十二种方法推导点到直线的距离公式docx.docx

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十二种方法推导点到直线的距离公式docx

十二种点到直线距离公式证明方法

这里只讨论一般直线）

用高中数学知识推导点到直线的距离公式的方法.已知点P（Xo,Yo）直线I:

Ax+By+C=0（A、B均不为0），求点P到直线I的距离。

（因为特殊直线很容易求距离，

I的垂线段的长，设点P到直线可知I'的斜率为B/A

《1.用定义法推导》点P到直线I的距离是点P到直线I的垂线为垂足为Q由I垂直I'

ZlA

二f的方⅛：

y-y0-^（X-XO15X∩方程组

解紹交点O（虽竺孕欝.

ALr4DJ

A⅛tcΔθV卫Cj

A=B3

IPQ岸tB%世百FAC-Xojj

（A⅛{r*-ABXC-BCU<.2

[A铀VO）

NfXU严卑（TAC-ABx⅛-BCF

_A'（A査+BYQ∙÷CF★B'（A>⅛+B⅛]+CF

皿B爭

（Ax⅛+By0+Op

一A7+B7

二IPcII』冷唱

√AjVBr

«2,用设而不求法推导》

过已知点P（x0,yc>作已知直线上

Ax+By⅜C⅛OES垂线,设垂足Q（Xty）»则Iy

HiX

y-¼>j-AJ=S-I

×->⅛B,化简得

Ax⅛By+C≈O

A{y-y（j）—B（X-Xe）=O

',A（X-XC⅛+B（y*yc）⅛-（Ax0÷By0÷C}由上式衔：

（A⅛Bj>[0t-xJ1+{y-y∏p]^（AX0+By（I+CF二hSSFGv卩JAdBY叮CL

«3?

用目标函数法推导》

点P（XoYfi）到育线/:

A^BPC=O上圧尊一点的距离的最小値就是总P到亘线/的左f上取圧意点M（K,y）,爲两点的距离公式有IPMli≡（x-x0}≈+Cy-VJI为了利用条件AX起卅OS将上式变形一下,配凑系数愛理需，

（A3÷Bj}[k-+（V-Vn）1I

=Aa（X-XJ?

（v*y⅛j÷A2（y-y0）j+B:

={A{χ-xJ+B（y-y⅛P+IA（y-γJ*B（x-XJl?

⅛∣A（χ-χ0）4B（y-y0）Γ=（AXc+Bvo+C）7∖t（Axo+BVβ+C^O）

Λ√{^¾⅛<γ-v^⅛B⅛tBytt±C∣

VzAj÷B2

当旦仅当AW-旳-BOC-Z=O旳取等号斷以最小值就是d=∣A3⅛*¾⅛÷¾

VA2*B3

4,用柯西不等式推导》

“求证：

（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2,当且仅当ad=bc，即a∕c=b∕d时等号成立。

”实为柯西不等式的最简形式，用它可以非常方便地推出点到直线的距离公式。

设点M（XPy）S¾/：

AX÷Bv+C=O上任⅛-⅛sf≡≡αP（XofVC）到冒线/的匿离为d∣Rll:

AlPMJ?

=®拶胆+JBχτ¾⅛∣L

A'

⅛（A⅛B⅞1PM∣2-（A¼B⅛[

≥⅛x-Aκ⅛+By-ByJ?

-（-Ax^"Byc-C}?

心卩稠册气ByhG,当且仅当

VA^Bi

《5•用解直角三角形法推导》

设直线I的倾斜角为J过点P作PM//y轴交I于G（xι,yι），显然X=X。

，所以

/,COSZlGPH=

d=∣PH∣=∣PG∣∣cos乙GPHl=I*

■Js]A⅛+Bi⅛+CL

√A1-^By

«6,用三角形面积公式推导》

Iy

M

*

P

4、

Z,、j

H

O

X

两点闾距离公式的推导过程中,使用降维思想构造直角三角形・受此启示，当A∙B≠O时型点‰,yj的两条直线•分别作平行于Xffl,y轴的两条直线,分轨交直线/：

Ax+By+C=O于点M（-⅛⅛Liy（JW（XOL企产）・则IMPl=Ixo+除匚|,∣NP（=∣y0+^×o*c≥∣√;MP丄NP.

□

在Rt∆⅛pi4φt由頁角三角形03面积公式得：

；-IMPhINPI=^dMN∣*dtΛd=∣PQ∣=J≡L

√ipf√∣ρ÷imp-

_IAxq+By0+C∣

√Ar+Br

«7.用向量法推导》

由旨线<的方程Ax÷By÷C=O,CAfB不能问时为0）,可得直线！

的法向虽为A=（AfBhiSiP（FM作胃线/的垂线,

垂足为Hfx,t∕hMfql≡PFf=λ∩t即（x,-x0iy-yj≈λCAFB）I所IXx,=xσ÷λAty-y=λBSIPffl=√（Γ-xDtyl^≡=∣λ∣

√S5^Br*又因为点H{x∖yl）在直线I上.所IX就有:

Ax÷Bγ'+C=Ot即A（x0÷λA）÷B（yα+λB）÷C≈Oi

λλ（A2+B7）≤-（AXO÷By0+Clr又因为A,B不同时为0,

-（AXo÷Bya÷C）

KM”~IIiι∙~~~-■

A3+B≈

λ∣PFrI=WI%V吋=∣λ∣

VA3+Br=|~ta^∕+⅛⅛⅛∣√A⅞B^gg4d=IP^l=JAx<>+BYDtCLf

1VA5碎

《8.用向量射影公式推导》

设R是亶轨上的任竜一晟设Rgy）"直线的方向叵®为斥=（-B,Ah则頁线的法向■为P^=（AJBIFFIf=（x-xφfy-Yd

■—1IA机二讪十B（Y-曲

,∣raμ∣v⅛j+bi^

IAxO÷B√r,÷C∣

VzAz+B2

原评:

向星是一押很好的工具,用向最处理，既避开了分类讨论，又体现了平面向矍的丁具性t会有出半功fg的效果。

《9.利用两条平行直线间的距离处处相等推导》

如果逛点P（XoyQ）作/：

Ax+8y+C=0的平行线:

Ax+By-Ax0-Byo=OI那么冒线ι,上≡s-αsιI的距商都等于点P到直线r迪也逼，既然可以任意取点•我们应设法使这个点到苴线I的距离容易求得.选取旨线F右其轴的交点G（ZM

®・过G作！

的垂线”垂足为H1S/与X轴相交于点F（-^0）,容易求得FG=

如譽虫「甬CI与直线的倾輻甬β相

/,tancc=±tanβ=±

t:

、ISinaI-I±

等或互补,

VTY亠：

卜=门从讦d-GHh-

VB√Af^03

IFGlISinaI=I仏⅝+肿旳|*卑-；=

A,√a⅛B≡∣A⅛⅛By⅛±Q[

√A⅛Sr

«10.从最简单最特殊的引理出发推导》

引理：

坐标原点到直线L

Ax+By+C=0的距禺h=-J里W

√∕pτBι

简证；先从原点到盲线迪距禺这-特殊情形入手•设直线I与轴分别交于点EF®!

）点EVF的坐标分别≡（-⅛,

O）JOJ-I-）*由三角形面积恒辂：

^-EF*h=

I-OE-OFSh=-Jg^

由ψ⅛aa系求出迪5p（>⅛,yja⅛/平行的宴线的方⅛rAx+Bv-Ax0-Byo=0.设直线/和厂分别与X轴交于点E、G,则

KZ=OE'

HEG

d=OE

点E（-J-ro）>G（（AX^y（JQ,由l∕∕l'W

-CL-ICl_IAXO+By0+Cj

Al√S耳歹-√AVB≡

{11.通过平移坐标系推导】

如果点P（×⅛γJ甲J*是坐标原点就好了，IIy

为此、我冊WaP（XCI［―一Vj为原点建立直第］∖f*vp＞丈坐标系WM/.井IS+快一j*

坐标轴χ∖y（W别与I!

⅛t⅛⅛≡χ,γ^τ设直线［在新坐标系中记为化设田赣G在新日坐柝系中的坐标分8!

lStχ∖∕kUfy）o则由OdOO"卡O1X?

爲（Xtyl=^ryJ+fx∖y'h∕-X=Xo+χh*v=yo+y∖-宜线t在新坐标系中的方程是:

A（x1÷xJ+B（yh+yo）÷C=O,§DAx,÷By1ψAx0+Byα+C=O.点O1到貫线F的距瞬就呈原P（XftV（J到直线f的距离・由引理功碍：

力JAXc+By5+CIL

√A⅛Bi

【12，由直线与圆的位置关系推导】

当IX点P（XφV

与胃线I口看一个交点肘*求圆的半径.

联立方程

[AX+βv÷c-°,消打

∣{χ-xj⅛（y-ydj=ra'

剜关于X的云二次方程：

A⅛β-χ2+

2（g+y0-xjx+×o+!

g-+γJa-rj≡OI令判别

式Δ*[2（g-+y<>-Xo）F'4,^qP~*[⅝÷⅜^~

+yJa-r3J≡0得：

宀辔工，卄悌評

感谢以下挚友，俺其实只是负责编辑整理了一下，证明下，感受下数学滴博大精深