十二种方法推导点到直线的距离公式docx.docx
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十二种点到直线距离公式证明方法
这里只讨论一般直线)
用高中数学知识推导点到直线的距离公式的方法.已知点P(Xo,Yo)直线I:
Ax+By+C=0(A、B均不为0),求点P到直线I的距离。
(因为特殊直线很容易求距离,
I的垂线段的长,设点P到直线可知I'的斜率为B/A
《1.用定义法推导》点P到直线I的距离是点P到直线I的垂线为垂足为Q由I垂直I'
ZlA
二f的方⅛:
y-y0-^(X-XO15X∩方程组
解紹交点O(虽竺孕欝.
ALr4DJ
A⅛tcΔθV卫Cj
A=B3
IPQ岸tB%世百FAC-Xojj
(A⅛{r*-ABXC-BCU<.2
[A铀VO)
NfXU严卑(TAC-ABx⅛-BCF
_A'(A査+BYQ∙÷CF★B'(A>⅛+B⅛]+CF
皿B爭
(Ax⅛+By0+Op
一A7+B7
二IPcII』冷唱
√AjVBr
«2,用设而不求法推导》
过已知点P(x0,yc>作已知直线上
Ax+By⅜C⅛OES垂线,设垂足Q(Xty)»则Iy
HiX
y-¼>j-AJ=S-I
×->⅛B,化简得
Ax⅛By+C≈O
A{y-y(j)—B(X-Xe)=O
',A(X-XC⅛+B(y*yc)⅛-(Ax0÷By0÷C}由上式衔:
(A⅛Bj>[0t-xJ1+{y-y∏p]^(AX0+By(I+CF二hSSFGv卩JAdBY叮CL
«3?
用目标函数法推导》
点P(XoYfi)到育线/:
A^BPC=O上圧尊一点的距离的最小値就是总P到亘线/的左f上取圧意点M(K,y),爲两点的距离公式有IPMli≡(x-x0}≈+Cy-VJI为了利用条件AX起卅OS将上式变形一下,配凑系数愛理需,
(A3÷Bj}[k-+(V-Vn)1I
=Aa(X-XJ?
(v*y⅛j÷A2(y-y0)j+B:
={A{χ-xJ+B(y-y⅛P+IA(y-γJ*B(x-XJl?
⅛∣A(χ-χ0)4B(y-y0)Γ=(AXc+Bvo+C)7∖t(Axo+BVβ+C^O)
Λ√{^¾⅛<γ-v^⅛B⅛tBytt±C∣
VzAj÷B2
当旦仅当AW-旳-BOC-Z=O旳取等号斷以最小值就是d=∣A3⅛*¾⅛÷¾
VA2*B3
4,用柯西不等式推导》
“求证:
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc,即a∕c=b∕d时等号成立。
”实为柯西不等式的最简形式,用它可以非常方便地推出点到直线的距离公式。
设点M(XPy)S¾/:
AX÷Bv+C=O上任⅛-⅛sf≡≡αP(XofVC)到冒线/的匿离为d∣Rll:
AlPMJ?
=®拶胆+JBχτ¾⅛∣L
A'
⅛(A⅛B⅞1PM∣2-(A¼B⅛[
≥⅛x-Aκ⅛+By-ByJ?
-(-Ax^"Byc-C}?
心卩稠册气ByhG,当且仅当
VA^Bi
《5•用解直角三角形法推导》
设直线I的倾斜角为J过点P作PM//y轴交I于G(xι,yι),显然X=X。
,所以
/,COSZlGPH=
d=∣PH∣=∣PG∣∣cos乙GPHl=I*
■Js]A⅛+Bi⅛+CL
√A1-^By
«6,用三角形面积公式推导》
Iy
M
*
P
4、
Z,、j
H
O
X
两点闾距离公式的推导过程中,使用降维思想构造直角三角形・受此启示,当A∙B≠O时型点‰,yj的两条直线•分别作平行于Xffl,y轴的两条直线,分轨交直线/:
Ax+By+C=O于点M(-⅛⅛Liy(JW(XOL企产)・则IMPl=Ixo+除匚|,∣NP(=∣y0+^×o*c≥∣√;MP丄NP.
□
在Rt∆⅛pi4φt由頁角三角形03面积公式得:
;-IMPhINPI=^dMN∣*dtΛd=∣PQ∣=J≡L
√ipf√∣ρ÷imp-
_IAxq+By0+C∣
√Ar+Br
«7.用向量法推导》
由旨线<的方程Ax÷By÷C=O,CAfB不能问时为0),可得直线!
的法向虽为A=(AfBhiSiP(FM作胃线/的垂线,
垂足为Hfx,t∕hMfql≡PFf=λ∩t即(x,-x0iy-yj≈λCAFB)I所IXx,=xσ÷λAty-y=λBSIPffl=√(Γ-xDtyl^≡=∣λ∣
√S5^Br*又因为点H{x∖yl)在直线I上.所IX就有:
Ax÷Bγ'+C=Ot即A(x0÷λA)÷B(yα+λB)÷C≈Oi
λλ(A2+B7)≤-(AXO÷By0+Clr又因为A,B不同时为0,
-(AXo÷Bya÷C)
KM”~IIiι∙~~~-■
A3+B≈
λ∣PFrI=WI%V吋=∣λ∣
VA3+Br=|~ta^∕+⅛⅛⅛∣√A⅞B^gg4d=IP^l=JAx<>+BYDtCLf
1VA5碎
《8.用向量射影公式推导》
设R是亶轨上的任竜一晟设Rgy)"直线的方向叵®为斥=(-B,Ah则頁线的法向■为P^=(AJBIFFIf=(x-xφfy-Yd
■—1IA机二讪十B(Y-曲
,∣raμ∣v⅛j+bi^
IAxO÷B√r,÷C∣
VzAz+B2
原评:
向星是一押很好的工具,用向最处理,既避开了分类讨论,又体现了平面向矍的丁具性t会有出半功fg的效果。
《9.利用两条平行直线间的距离处处相等推导》
如果逛点P(XoyQ)作/:
Ax+8y+C=0的平行线:
Ax+By-Ax0-Byo=OI那么冒线ι,上≡s-αsιI的距商都等于点P到直线r迪也逼,既然可以任意取点•我们应设法使这个点到苴线I的距离容易求得.选取旨线F右其轴的交点G(ZM
®・过G作!
的垂线”垂足为H1S/与X轴相交于点F(-^0),容易求得FG=
如譽虫「甬CI与直线的倾輻甬β相
/,tancc=±tanβ=±
t:
、ISinaI-I±
等或互补,
VTY亠:
卜=门从讦d-GHh-
VB√Af^03
IFGlISinaI=I仏⅝+肿旳|*卑-;=
A,√a⅛B≡∣A⅛⅛By⅛±Q[
√A⅛Sr
«10.从最简单最特殊的引理出发推导》
引理:
坐标原点到直线L
Ax+By+C=0的距禺h=-J里W
√∕pτBι
简证;先从原点到盲线迪距禺这-特殊情形入手•设直线I与轴分别交于点EF®!
)点EVF的坐标分别≡(-⅛,
O)JOJ-I-)*由三角形面积恒辂:
^-EF*h=
I-OE-OFSh=-Jg^
由ψ⅛aa系求出迪5p(>⅛,yja⅛/平行的宴线的方⅛rAx+Bv-Ax0-Byo=0.设直线/和厂分别与X轴交于点E、G,则
KZ=OE'
HEG
d=OE
点E(-J-ro)>G((AX^y(JQ,由l∕∕l'W
-CL-ICl_IAXO+By0+Cj
Al√S耳歹-√AVB≡
{11.通过平移坐标系推导】
如果点P(×⅛γJ甲J*是坐标原点就好了,IIy
为此、我冊WaP(XCI[―一Vj为原点建立直第]∖f*vp>丈坐标系WM/.井IS+快一j*
坐标轴χ∖y(W别与I!
⅛t⅛⅛≡χ,γ^τ设直线[在新坐标系中记为化设田赣G在新日坐柝系中的坐标分8!
lStχ∖∕kUfy)o则由OdOO"卡O1X?
爲(Xtyl=^ryJ+fx∖y'h∕-X=Xo+χh*v=yo+y∖-宜线t在新坐标系中的方程是:
A(x1÷xJ+B(yh+yo)÷C=O,§DAx,÷By1ψAx0+Byα+C=O.点O1到貫线F的距瞬就呈原P(XftV(J到直线f的距离・由引理功碍:
力JAXc+By5+CIL
√A⅛Bi
【12,由直线与圆的位置关系推导】
当IX点P(XφV与胃线I口看一个交点肘*求圆的半径.
联立方程
[AX+βv÷c-°,消打
∣{χ-xj⅛(y-ydj=ra'
剜关于X的云二次方程:
A⅛β-χ2+
2(g+y0-xjx+×o+!
g-+γJa-rj≡OI令判别
式Δ*[2(g-+y<>-Xo)F'4,^qP~*[⅝÷⅜^~
+yJa-r3J≡0得:
宀辔工,卄悌評
感谢以下挚友,俺其实只是负责编辑整理了一下,证明下,感受下数学滴博大精深