高考文科数学练习测试题第3章第7节正弦定理和余弦定理.docx

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高考文科数学练习测试题第3章第7节正弦定理和余弦定理

2010~2014年高考真题备选题库

第3章三角函数、解三角形

第7节正弦定理和余弦定理

1．（2014·课标Ⅰ，16,5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且（2＋b）（sinA－sinB）＝（c－b）sinC，则△ABC面积的最大值为________．

解析：

由正弦定理得（2＋b）（a－b）＝（c－b）c，即（a＋b）·（a－b）＝（c－b）c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝，又A∈（0，π），所以A＝，又b2＋c2－a2＝bc≥2bc－4，即bc≤4，故S△ABC＝bcsinA≤×4×＝，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，则△ABC面积的最大值为.

答案：

2．（2014·福建，12,4分）在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．

解析：

法一：

在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sinB＝1，因为B∈（0°，120°），所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝·AC·BC·sinC＝2.

法二：

在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sinB＝1，因为B∈（0°，120°），所以B＝90°，所以AB＝＝2，所以△ABC的面积S△ABC＝·AB·BC＝2.

答案：

2

3．（2014·天津，12,5）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．

解析：

由已知及正弦定理，得2b＝3c，因为b－c＝a，不妨设b＝3，c＝2，所以a＝4，所以cosA＝＝－.

答案：

－

4．（2014·江苏，14,5分）若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．

解析：

由正弦定理可得a＋b＝2c，又cosC＝＝＝≥＝，当且仅当a＝b时取等号，所以cosC的最小值是.

答案：

5．（2014·辽宁，17,12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知

·

＝2，cosB＝，b＝3.求：

（1）a和c的值；

（2）cos（B－C）的值．

解：

（1）由

·

＝2得c·acosB＝2，又cosB＝，所以ac＝6.

由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.

又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.

解，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.

因a>c，所以a＝3，c＝2.

（2）在△ABC中，sinB＝＝＝，

由正弦定理，得sinC＝sinB＝·＝.

因a＝b>c，所以C为锐角，因此cosC＝＝＝.

于是cos（B－C）＝cosBcosC＋sinBsinC＝·＋·＝.

6．（2014·湖南，18,12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝

（1）求cos∠CAD的值；

（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．

解析：

（1）如题图，在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝.

故由题设知，cos∠CAD＝＝.

（2）如题图，设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.

因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，

所以sin∠CAD＝＝＝，

sin∠BAD＝＝＝.

于是sinα＝sin（∠BAD－∠CAD）

＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD

＝×－×

＝.

在△ABC中，由正弦定理，＝.

故BC＝＝＝3.

7．（2014·课标Ⅱ，4,5分）钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝（　　）

A．5B.

C．2D．1

解析：

选B　由题意可得AB·BC·sinB＝，又AB＝1，BC＝，所以sinB＝，所以B＝45°或B＝135°.

当B＝45°时，由余弦定理可得

AC＝＝1，

此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，

与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．

所以B＝135°.由余弦定理可得

AC＝＝.

8．（2014·江西，4,5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝（a－b）2＋6，C＝，则△ABC的面积是（　　）

A．3B.

C.D．3

解析：

选C　由c2＝（a－b）2＋6可得a2＋b2－c2＝2ab－6　①.由余弦定理及C＝可得a2＋b2－c2＝ab　②.

所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6.

所以S△ABC＝absin＝×6×＝.

9．（2014·重庆，10,5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin（A－B＋C）＝sin（C－A－B）＋，面积满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（　　）

A．bc（b＋c）>8B．ab（a＋b）>16

C．6≤abc≤12D．12≤abc≤24

解析：

选A　因为A＋B＋C＝π，由sin2A＋sin（A－B＋C）＝sin（C－A－B）＋得sin2A＋sin2B＋sin2C＝，即sin[（A＋B）＋（A－B）]＋sin[（A＋B）－（A－B）]＋sin2C＝，整理得2sinCcos（A－B）＋2sinCcosC＝2sinC[cos（A－B）－cos（A＋B）]＝，整理得4sinAsinBsinC＝，即sinAsinBsinC＝.又S＝absinC＝bcsinA＝casinB，因此S3＝a2b2c2sinAsinBsinC＝a2b2c2.由1≤S≤2得1≤a2b2c2≤23，即8≤abc≤16，因此选项C，D不一定成立．又b＋c>a>0，因此bc（b＋c）>bc·a≥8，即bc（b＋c）>8，选项A一定成立．又a＋b>c>0，因此ab（a＋b）>ab·c≥8，即ab（a＋b）>8，显然不能得出ab（a＋b）>16，选项B不一定成立．综上所述，选A.

10．（2014·山东，12,5分）在△ABC中，已知

·

＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为________．

解析：

根据平面向量数量积的概念得

·

＝|

|·|

|cosA，当A＝时，根据已知可得|

|·|

|＝，故△ABC的面积为|

|·|

|·sin＝.

答案：

11．（2014·北京，15,13分）如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，

cos∠ADC＝.

（1）求sin∠BAD；

（2）求BD，AC的长．

解：

（1）在△ADC中，因为

cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.

所以sin∠BAD＝sin（∠ADC－∠B）

＝sin∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin∠B

＝×－×

＝

（2）在△ABD中，由正弦定理得

BD＝＝＝3.

在△ABC中，由余弦定理得

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠B

＝82＋52－2×8×5×

＝49.

所以AC＝7.

12．（2014·陕西，16,12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

（1）若a，b，c成等差数列，证明：

sinA＋sinC＝2sin（A＋C）；

（2）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．

解：

（1）∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.

由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.

∵sinB＝sin[π－（A＋C）]＝sin（A＋C），

∴sinA＋sinC＝2sin（A＋C）．

（2）∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.

由余弦定理得

cosB＝＝≥＝，

当且仅当a＝c时等号成立．

∴cosB的最小值为.

13．（2014·安徽，16,12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.

（1）求a的值；

（2）求sin的值．

解：

（1）因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB.

由正、余弦定理得a＝2b·.

因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.

（2）由余弦定理得

cosA＝＝＝－.

由于0

所以sinA＝＝＝.

故sin＝sinAcos＋cosAsin

＝×＋×＝.

14．（2014·浙江，18,14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB.

（1）求角C的大小；

（2）若sinA＝，求△ABC的面积．

解析：

（1）由题意得－＝sin2A－sin2B，

即sin2A－cos2A＝sin2B－cos2B，

sin＝sin.

由a≠b，得A≠B，又A＋B∈（0，π），得2A－＋2B－＝π，

即A＋B＝，

所以C＝.

（2）由c＝，sinA＝，＝，得a＝.

由a

故sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC＝，

所以，△ABC的面积为S＝acsinB＝.

15．（2014·大纲全国，17,10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC＝2ccosA，tanA＝，求B.

解析：

由题设和正弦定理得3sinAcosC＝2sinCcosA，

故3tanAcosC＝2sinC.

因为tanA＝，所以cosC＝2sinC，

tanC＝.（6分）

所以tanB＝tan[180°－（A＋C）]

＝－tan（A＋C）

＝（8分）

＝－1，

即B＝135°.（10分）

16．（2013天津，5分）在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选C　本题考查三角形中余弦定理、正弦定理的应用，意在考查考生分析问题的能力．由余弦定理可得AC2＝9＋2－2×3××＝5，所以AC＝.再由正弦定理得＝，所以sinA＝＝＝.

17．（2013湖南，5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选A　本题主要考查锐角三角形的定义、正弦定理与解三角方程，意在考查考生的转化能力与三角变换能力．由正弦定理可得，2asinB＝b可化为2sinAsinB＝sinB，又sinB≠0，所以sinA＝，又△ABC为锐角三角形，得A＝.

18．（2013陕西，5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．不确定

解析：

选B　本题考查正弦定理和两角和的正弦公式的逆用．依据题设条件的特点，由正弦定理，得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，有sin（B＋C）＝sin2A，从而sin（B＋C）＝sinA＝sin2A，解得sinA＝1，∴A＝，故选B.

19．（2013安徽，5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝________.

解析：

本题考查正弦定理和余弦定理的应用．由3sinA＝5sinB可得3a＝5b，又b＋c＝2a，所以可令a＝5t（t>0），则b＝3t，c＝7t，可得cosC＝＝＝－，故C＝.

答案：

20．（2013福建，4分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．

解析：

本题考查诱导公式、余弦定理等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力．

因为sin∠BAC＝，且AD⊥AC，

所以sin＝，所以cos∠BAD＝，在△BAD中，由余弦定理得，

BD＝

＝＝.

答案：

21．（2013浙江，4分）在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________.

解析：

本题考查正弦定理、三角函数定义、诱导公式以及利用相关定理解决与几何计算有关的问题．考查考生灵活利用公式的能力．△ABM中，由正弦定理＝＝，所以a＝，整理得（3a2－2c2）2＝0，＝，故sin∠BAC＝＝.

答案：

22．（2013新课标全国Ⅰ，12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.

（1）若PB＝，求PA；

（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA.

解：

本题主要考查两角差的正弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理等知识，意在考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力．

（1）由已知得，∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2××cos30°＝.故PA＝.

（2）设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.

在△PBA中，由正弦定理得＝，

化简得cosα＝4sinα.

所以tanα＝，即tan∠PBA＝.

23．（2013江西，12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋（cosA－sinA）cosB＝0.

（1）求角B的大小；

（2）若a＋c＝1，求b的取值范围．

解：

本题主要考查三角变换与解三角形知识，意在考查考生综合运用知识的能力．

（1）由已知得－cos（A＋B）＋cosAcosB－sinAcosB＝0，

即有sinAsinB－sinAcosB＝0，

因为sinA≠0，所以sinB－cosB＝0，又cosB≠0，所以tanB＝，又0

（2）由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB.

因为a＋c＝1，cosB＝，所以b2＝32＋.

又0

24．（2012天津，5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝（　　）

A.B．－

C．±D.

解析：

由C＝2B得sinC＝sin2B＝2sinBcosB，由正弦定理及8b＝5c得cosB＝＝＝，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×（）2－1＝.

答案：

A

25．（2012新课标全国，12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0.

（1）求A；

（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.

解：

（1）由acosC＋asinC－b－c＝0及正弦定理得

sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝0.

因为B＝π－A－C，所以

sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.

由于sinC≠0，所以sin（A－）＝.

又0＜A＜π，故A＝.

（2）△ABC的面积S＝bcsinA＝，故bc＝4.

而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.

解得b＝c＝2.

26．（2012浙江，14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝，sinB＝cosC.

（1）求tanC的值；

（2）若a＝，求△ABC的面积．

解：

（1）因为0＜A＜π，cosA＝，得sinA＝＝.

又cosC＝sinB＝sin（A＋C）

＝sinAcosC＋cosAsinC

＝cosC＋sinC.

所以tanC＝.

（2）由tanC＝，得sinC＝，cosC＝.

于是sinB＝cosC＝.

由a＝及正弦定理＝，得c＝.

设△ABC的面积为S，则S＝acsinB＝.

27．（2011辽宁，5分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝（　　）

A．2B．2

C.D.

解析：

由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB·（sin2A＋cos2A）＝sinA，所以sinB＝sinA.∴＝＝.

答案：

D

28．（2011新课标全国，5分）在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为____．

解析：

在△ABC中，根据＝＝，得AB＝·sinC＝sinC＝2sinC，同理BC＝2sinA，因此AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sinC＋4sin（π－C）＝4sinC＋2cosC＝2sin（C＋φ）（tanφ＝），因此AB＋2BC的最大值为2.

答案：

2

29．（2011北京，5分）在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则sinA＝____；

a＝____.

解析：

因为△ABC中，tanA＝2，所以A是锐角，且＝2，sin2A＋cos2A＝1，联立解得sinA＝，再由正弦定理得＝，代入数据解得a＝2.

答案：

　2

30．（2010辽宁，12分）（本小题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b＋c）sinB＋（2c＋b）sinC.

（1）求A的大小；

（2）求sinB＋sinC的最大值．

解：

（1）由已知，根据正弦定理得2a2＝（2b＋c）b＋（2c＋b）c，

即a2＝b2＋c2＋bc.

由余弦定理得cosA＝，

故cosA＝－，A＝120°.

（2）由

（1）得：

sinB＋sinC＝sinB＋sin（60°－B）

＝cosB＋sinB

＝sin（60°＋B）．

故当B＝30°时，sinB＋sinC取得最大值1.

31．（2010湖南，5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝a，则（　　）

A．a>bB．a

C．a＝bD．a与b的大小关系不能确定

解析：

法一：

由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，b2＋ab－a2＝0，

即（）2＋－1＝0，

＝<1，

故b

法二：

由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，

b2＋ab－a2＝0，b＝，

由a

答案：

A

32．（2010江苏，5分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋＝6cosC，则＋的值是________．

解析：

取a＝b＝1，则cosC＝，

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝，

∴c＝，

在如图所示的等腰三角形ABC中，

可得tanA＝tanB＝，

又sinC＝，tanC＝2，

∴＋＝4.

另解：

由＋＝6cosC得，＝6·，即a2＋b2＝c2，

∴＋＝tanC（＋）＝＝＝4.

答案：

4