镜像单元一维光子晶体传输特性.docx

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镜像单元一维光子晶体传输特性

镜像单元一维光子晶体的传输特性研究

重庆工商大学11应用物理何朝凤

指导老师：

席锋

中文摘要：

本论文首先介绍了光子晶体的基本性质、特点以及现有的一些应用情况，重点在介绍一维光子晶体，然后是介绍了光子晶体的理论基础，即电磁学中的麦克斯韦方程组，接着讲了光子晶体计算的三种方法，其中重点介绍了传输矩阵法，最后用传输矩阵法计算镜像单元光子晶体的反射方程和折射方程，用反射率特性曲线来说明镜像单元一维光子晶体的传输特性，并与普通周期的一维光子晶体传输特性进行比较。

结果显示，对于镜像一维光子晶体，正入射时，两条禁带之间的带间谐振数是介质层数的两倍，而且带间谐振反射率呈现中间低两边高的变化规律，随着入射角的增大，一级禁带像短波方向移动，禁带间出现带间谐振分裂，出现带间禁带，两条禁带之间的带间谐振数成倍减小，除此之外，镜像一维光子晶体相比于普通周期一维光子晶体的禁带宽度有所减小，禁带中心波长向左移。

关键词：

镜像；光子晶体；麦克斯韦方程；禁带；

Abstract：

Thispaperintroducesthebasicproperties,characteristicsandsomeoftheexistingapplicationsofphotoniccrystals,withemphasisonpresentationone-dimensionalphotoniccrystals,Thenthetheoreticalbasisofphotoniccrystals,thatiselectromagnetismMaxwellequations,thenwetalkaboutthethreewaystocalculatephotoniccrystals,whichfocusesonthetransfermatrixmethod,finally,calculatethemirrorunitphotoniccrystalwiththetransfermatrixmethodreflectionandrefractionequationequation,withreflectancecurvetoillustratethetransmissioncharacteristicsofthemirrorunitofone-dimensionalphotoniccrystals,andwiththeone-dimensionalphotoniccrystaltransmissioncharacteristicsofanordinaryperiodforcomparison.Theresultsdisplaythatforone-dimensionalphotoniccrystalmirrors,normalincidence,thenumberofinter-bandresonantbandgapbetweenthetwoistwicethenumberofdielectriclayers,Withtheincidenceangleincreases,theleveloftheforbiddenbandmovelikeshortwavedirection,thebandgapbetweentheresonancesplitbetweenbandappearedwiththeforbiddenband,thecenterwavelengthofthebandgapdecreaseslevelsincreasedseveralforbiddenbandwithbandgapbetweenthetworoomsdoubleresonancedecreases,besides,one-dimensionalphotoniccrystalmirrorcomparedtonormalcycleofone-dimensionalphotoniccrystalbandgaphasbeenreduced,thecenterwavelengthbandgaptotheleft.

Keywords:

Mirror;Photoniccrystal;Maxwellequations;Bandgap;

第一章绪论

1、光子晶体的概述

光子晶体[1]（photoniccrystals,PCs）是一种能使光波在其中传播时发生相应色散曲线呈现带状结构的人工化学材料，因此，也被称为光子带隙材料，对光波而言，它是一种人工化学材料，是不同折射率的介质按一定周期性在空间上交替变化形成的；对电磁波而言，它是因为不同介电常数的电介质按一定周期性在空间上交替排列的所形成的人工材料。

光子晶体具有光子带隙这一基本特征，是因为光子晶体内部原子呈现的周期性排列使光波在其中传播时相应的色散曲线呈现带状结构。

这一现象类似半导体能带，称此为“光子能带”[2]。

能带与能带之间的区域就称为光子带隙，当光子的频率或波长处于带隙内时，将被禁止通过，因而也将光子晶体叫做光子半导体。

利用带隙能实现对光波的调控，当光子频率处于光子禁带中时，光子态密度为零，该光子晶体中不能传输对应的电磁模式[3,4]。

光子晶体根据介质空间结构上的不一致，分为一维、二维和三维光子晶体，如图1-1所示。

其中，图1-1中的图1-1（a）是一维光子晶体的结构图，是由两种不同的介质在一个方向上交替叠加而形成的空间周期性结构；图1-1（b）是二维光子晶体的结构图，在二维空间上，由两种不同的介质不同折射率材料的介质棒均匀、平行排列构成的周期性结构；图1-1（c），是由两种不同介电常数或折射率的介质在三维空间方向上呈周期性排布的结构所形成的三维光子晶体的结构图。

图1-1光子晶体的不同空间结构

2、光子晶体的发展

微电子学革命开始于20世纪50年代，但是因为当时对半导体器件的研究速度已经快达到极限了，而且集成度也已接近饱和，所以该时期以电子信息为主体的信息技术遭受了发展上的“电子瓶颈”，所以光子便进入了科学家的研究视野范围内，这就为后来光子晶体的研究奠定了基础。

1987年，贝尔通讯中心的Yablonovitch[5]和普林斯顿大学的John[6]分别从不同的角度探讨了周期性电介质结构对材料中光的传播的影响这一问题，光子晶体的概念也就因此而诞生了。

光子晶体的概念一提出来就受到了全世界的广泛关注，1992年Bath大学的Russell等人就根据光子晶体的光传输原理首次提出了光子晶体光纤（PCF）的概念，并采用堆拉法制造出了世界上第一根固体纤芯的光子晶体光纤，虽然这并没有带来期望的光子带隙效应，但是还是呈现出来非常不同的性能，具有重要价值。

丹麦技术大学电磁系与英国Bath大学光电研究中心于1996年成功的出建立了晶体光纤的大本营，研究出第一根光子晶体光纤管。

无论是从理论来看，还是根据实验研究来看都取得了巨大成功。

麻省理工学院的ShanHuiFan等人1997年提出了二维光子晶体的薄膜技术，这一提议把集成电路的发展拓宽到超宽带光信号领域，实现了技术革命，进一步推进了光电子学的超小型号化，AxelScherer实验室利用这种技术制作出了体积仅为0.03µm3的激光器。

1999年，Painler等人利用在二维光子晶体中引入点缺陷成功的研制出光子晶体激光器。

该激光器的阈值很大程度上降低，因为在激光器中加入了带缺陷的光子晶体，基本上可以完全避免自发辐射造成的损耗，。

同年，Cregan在Knight等人的工作基础上，进行改善优化从而制造出了空气纤芯的光子晶体光纤，也就是我们说的光子带隙光纤。

这类光纤具有低色散、低损耗、低非线性效应等特点，因为光被限制在空气中进行传播，真正意义上的光子晶体光纤就此发展起来。

2002年，英国投入1250万英镑开展了“超快光子学合作计划”，“基于光子晶体的光子集成线路计划”在欧共体信息社会技术委员会成功启动，做过的李承芳、李永平、杨国桢领导的课题组也相继投入研究，日本成立“可调光子晶体计划”的新能源产业技术综合开发机构。

2009年，苏安等人使用传输矩阵法计算与模拟一维光子晶体（ABCBA）m的透射谱，通过向C层介质中加入增益特性杂质的研究，得出周期数m为奇数时，透射率呈现出恒为0.05ω/ω0的透射衰减现象，周期数m为偶数时，出现高达104数量级的透射增益现象，并且增益的强度与重复的周期数m和C层折射率的虚部大小关系密切；当介电常数为实数时，光子晶体的透射谱出现有规律的共振透射峰，并且具有多通道光滤波的特性。

这些现象为光子晶体实现光放大器、单通道光滤波器和多通道光滤波器提供了理论指导。

同年，MalekiJ.R.利用光子晶体环形谐振器，提出太赫兹波开关设计方案，研究了具有正方形栅格的光子晶体结构并将它在环形振荡器的设计中进行应用。

根据缺陷模随模式量子数的变化规律可实现多通道滤波，缺陷模随杂质光学厚度的变化规律可实现调谐滤波，2010年刘启能根据电磁波在一维矩形掺杂光子晶体中横向受限条件，推出电磁波在一维矩形掺杂光子晶体中满足的各个模式关系式。

研究了TE波与TM波各个模式的缺陷模跟随模式量子数和杂质光学厚度的变化规律。

2011年，VasudevanV.合成了半有机非线性光学材料。

2012年，MossakowskaA.在考虑增益饱和效应以及横向与纵向磁场分布的情况下，分析了结构带宽为3dB的一维光子晶体在平面波的激光；同年，GevorgyanA.H.对左侧与右侧胆甾相液晶体堆层（CLC）的光学性质做了研究，就在同一年，GlushkoE.Y.等人对光子晶体在光学膜中的应用实例进行了讨论。

2013年，李胜等人将表面具有缺陷型的光子晶体的结构应用到了GPS天线中，为提高天线性能开拓了新的方法与思路。

3、光子晶体的应用及展望

（1）光子晶体光纤

光子晶体光纤

是它是不完全光子晶体重要应用之一，它是由带有缺陷的二维光子晶体延展而产生的，。

光子晶体光纤本质就是为了能够成功的完成光的波导，于是在二维光子晶体纤维的K度方向制造缺陷。

根据导光原理的不同它分为全内反射光纤与带隙波导光纤两类，对带隙波导光纤，规则排列的光子晶体为了使其在一定频率范围内的光无法在横截面传播，就使晶体结构在光纤横截面的方向形成二级禁带，当这个结构中引入缺陷就会在禁带中产生局域态。

PCF利用该局域态就可以沿着光纤纵向导光，也就是PBG导光。

但是，禁带的产生是有一定的条件的，即只有在孔直径和孔间距的大小大于一定值时才出现。

对全反射结构，光纤由于芯部的空气孔缺失形成纤芯，其外围的周期性区域被称为包层，纤芯与包层之间存在折射率的有效差，就在形成的纤芯与包层的有效折射率差的条件下，光纤发生了全反射传播。

光子晶体光纤具有以下优点：

一是因为在这种光纤中光能量不同于传统光纤的全内反射原理，它主要是在孔芯中传播，所以这种光纤不仅允许光路出现大于直角的弯曲，甚至在一定条件下可以在弯曲曲率半径小于波长的条件下传播，因此在一定程度上，该光纤大大的提高了光祸合系统中的祸合效率以及光纤在弯曲状态下的传光效率；二是它在工作过程中，受到了较小程度的纤芯和光波中固态材料之间的相互作用（非线性或吸收）限制，因此在很大程度上，限制光纤的非线性效应产生的影响；三是若在空芯中充入一定折射率的液体或特定的气体，那么它们就可能与传导模式中的光产生非常强的相互作用，这种利用传导非线性过程产生多种光波长的方法、在气体传感以及检测，材料的非线性光学性质研究方面有非常广泛的用途。

（2）光子晶体超透镜

常规的光学透镜一般是不可以把波长相近的光给分开的，因为它受到Rayleigh衍射的影响，分辨率只有半个波长，而且在传播过程中只有传播波参与了光成像，倏逝波因为波的衰减失去了携带的光学信息。

使用负折射率材料可以克服这一问题，它是让入射光与折射光位于法线的同侧，这样不仅让传播波参与成像，还不会丢失倏逝波所携带的信息，通过如此便可制备“完美透镜”。

因为光子晶体恰好具有等效负折射率的特性，所以利用光子晶体制成的超透镜便可对微小结构实现“完美成像”，使成像分辨率得到较大的提高。

这对光在通讯中的信息处理有十分重要的意义。

（3）微波天线

传统的微波天线传输效率很低，是由于它将天线直接与介质基底制备在一起，所以导致大部分的能量被天线基底所吸收。

而光子晶体可以正好克服这个缺点，我们不仅可以根据需要设计出相应微波频段的光子晶体，并且可以让微波天线的基片就是该光子晶体，这样即可实现无损耗的全反射，因为当满足该微波段频率的光波落在光子晶体的禁带中时，基底是不吸收微波的，所以将能量全部都发射到空中，从而实现了全反射。

（4）光滤波器

因为光子晶体具有带隙结构，所以对传播光波存在禁带，在禁带中光波是不允许被通过的，所以某一特定频率的光波就无法透过光子晶体而传播出来，这样光的滤波效果就得以实现了。

除此之外，光子晶体滤波器[8,9]相对于传统的滤波器滤波性能更为优良，这是因为光子晶体滤波器的绿波带宽能做得比传统的大很多。

通过引入杂质缺陷，就可以得到具有不同带隙结构的光子晶体，从而可以制作成高通、带阻、宽带带阻、带通等其它性能的滤波器。

（5）光学二极管

传统发光二极管的发光率很低，是因为它发出的光是从它的发光中心发射出来的，在包围它的介质中经过了很多次的反射后才发射出来的，以至于大部分的光没法被有效的耦合出去而导致的。

为了较大程度的提高发光二极管的效率，我们将一块特制的光子晶体放在发光二极管的发光中心处，并让发光中心的发光频率与光子禁带的频率相一至，那么从发光二极管的发光中心发射出来的光就不被允许进入包围它的光子晶体中，而是按特定的方向向外辐射，如此一来发光二极管的发光效率就得到了大大的提高。

4、本论文研究目的

一开始，人们认为一维光子晶体只是在光的传播方向上呈现周期性结构，由此认为光子禁带也只应该出现在该方向上，但Joanopoulos等人从理论和仿真得出：

一维光子晶体也具备二维和三维光子晶体的特性，是因为它具有全方向的三维光子带隙。

跟二维和三维光子晶体相比，一维光子晶体的结构最为简单，容易制备，所以在紫外光、可见光、红外光波段都有深入研究，并且在光学二极管、光开关、光滤波器等[10]方面得到广泛应用，所以本论文讨论的重点是一维光子晶体。

本论文主要研究镜像单元一维光子晶体（即介质周期为（ABBA）N）的传输特性，用传输矩阵法计算出镜像单元一维光子晶体的反射率和透射率，再使用Mathematica软件进行数字仿真，描绘出它的反射率传输特性曲线，首先是在正入射的情况下，通过观察其反射率特性曲线的变化来说明镜像一维光子晶体的传输特性，然后研究不同入射角度情况下的反射率特性曲线，从而说明镜像一维光子晶体的传输特性，最后是将介质周期为（ABBA）N的镜像单元一维光子晶体与普通周期（AB）N的一维光子晶体的反射率特性曲线进行比较，得出二者传输特性的区别。

第二章光子晶体的研究方法

光子晶体中光波的传输，其实质即是电磁波在周期性结构中的传播。

利用Maxwell方程组[11,12]可以对一定结构的光子晶体和它确定的边界条件，求解出电磁波在该种介质中的传输特性。

随着对光子晶体理论研究的不断深入，不仅在发展中取得了较大的进步，也在光子晶体的制备、实验与应用的理论中提供了坚实有力依据。

为了研究光波在电子晶体中的传播规律，对不同的结构需要采用相应行之有效的方法。

对一维光子晶体常常用传输矩阵法[13]，平面波展开法[14]，格林函数法；对二维与三维光子晶体常使用时域有限差分法，平面波展开法和多重散射法。

1、光子晶体的电磁理论基础

光波是电磁波的一种，所以它也遵循电磁波理论。

其中麦克斯韦（Maxwell）方程组为：

（2-1）

式（2-1）中，B—磁感应强度，单位是：

韦伯/米（wb/m2）；

D—电位移矢量，单位是：

库伦/米2（C/m2）；

E—电场强度，单位是：

伏特/米（V/m）；

H—磁场强度，单位是：

安培/米（A/m）；

J—电流密度，单位是：

安培/米2（A/m2）；

ρ—自由电荷密度。

因为介质受磁场作用有：

（2-2）

对均匀的各项同性介质中有：

（2-3）

其中，ε—介质的介电常数μ—介质的磁导率常数

ε0—真空中的介电常数μ0—真空中的磁导率常数

εr—介质的相对介电常数μr—介质的相对磁导率常数

由麦克斯韦方程的线性性质可以将场量表示成谐波形式：

（2-4）

因光子晶体一般能当做无源媒质，所以认为J=0且ρ=0，再将（2-2）、（2-3）、（2-4）式带入（2-1）式并分离变量可得：

（2-5）

令

，再将（2-5）式中的E和H消去可，可得：

（2-6）

（2-7）

光子晶体的控制方程即是（2-7）式。

因光子晶体的结构是确定的，所以它的εr是已知的，频率ω所对应的H（r）可以通过求解（2-7）式得出，这也就是特征值的求解问题，如式（2-8）：

（2-8）

然后根据（2-5）式，可以求出

：

（2-9）

在光子晶体中，介电常数

呈周期性分布，即有εr=ε（r+R），式中R是光子晶体的晶格常数。

由控制方程（2-7）式可知，光子晶体没有基本的长度标度。

因为麦克斯韦方程也没有长度标度，若晶格常数变成

，则相应的控制方程就变成：

（2-10）

根据（2-7）和（2-9）式可以得到光子晶体在频率为ω，晶格常数为a时的带隙结构与频率为2ω，晶格常数为a/2时的带隙结构相同这一重要性质。

因光子晶体易于制作和测量在微波波段的，而难于制备尺度较小的，所以对光子晶体在光波波段的模式特性的研究就是利用微波波段的光子晶体的模式特性来研究。

2、传输矩阵法

传输矩阵法又称为转移矩阵法或特征矩阵法。

传输矩阵法是通过将光波或电磁场在实空间的格点上进行展开，把Maxwell方程组转化为转移矩阵的形式，通过求解出本征值得到一维光子晶体的带隙结构。

传输矩阵能表示层中格点的场强和相邻层格点场强的关系，在Maxwell方程组的基础上从一个格点推广到整个空间。

运用该方法具有矩阵元素少，传输矩阵小，计算过程简单而计算精度高等优点，还可以计算结构的透射系数、反射系数以及电磁场在一维光子晶体中各层介质上的分布。

当平面光波在分层介质中传输时，可以由Maxwell方程求解得出，在光的传输方向上，包括反射波分量和入射波分量，其解可表示为：

（2-11）

在分层介质界面上，如图2-1所示，在

层的界面上，根据边界条件：

磁场的切向分量和电场的法向分量连续，可得：

（2-12）

图2-1分层界面上的入射波和反射波

当入射波和反射波在介质层中传输时，只有相位会发生变化，故

，

，其中

。

由此可得出：

（2-13）

将（2-13）式写成矩阵形式为：

（2-14）

在

+1层界面上，应用边界条件可得：

（2-15）

经变换后，式（2-15）表示为矩阵形式为：

（2-16）

联合式（2-14）和（2-16）可得：

（2-17）

令

，并称其为特征矩阵。

3、平面波展开法

平面波展开法是一种计算周期性结构色散关系的常用方法，在光子晶体的理论分析中，平面波展开法被广泛使用，而且是最早使用的一种计算光子晶体色散关系的方法。

其实质就是将电磁波与介电常数（随空间变化）的倒数以平面波的形式在倒格矢空间进行叠加与展开，于是就将麦克斯韦方程组转化成了一个本征方程。

本征频率和其对应波矢的关系就可以通过求解本征方程得到，也就是色散关系。

4、格林函数法

格林函数法的使用已经相当成熟，一开始这个方法是应用于研究晶格振动系统的电子导体和杂质模，紧接着又被磁系统中的单个磁杂质的研究所用，如今光子晶体中的杂质能级的研究直接使用它。

格林函数的应用例子之一为截高二维介质分布。

（x,y）平面为它的周期平面，z=（0,d）之间为它的介质柱高度限制范围，这等同于波导是有限长度的。

先将本征方程转化成三维的标准本征值问题，然后格林函数应用于它在波导本征方程求解时。

第3章镜像一维光子晶体传输特性

通过前两章对一维光子晶体原理和计算方法的分析，现在我们即可据此对镜像单元一维光子晶体的反射率曲线进行计算和数字仿真，然后根据反射率特性曲线来说明镜像一维光子晶体的传输特性，讨论不同介质折射率、不同入射角的传输特性，以及与普通周期一维光子晶体的传输特性的比较。

1、镜像一维光子晶体的模型和计算方法

如图3-1为介质折射率分别为na和nb的两种材料呈镜像交替组成的镜像一维光子晶体结构示意图，其中介质折射率na

图3-1镜像单元一维光子晶体结构示意图

平面光波在分层介质中的传输根据光学理论可以用一个特殊矩阵来表述，矩阵即是：

（3-1）

其中

，

，θ0是光波在晶体左端面的入射角，波数k=ω/c=2π/λ，其中c是光速，λ是入射光波长。

对于TM波，

，对于TE波，

。

在分层周期性结构

中，结构周期数用N表示，当光波从左向右传播时，总的传输矩阵可以表示为：

（3-2）

平面光波在入射端面会发生反射，出射端面会发生透射，对应的反射率与透射率分别为：

反射率：

（3-3）

透射率：

（3-4）

2、镜像一维光子晶体的传输特性

通过（3-3）式可以计算出镜像一维光子晶体反射率的数值，由此可以绘出反射率的特性曲线，其中当R=1时，表示入射光通过镜像一维光子晶体后某些频率的波段被完全反射，这称为禁带。

若n0=1、na=1.38、nb=2.38，中心波长λ0=600nm、光学厚度nada=nbdb=λ0/4、N=10，则可以得到以下不同入射角度时反射率R与入射波长λ0的变化曲线：

图4-1反射率随波长的变化曲线图4-2反射率随波长的变化曲线

图4-3反射率随波长的变化曲线图4-4反射率随波长的变化曲线

如图4-1入射角θ0=0°（即正入射）可知：

中心波长大约在λ=400nm处和λ=250nm处分别出现了一条禁带，其中中心波长λ=400nm处的那条较宽的禁带称为一级禁带，其宽度大约为53nm，除此之外，这两条禁带之间的带间谐振个数为18个，带间谐振呈现中间弱两边强的变化规律。

如图4-2入射角θ0=30°可知：

一级禁带的中心波长大约在λ=385nm处，其带宽度大约为53nm，另一条禁带的中心波长大约在λ=230nm处，在两条禁带之间的中间条带间谐振反射率突然增大，使带间谐振的强弱发生变化，呈现先强后弱再强，在骤然下降后逐渐增强的变化规律。

如图4-3入射角θ0=60°可知：

一级禁带的中心波长大约在λ=345nm处，其宽度大约为53nm，另一条禁带的中心波长大约在λ=206nm处，并且在原来的两条禁带之间出现了带间谐振分裂，出现了一条新的禁带（即第二条禁带），这条新的禁带的中心波长大约在λ=256nm处，新出现的禁带和中心波长大约在λ=256nm处的禁带之间的带间谐振呈现中间弱两边强的变化规律，新出现的禁带和一级禁带之间的带间谐振呈现逐渐增强的变化规律。

如图4-4入射角θ0=89°可知：

一级禁带的中心波长大约在λ=320nm处，其