：D

10、E2 CE -DC22 2 2x (4-x) =(2x)解之得:xi3 -1 - 3 -12 2 一 2（舍扇形的面积之间的关系为S阴影=S扇形OBD S扇形OACD图（7）去）DE = q,CE=J1S .DCE3 -1 3 - 3 2 3 - 3X X =22 2 4由菱形的性质并结合勾股定理不难求 得:AC= 3二 S扇形 ACC 一 2S DCE30( 3)2一2360 4二 2 3-342-3 7.（ 2015新乡一模）如图（7）所示, 在 Rt AOB 中，/ AOB=3，/ A=90 ,AB=1,将Rt AOB绕点0顺时针旋转90得到Rt COD,则在旋转过程中线 段AB扫过的面

11、积为 .解析：本题中阴影部分是由相关图形 的旋转形成的，阴影部分的面积与两个解：在 Rt AOB 中，/ AOB=3 OB=2AB=2由勾股定理得：OA= OB2 - AB2 = 22 12 八 3-S阴影=S扇形OBD - S扇形CAC90 ： :22 90 ： : （、3）2= 5 5360 3 6 03=兀一一兀4兀_ 4 8. （2014.许昌一模）如图（8）所示, 在平面直角坐标系中，已知。D经过原 点O,与x轴、y轴分别交于A、B两点,B点的坐标为（0,2、.3）,OC与。D相交于点C,/ OCA=3 ,则图中阴影部 分的面积为 .解析：本题将圆的知识点与平面直角 坐标系相结合，使

12、得问题的解决更加灵 活.实际上，平面直角坐标系是研究几何或解析几何的有力工具.S阴影二S半圆一S AOB图（8）在求扇形的面积时确定扇形的半解：连结AB.径很重要 9如图（9）所示,在扇形OAB中，Z AOB=6，扇形半径为4,点C在弧AB上,CD丄OA,垂足为点。,当厶OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为vZ A0B=9 AB是。D的直径vZ 0CA=3Z OBA=3v B(0,2 3) 0B=2 3设 OA= x,则 AB=2x在Rt AOB中,由勾股定理得：OA2 OB2 二 AB2x2 (2 3)2 二(2x)2解之得：= 2, x2 - -2 （舍去）O D A图(9)解析：本题

13、涉及到三角形面积最大的 问题当直角厶COD满足什么条件时， 其面积最大，弄清楚这个问题是解决本 题问题的关键.解：在Rt COD中，由勾股定理得：2 2 2OD2 CD = OC = 16v （OD - CD）2 一 0显然，当 OD=CD时，取=号，此时 COD二 OD - 2OD CD CD - 0是等腰直角三角形，其面积最大，最大1值为 S COD OD CD 二 4 COD=4S阴影=S扇形OAC - S COD 245 ： :4436 0= 2-4 10. ( 2015.郑州外国语中学)如图(10)所示，在正方形ABCD中,对角线 AC、BD相交于点 O, AOB绕点B 逆时针旋转60得到 BO B；AB与弧 OO相交于点E,若AD=2,则图中阴影 部分的面积是 .215 二（2）36 02 1=_ - 一 - _ 1312-112 11.(2013.湖北潜江模拟)如图(11), 在 Rt AB C 中，/ C=90，/ A=30 ,AC=6 cm, CD丄AB于 D,以C为圆 心,CD为半径画弧，交BC于E,则图中 阴影部分的面积为 【 】(A)3朽一3兀 icm212 4丿(B)兀 icm2解：由题意可知：/ ABB=0 / EBO=5在Rt ABD中,由