24.(2012天津,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cosC=( )
A.B.-
C.±D.
解析:
由C=2B得sinC=sin2B=2sinBcosB,由正弦定理及8b=5c得cosB===,所以cosC=cos2B=2cos2B-1=2×()2-1=.
答案:
A
25.(2012新课标全国,12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acosC+asinC-b-c=0.
(1)求A;
(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.
解:
(1)由acosC+asinC-b-c=0及正弦定理得
sinAcosC+sinAsinC-sinB-sinC=0.
因为B=π-A-C,所以
sinAsinC-cosAsinC-sinC=0.
由于sinC≠0,所以sin(A-)=.
又0<A<π,故A=.
(2)△ABC的面积S=bcsinA=,故bc=4.
而a2=b2+c2-2bccosA,故b2+c2=8.
解得b=c=2.
26.(2012浙江,14分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=cosC.
(1)求tanC的值;
(2)若a=,求△ABC的面积.
解:
(1)因为0<A<π,cosA=,得sinA==.
又cosC=sinB=sin(A+C)
=sinAcosC+cosAsinC
=cosC+sinC.
所以tanC=.
(2)由tanC=,得sinC=,cosC=.
于是sinB=cosC=.
由a=及正弦定理=,得c=.
设△ABC的面积为S,则S=acsinB=.
27.(2011辽宁,5分)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=a,则=( )
A.2B.2
C.D.
解析:
由正弦定理,得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA,即sinB·(sin2A+cos2A)=sinA,所以sinB=sinA.∴==.
答案:
D
28.(2011新课标全国,5分)在△ABC中,B=60°,AC=,则AB+2BC的最大值为____.
解析:
在△ABC中,根据==,得AB=·sinC=sinC=2sinC,同理BC=2sinA,因此AB+2BC=2sinC+4sinA=2sinC+4sin(π-C)=4sinC+2cosC=2sin(C+φ)(tanφ=),因此AB+2BC的最大值为2.
答案:
2
29.(2011北京,5分)在△ABC中,若b=5,∠B=,tanA=2,则sinA=____;
a=____.
解析:
因为△ABC中,tanA=2,所以A是锐角,且=2,sin2A+cos2A=1,联立解得sinA=,再由正弦定理得=,代入数据解得a=2.
答案:
2
30.(2010辽宁,12分)(本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.
(1)求A的大小;
(2)求sinB+sinC的最大值.
解:
(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,
即a2=b2+c2+bc.
由余弦定理得cosA=,
故cosA=-,A=120°.
(2)由
(1)得:
sinB+sinC=sinB+sin(60°-B)
=cosB+sinB
=sin(60°+B).
故当B=30°时,sinB+sinC取得最大值1.
31.(2010湖南,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若∠C=120°,c=a,则( )
A.a>bB.a
C.a=bD.a与b的大小关系不能确定
解析:
法一:
由余弦定理得2a2=a2+b2-2abcos120°,b2+ab-a2=0,
即()2+-1=0,
=<1,
故b法二:
由余弦定理得2a2=a2+b2-2abcos120°,
b2+ab-a2=0,b=,
由a答案:
A
32.(2010江苏,5分)在锐角△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若+=6cosC,则+的值是________.
解析:
取a=b=1,则cosC=,
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=,
∴c=,
在如图所示的等腰三角形ABC中,
可得tanA=tanB=,
又sinC=,tanC=2,
∴+=4.
另解:
由+=6cosC得,=6·,即a2+b2=c2,
∴+=tanC(+)===4.
答案:
4