直线的交点坐标和距离公式.docx
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直线的交点坐标和距离公式
第二节直线的交点坐标与距离公式
[备考方向要明了]
考什么
怎么考
1.能用解方程组的方法求两
1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，
常作为知识点出
条相交直线的交点坐标．
现在相关的位置关系中．
2.掌握两点间的距离公式、点
2.两点间距离公式是解析几何的一个基本知识点，
点到直线的
到直线的距离公式、会求两
距离公式是高考考查的重点，一般将这两个知识点结合直线与
条平行直线间的距离.
圆或圆锥曲线的问题中来考查.
[归纳·知识整合]
1．两条直线的交点
设两条直线的方程为l1：
A1x＋B1y＋C1＝0，l2：
A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的交点
坐标就是方程组
A1x＋B1y＋C1＝0，
的解，
A2x＋B2y＋C2＝0
（1）若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；
（2）若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立．
[探究]1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？
提示：
当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个
交点时，两条直线重合．
2．距离
点P1（x1，y1），
P2（x2，y2）之间的距离
|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12
点P0（x0，y0）到直线l：
Ax＋By＋C＝0的距
|Ax0＋By0＋C|
离
A2＋B2
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2
|C1－C2|
d＝
＝0间的距离
A2＋B2
[探究]2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？
提示：
使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离
公式时，要将两直线方程化为一般式且x、y的系数对应相等．
[自测·牛刀小试]
1．（教材习题改编）原点到直线x＋2y－5＝0的距离是（）
A．1B.3
C．2D.5
2．点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是（3,4），则AB的长为（）
B．5
D．6
A．10
C．8
解析：
选A设A（a,0），B（0，b），则a＝6，b＝8，即A（6,0），B（0,8）．所以|AB|＝
6－02＋0－82＝36＋64＝10.
3．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝（）
1
A．－1
B．
－2
1
C．2
D.
2
2x＋3y＋8＝0，
x＝－
1，
解析：
选
B由
得
x－y－1＝0，
y＝－
2，
1
将其代入
x＋by＝0，得b＝－.
2
4．已知直线l1与l2：
x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是2，则直线l1的方程为
解析：
设直线l1的方程为x＋y＋λ＝0，则
＋y－3＝0.
答案：
x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
5．点（2,3）关于直线x＋y＋1＝0的对称点是
解析：
设对称点为（a，b），则
a－21
b－3
a＝－4，解得
b＝－3.
答案：
（－4，－3）
两条直线的交点问题
[例1]
（1）经过直线l1：
x＋y＋1＝0与直线l2：
x－y＋3＝0的交点P，且与直线l3：
2x
－y＋2＝0垂直的直线l的方程是
（2）已知两直线l1：
mx＋8y＋n＝0与l2：
2x＋my－1＝0，若l1与l2相交，则实数m，n
满足的条件是
x＋y＋1＝0，[自主解答]
（1）法一：
由方程组
x－y＋3＝0，
x＝－2，
解得即点P（－2,1），
y＝1，
1
∵l3⊥l，∴k＝－2，
1
∴直线l的方程为y－1＝－（x＋2），即x＋2y＝0.
2
法二：
∵直线l过直线l1和l2的交点，
∴可设直线l的方程为x＋y＋1＋λ（x－y＋3）＝0，
即（1＋λ）x＋（1－λ）y＋1＋3λ＝0.
1∵l与l3垂直，∴2（1＋λ）－（1－λ）＝0，解得λ＝－.
3
24
∴直线l的方程为3x＋3y＝0，即x＋2y＝0.
n1
（2）因为两直线l1与l2相交，所以当m＝0时，l1的方程为y＝－，l2的方程为x＝
82
两直线相交，此时m，n满足条件m＝0，n∈R；
当m≠0时，由两直线相交．
m8
所以≠，解得m≠±4，此时，m，n满足条件m≠±4，n∈R.2m
[答案]
（1）x＋2y＝0
（2）m≠±4，n∈R
若将本例
（1）中条件“垂直”改为“平行”，试求l的方程．
x＋y＋1＝0，x＝－2，
解：
由方程组解得
x－y＋3＝0，y＝1，
即点P（－2，1）．
又l∥l3，即k＝2，故直线l的方程为y－1＝2（x＋2），
即2x－y＋5＝0.
———————————————————经过两条直线交点的直线方程的设法
经过两相交直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（这个直线系方程中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0）或m（A1x＋B1y＋C1）＋n（A2x＋B2y＋C2）＝0.
1．设直线l1：
y＝k1x＋1，l2：
y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
（1）证明l1与l2相交；
（2）证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
证明：
（1）反证法：
假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，则有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0得k21＝k22＝－2，显然不成立，与已知矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．
y＝k1x＋1，
（2）由方程组
y＝k2x－1，
解得交点P的坐标为，，k2－k1k2－k1
8＋k2＋k12＋2k1k2k2＋k12－2k1k2
k12＋k22＋4
＝＝1，
k12＋k22＋4
即交点P（x，y）在椭圆2x2＋y2＝1上．
距离公式的应用
[例2]已知点P（2，－1）．
（1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
（2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过P点且与原点距离为6的直线？
若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
[自主解答]
（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，－1），可见，过P（2，－1）且垂直于x轴的直线满足条件，
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k（x－2），
即kx－y－2k－1＝0.
|－2k－1|3
由已知得＝2，解得k＝.
k2＋14
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
（2）作图可得过P点与原点O的距离最大的直线是过P点且与PO垂
1
所以kl＝－＝2.
kOP
|－5|
5＝5.
由直线方程的点斜式得y＋1＝2（x－2），即2x－y－5＝0.
即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为
（3）由
（2）可知，过P点不存在到原点距离超过5的直线，
因此不存在过P点且到原点距离为6的直线．
———————————————————
求两条平行线间距离的两种思路
（1）利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的
距离．
（2）利用两平行线间的距离公式．
2．已知A（4，－3），B（2，－1）和直线l：
4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使
|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.
解：
设点P的坐标为（a，b）．∵A（4，－3），B（2，－1），
－3＋1∴线段AB的中点M的坐标为（3，－2）．而AB的斜率kAB＝＝－1，
4－2
∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.
∵点P（a，b）在上述直线上，
∴a－b－5＝0.①
又点P（a，b）到直线l：
4x＋3y－2＝0的距离为2，
即4a＋3b－2＝±10，②
27
对称问题
[例3]已知直线l：
2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2）．求：
（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；
（2）直线m：
3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
[自主解答]
（1）设A′（x，y），再由已知
33
4
故A′
13
13
（2）在直线m上取一点，如M（2,0），则M（2,0）关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′（a，b），则
＋1＝0
b－02
a－2×3＝－1，
630
13，13.
设直线m与直线l的交点为N，则
2x－3y＋1＝0，由
3x－2y－6＝0，
得N（4,3）．
又∵m′经过点N（4,3），
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
———————————————————
求点关于直线对称问题的基本方法
（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；
（2）已知点与对称点的中点在对称轴上．
利用以上两点建立方程组可求点关于直线的对称问题．
3．直线y＝2x是△ABC的一个内角平分线所在的直线，若点A（－4,2），B（3,1），求点
C的坐标．
解：
把A，B两点的坐标代入y＝2x知，A，B不在直线y＝2x上，因此y＝2x为∠ACB
b－2
的平分线，设点A（－4,2）关于y＝2x的对称点为A′（a，b），则kAA′＝，线段AA′的
a＋4
y＋2
1＋2
直线
b＋2
＝2·
2
a＝4，
解得∴A′（4，－2）．
b＝－2，
∵y＝2x是∠ACB平分线所在直线的方程，∴A′在直线BC上，∴直线BC的方程为
x－4，即3x＋y－10＝0.
3－4
y＝2x，x＝2，
由解得∴C（2,4）．
3x＋y－10＝0，y＝4，
分别相等.
创新交汇——新定义下的直线方程问题
1．直线方程是高考的常考内容，但一般不单独考查，常与圆、圆锥曲线、函数与导数、三角函数等内容相结合，以交汇创新的形式出现在高考中．
2．解决新定义下的直线方程的问题，难点是对新定义的理解和运用，关键是要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中．
［典例］（2013·上海模拟）在平面直角坐标系中，设点P（x，y），定义［OP］＝|x|＋|y|，
其中O为坐标原点．
对于以下结论：
①符合［OP］＝1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；
②设P为直线5x＋2y－2＝0上任意一点，则［OP］的最小值为1；
其中正确的结论有（填上你认为正确的所有结论的序号）．
［解析］①由［OP］＝1，根据新定义得，|x|＋|y|＝1，上式可化为y＝－x＋1（0≤x≤1），y＝－x－1（－1≤x≤0），y＝x＋1（－1≤x≤0），y＝x－1（0≤x≤1），画出图象如图所示．根据图形得到四边形ABCD为
边长是2的正方形，所以面积等于2，故①正确；
2
0时，［OP］＝|x|＋|y|＝＋0<1，所以［OP］的最小值不为
5
错误；所以正确结论有①
［答案］①
［名师点评］
1．本题有以下创新点
（1）考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙地结合创新．
（2）考查新定义、新概念的理解和运用的同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散思维，思维方向与思维习惯有所不同．
2．解决本题的关键有以下两点
（1）根据新定义，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；
（2）认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP]的最小值为1是假命题．
3．在解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点
（1）充分理解概念、定理的内涵与外延；
（2）对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；（3）注意新概
念、新结论的正用会怎样，逆用会怎样，变形用又将会如何．
[变式训练]
1四边形OABC的四个顶点坐标分别为O（0,0），A（6,2），B（4,6），C（2,6），直线y＝kx3
3
把四边形OABC分成两部分，S表示靠近x轴一侧那部分的面积．
（1）求S＝f（k）的函数表达式；
（2）当k为何值时，直线y＝kx将四边形OABC分为面积相等的两部分．
3解：
（1）如图所示，由题意得kOB＝.
13
①当2x＋y＝14相交，
y＝kx，
由
2x＋y＝14，
143k－11
因为点P1到直线OA：
x－3y＝0的距离为d＝，所以S＝|OA|·d＝
10k＋2
143k－1
k＋2
3
②当≤k<3时，直线y＝kx与线段BC：
y＝6相交于点P2，6，2k
163－k所以S△OP2C＝2|P2C|·6＝k
又因为S四边形OABC＝S△AOB＋S△OBC＝14＋6＝20，
18所以S＝S四边形OABC－S△OP2C＝26－2k
143k－1
13
32，
（2）若要直线y＝kx平分四边形OABC的面积，由
（1），知只需
143k－1
k＋2
＝10，解得
17k＝.
16
3
B.
2
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1．点（1，－1）到直线x－y＋1＝0的距离是（）
1A.
2
2．（2013·海口模拟）直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点（－1,1）且与y轴交于点P，
则P点坐标为（）
A．（3,0）B．（－3,0）
C．（0，－3）D．（0,3）
解析：
选D由题意知，直线l2的方程为y－1＝2（x＋1），
令x＝0，得y＝3，即点P的坐标为（0,3）．
3．（2013·南昌模拟）P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为2，则P点坐标为（）
A．（1,2）B．（2,1）
C．（1,2）或（2，－1）D．（2,1）或（－1,2）
解析：
选C设P（x,5－3x），
|x－5＋3x－1|则d＝＝2，|4x－6|＝2,4x－6＝±2，
12＋－12
即x＝1或x＝2，故P（1,2）或（2，－1）．
4．（2013·南京调研）与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为（）
A．3x＋4y＋5＝0B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0D．－3x＋4y＋5＝0
解析：
选A与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4（－y）＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.
5.直线l通过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且点（5,1）到l的距离为10.则l的方程是（）
7x＋5y－24＝0，
解析：
选C
由得交点（2,2），x－y＝0，
设l的方程为y－2＝k（x－2），即kx－y＋2－2k＝0，
∴l的方程为3x－y－4＝0.
|x||y|
6．曲线－＝1与直线y＝2x＋m有两个交点，则m的取值范围是（）23
B．－4D．－3A．m>4或m<－4
C．m>3或m<－3
解析：
选A曲线|x|－|y|＝1的草图如图所示．与直线y＝2x＋m有两个交点．则m>4
23
或m<－4.
、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
1
答案：
2
|c＋2|
12＋－12，
8．与直线x－y－2＝0平行，且它们的距离为22的直线方程是
解析：
设与直线x－y－2＝0平行的直线方程为x－y＋c＝0，则22＝
得c＝2或c＝－6，即所求直线方程为x－y＋2＝0或x－y－6＝0.
答案：
x－y＋2＝0或x－y－6＝0
9．平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分
为六部分，则实数k的所有取值为（将你认为所有正确的序号都填上）．
1
①0②③1④2⑤3
2
解析：
三条直线将平面分为6部分，则这三条直线相交于一点或有且只有两条平行，经验证可知，当k＝0,1,2时均符合题意．
答案：
①③④
三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
10．过点P（0,1）作直线l使它被直线l1：
2x＋y－8＝0和l2：
x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
解：
设l1与l的交点为A（a,8－2a），
则由题意知，点A关于点P的对称点B（－a,2a－6）在l2上，
代入l2的方程得－a－3（2a－6）＋10＝0，
解得a＝4，即点A（4,0）在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
11．光线从A（－4，－2）点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D（－1,6），求BC所在的直线方程．
射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.
y－6x－1
故BC所在的直线方程为＝，即10x－3y＋8＝0.
6＋41＋2
12．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P，
（1）点A（5,0）到l的距离为3，求l的方程；
（2）求点A（5,0）到l的距离的最大值．
解：
（1）∵经过两已知直线交点的直线系方程为
（2x＋y－5）＋λ（x－2y）＝0，即（2＋λ）x＋（1－2λ）y－5＝0，
|10＋5λ－5|1
∴＝3，解得λ＝2或λ＝.
2＋λ2＋1－2λ22
∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
设d为点A到l的距离，
则d≤|PA|（当l⊥PA时等号成立）．
∴dmax＝|PA|＝10.
1．记直线（m＋2）x＋3my＋1＝0与直线（m－2）x＋（m＋2）y－3＝0相互垂直时m的取
值集合为M，直线x＋ny＋3＝0与直线nx＋4y＋6＝0平行时n的取值集合为N，则M∪N
解析：
当直线（m＋2）x＋3my＋1＝0与直线（m－2）x＋（m＋2）y－3＝0相互垂直时，m
1
满足（m＋2）（m－2）＋3m（m＋2）＝0，解得m＝或m＝－2，
故M＝－2，
直线x＋ny＋3＝0与直线nx＋4y＋6＝0平行，当n＝0时，显然两直线不平行；当n≠0
时，两直线平行的充要条件是
1n3
＝≠，即n＝－2，所以N＝｛－2｝．n46
1
故M∪N＝－2，.
1答案：
－2，
2
2．已知A（3,1）、B（－1,2），若∠ACB的平分线在y＝x＋1上，则AC所在直线方程是
解析：
设点A关于直线y＝x＋1对称的点A′为（x0，y0），
y0－1
－3＝－1，
x0－3
则
y0＋1x0＋3＝＋1，
2
x0＝0，
解得即A′（0,4）．
y0＝4，
故直线A′B的方程为2x－y＋4＝0.
2x－y＋4＝0，由
y＝x＋1，
x＝－3，得
y＝－2，
即C（－3，－2）．
故直线AC的方程为x－2y－1＝0.
答案：
x－2y－1＝0
3．已知直线l过点P（3,1）且被两平行线l1：
x＋y＋1＝0，l2：
x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．
解：
法一：
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2的交点分别是A（3，－4），B（3，－9），截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k（x－3）＋1，
分别与直线l1，l2的方程联立，
由两点间的距离公式，得
解得k＝0，即所求直线方程为y＝1.
综上可知，直线l的方程为x＝3或y＝1.
法二：
设直线l与l1，l2分别相交于A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0.
两式相减，得（x1－x2）＋（y1－y2）＝5.①
x1－x2＝0，或
y1－y2＝5，
又（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝25，②
x1－x2＝5，
联立①②可得
y1－y2＝0，
由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90
故所求的直线方程为x＝3或y＝1.
法三：
因为两平行线间的距离
如图，直线l被两平行线截得的线段为5，
设直线l与两平行线的夹为角θ，则sinθ＝
所以θ＝45°.
因为两平行线的斜率是－1，
故所求直线的斜率不存在或为零．
又因为直线l过点D（3,1），
所以直线l的方程为x＝3或y＝1.
4．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A（1,3）到直线l的距离为2，求直线l
的方程．
解：
（1）当直线l在两坐标轴上的截距不为零时，可设方
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