直线的交点坐标和距离公式.docx

1、直线的交点坐标和距离公式第二节 直线的交点坐标与距离公式 备考方向要明了 考什么怎么考1.能用解方程组的方法求两1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，常作为知识点出条相交直线的交点坐标现在相关的位置关系中2. 掌握两点间的距离公式、 点2.两点间距离公式是解析几何的一个基本知识点，点到直线的到直线的距离公式、会求两距离公式是高考考查的重点， 一般将这两个知识点结合直线与条平行直线间的距离 .圆或圆锥曲线的问题中来考查 .归纳 知识整合 1两条直线的交点设两条直线的方程为 l1：A1x B1y C1 0，l2：A2xB2yC20，则两条直线的交点坐标就是方程组A1xB1yC10，的解，A2x

2、B2y C20(1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立探究 1. 如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个交点时，两条直线重合2距离点 P1(x1， y1)，P2(x2， y2)之间的距离|P1P2| x2 x1 2 y2y1 2点 P0(x0，y0)到直线 l： Ax ByC0 的距|Ax0 By0 C|离A2B2两条平行线 Ax ByC10 与 AxByC2|C1C2|d 0 间的距离A2B2探究 2.使用点到直线的距离公式和

3、两条平行线间的距离公式时应注意什么？提示： 使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式 使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且 x、 y 的系数对应相等自测 牛刀小试 1 (教材习题改编 )原点到直线 x 2y5 0 的距离是 ( )A 1 B. 3C 2 D. 52点A在x轴上，点B在y轴上，线段 AB的中点 M的坐标是 (3,4) ，则AB的长为 ( )B5D6A10C8解析：选 A 设 A(a,0)，B(0，b)，则 a6，b8，即 A(6,0) ，B(0,8) 所以 |AB|60 2 08 2 36 64 10.3若三条直线 2x 3y80，xy10 和 xby0

4、 相交于一点，则 b( )1A 1B21C2D.22x3y8 0，x1，解析：选B 由得xy10，y2，1将其代入xby 0，得 b .24已知直线 l1与 l2：xy10平行，且 l1与 l2的距离是 2，则直线 l1的方程为解析：设直线 l1 的方程为 x y 0，则y30.答案： xy 10 或 xy305点 （2,3）关于直线 xy10 的对称点是 解析：设对称点为 （a， b），则a 2 1b3a 4， 解得b 3.答案： （ 4， 3）两条直线的交点问题例 1 （1） 经过直线 l1：xy10 与直线 l2：xy 30 的交点 P，且与直线 l3：2xy 20 垂直的直线 l 的方

5、程是 （2）已知两直线 l1：mx8yn0 与 l2：2xmy10，若 l1与 l2相交，则实数 m，n满足的条件是 xy10， 自主解答 （1） 法一：由方程组xy30，x 2 ，解得 即点 P（2,1） ，y1，1l3l，k 2，1直线 l 的方程为 y1 （x2），即 x2y0.2法二：直线 l 过直线 l1和 l2 的交点，可设直线 l 的方程为 x y1（xy3）0，即（1）x（1）y 130.1 l 与 l3 垂直，2（1 ）（1） 0，解得 .324直线l的方程为 3x3y0，即 x2y0.n1 （2）因为两直线 l1 与 l2 相交，所以当 m0 时，l1 的方程为 y ， l

6、2的方程为 x82两直线相交，此时 m，n 满足条件 m0，nR；当 m 0 时，由两直线相交m8所以 ，解得 m 4，此时， m，n 满足条件 m 4，nR. 2m答案 (1)x 2y0 (2)m 4， nR若将本例 (1)中条件 “垂直”改为“平行”，试求 l 的方程xy 10， x 2，解：由方程组 解得xy 30， y1，即点 P( 2，1)又 ll3，即 k 2，故直线 l 的方程为 y1 2(x2)，即 2x y 50. 经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线 A1xB1yC10 和 A2x B2yC20 的交点的直线系方程为 A1x B1yC1 (A2xB2yC2) 0(

7、这个直线系方程中不包括直线 A2x B2y C2 0)或 m(A1x B1yC1)n(A2xB2yC2) 0.1设直线 l1 ： y k1x 1 ，l2 ： y k2 x1 ，其中实数 k1，k2 满足 k1k220.(1)证明 l1与 l2相交；(2)证明 l1与 l2的交点在椭圆 2x2y21 上证明： (1)反证法：假设 l1 与 l2不相交，则 l1与 l 2平行，则有 k1k2，代入 k1k220 得 k21k22 2，显然不成立，与已知矛盾，从而 k1k2，即 l1 与 l2相交yk1x1，(2)由方程组yk2x1，解得交点 P 的坐标为 ， ， k2k1 k2 k18 k2 k1

8、2 2k1k2 k2k122k1k2k12k224 1，k12k224即交点 P（x，y）在椭圆 2 x2 y2 1 上距离公式的应用例 2 已知点 P（2， 1）（1）求过 P点且与原点距离为 2 的直线 l的方程；（2）求过 P点且与原点距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？（3） 是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明 理由自主解答 （1）过 P点的直线 l与原点距离为 2，而 P点坐标为 （2，1），可见， 过 P（2 ， 1） 且垂直于 x 轴的直线满足条件，此时 l 的斜率不存在，其方程为 x 2.若斜率存在，设 l 的方程为 y1k

9、（x 2），即 kx y2k10.| 2k1| 3由已知得 2，解得 k .k2 1 4此时 l 的方程为 3x4y10 0.综上，可得直线 l 的方程为 x2 或 3x4y10 0.（2）作图可得过 P点与原点 O的距离最大的直线是过 P 点且与 PO垂1所以 kl 2.kOP|5|5 5.由直线方程的点斜式得 y 12（x2）， 即 2x y 50.即直线 2xy50 是过 P点且与原点 O 距离最大的直线，最大距离为（3）由（2）可知，过 P 点不存在到原点距离超过 5的直线，因此不存在过 P 点且到原点距离为 6 的直线 求两条平行线间距离的两种思路（1）利用“化归 ”法将两条平行线间

10、的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离（2）利用两平行线间的距离公式2已知 A（4， 3），B（2， 1）和直线 l：4x3y20，在坐标平面内求一点 P，使|PA|PB|，且点 P到直线 l 的距离为 2.解：设点 P 的坐标为 （a，b）A（4， 3），B（2， 1）， 3 1 线段AB 的中点 M的坐标为 （3 ， 2） 而 AB 的斜率 kAB 1，42线段 AB 的垂直平分线方程为 y2 x3，即 xy5 0.点P（a， b）在上述直线上，ab50.又点 P (a， b )到直线 l：4x3y20 的距离为 2，即 4a3b2 10，27对 称 问 题例 3 已知直线 l：

11、2x3y10，点 A(1， 2)求：(1)点 A 关于直线 l 的对称点 A 的坐标；(2)直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程 自主解答 (1)设 A (x， y)，再由已知334故 A 1313(2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0) ，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M必在直线 m上设对称点 M (a，b)，则10b 0 2a231，6 3013， 13 .设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则2x3y10， 由3x2y60，得 N(4,3) 又m 经过点 N(4,3) ，由两点式得直线 m 的方程为 9x46y102 0. 求点关于直线对称问题的基本

12、方法(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直；(2)已知点与对称点的中点在对称轴上利用以上两点建立方程组可求点关于直线的对称问题3直线 y2x 是ABC 的一个内角平分线所在的直线，若点 A(4,2) ， B(3,1) ，求点C 的坐标解：把A，B 两点的坐标代入 y2x知， A，B不在直线 y2x上，因此 y 2 x为ACBb2的平分线，设点 A( 4,2)关于 y2x的对称点为 A(a，b)，则 kAA ，线段 AA的a4y212直线b222a4，解得 A(4， 2)b2，y 2x是ACB 平分线所在直线的方程， A在直线 BC上，直线BC 的方程为x4 ，即 3xy 100.34y2x，

13、x 2，由 解得 C(2,4) 3xy100， y 4，分别相等 .创新交汇 新定义下的直线方程问题1直线方程是高考的常考内容，但一般不单独考查，常与圆、圆锥曲线、函数与导数、 三角函数等内容相结合，以交汇创新的形式出现在高考中2解决新定义下的直线方程的问题，难点是对新定义的理解和运用，关键是要分析新 定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中典例 （2013 上海模拟 ）在平面直角坐标系中，设点 P（x， y），定义 OP|x|y|，其中 O 为坐标原点对于以下结论：符合 OP 1 的点 P的轨迹围成的图形的面积为 2；设 P 为直线 5x2y20 上任意一点

14、，则 OP的最小值为 1；其中正确的结论有 （填上你认为正确的所有结论的序号 ）解析 由 OP 1 ，根据新定义得， |x|y|1，上式可化为 y x1（0x1），yx 1（1x0），yx1（1x0），y x1（0 x1），画出图象如图所示根据图形得到四边形 ABCD 为边长是 2的正方形，所以面积等于 2，故正确；20 时， OP|x|y| 01 ，所以 OP的最小值不为5错误；所以正确结论有答案 名师点评 1本题有以下创新点(1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙地结合创新(2)考查新定义、新概念的理解和运用的同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散 思维，思维方向与思维习惯有所

15、不同2解决本题的关键有以下两点(1)根据新定义，讨论 x的取值，得到 y 与 x的分段函数关系式，画出分段函数的图象， 即可求出该图形的面积；(2)认真观察直线方程，可举一个反例，得到 OP的最小值为 1 是假命题3在解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点 (1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2) 对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值； (3) 注意新概念、新结论的正用会怎样，逆用会怎样，变形用又将会如何变式训练 1 四边形 OABC 的四个顶点坐标分别为 O(0,0) ，A(6,2) ，B(4,6) ，C(2,6) ，直线 ykx k333把四边形 OAB

16、C 分成两部分， S 表示靠近 x轴一侧那部分的面积(1) 求 Sf(k)的函数表达式；(2)当 k 为何值时，直线 y kx 将四边形 OABC 分为面积相等的两部分3 解： (1) 如图所示，由题意得 kOB .13当 k 时，直线 ykx 与线段 AB： 2xy 14 相交，ykx，由2xy14，14 3k 1 1因为点 P1 到直线 OA：x 3y 0 的距离为 d ，所以 S |OA|d10k 2 14 3k1k23当 k3 时，直线 ykx 与线段 BC： y6 相交于点 P2 ， 6 ， 2k1 6 3 k 所以 SOP2C2|P2C|6 k又因为 S 四边形 OABCSAOBS

17、OBC14620 ，18 所以 SS 四边形 OABCSOP2C26 2k14 3k 113k ，3 2 ，(2)若要直线 y kx平分四边形 OABC 的面积，由 (1) ，知只需14 3k 1k2 10 ，解得17 k .163B.2一、选择题 (本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1点(1， 1)到直线 xy10的距离是 ( )1 A.22(2013海口模拟 )直线 l1的斜率为 2，l1l2，直线 l2过点(1,1)且与 y轴交于点 P，则 P 点坐标为 ( )A(3,0) B (3,0)C(0， 3) D (0,3)解析：选 D 由题意知，直线 l2 的方程为 y12(

18、x1)，令 x0，得 y 3，即点 P 的坐标为 (0,3) 3(2013南昌模拟 )P 点在直线 3xy50上，且 P到直线 xy10的距离为 2 ，则 P 点坐标为 ( )A(1,2) B (2,1)C(1,2) 或(2， 1) D(2,1) 或(1,2)解析：选 C 设 P(x,5 3x)，|x 53x 1| 则 d 2，|4x 6|2,4x62，12 1 2即 x1 或 x2，故 P(1,2) 或(2 ， 1) 4 (2013 南京调研 )与直线 3x4y50 关于 x轴对称的直线方程为 ( )A3x4y50 B 3x4y50C 3x4y50 D 3x4y50解析：选 A 与直线 3x

19、4y50 关于 x 轴对称的直线方程是 3x 4(y)50，即 3x 4y 50.5.直线 l通过两直线 7 x 5y 24 0 和 xy0的交点，且点 (5,1)到 l的距离为 10. 则 l 的方程是 ( )7x 5y240，解析：选 C由 得交点 (2,2) ， xy0，设 l 的方程为 y2k(x 2)，即 kxy22k0，l 的方程为 3xy4 0.|x| |y|6曲线 1与直线 y2xm 有两个交点，则 m的取值范围是 ( ) 23B 4m4D 3m4 或 m3 或 m423或 m 4.、填空题 (本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)1答案：2|c2|12 1 2，8

20、与直线 xy20 平行，且它们的距离为 2 2的直线方程是解析：设与直线 x y20 平行的直线方程为 x yc0，则 2 2得 c 2 或 c 6，即所求直线方程为 x y 20 或 xy6 0.答案： xy 20 或 xy609平面上三条直线 x 2y1 0，x1 0，x ky0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数 k 的所有取值为 （将你认为所有正确的序号都填上 ）1 0 1 2 32解析：三条直线将平面分为 6 部分，则这三条直线相交于一点或有且只有两条平行， 经验证可知，当 k0,1,2 时均符合题意答案：三、解答题 （本大题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分 ）10

21、过点 P（0,1）作直线 l使它被直线 l1：2xy80和 l2：x3y100截得的线段 被点 P 平分，求直线 l 的方程解：设 l1与 l 的交点为 A（a,82a），则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B（a,2a6）在 l2 上，代入 l2 的方程得 a 3（2a6）100，解得 a4，即点 A（4,0）在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 x 4y40.11光线从 A（4，2）点射出， 到直线 yx上的 B点后被直线 yx 反射到 y轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光线恰好过点 D（1,6） ，求 BC 所在的直线方程射角等于反射角可得 AD 所在直线经过点 B 与

22、 C.y 6 x 1故 BC 所在的直线方程为 ，即 10x3y 80.6 4 1212已知直线 l 经过直线 2xy50 与 x2y0 的交点 P，（1）点A（5,0）到l的距离为 3，求 l的方程；（2） 求点 A（5,0） 到 l 的距离的最大值解： （1）经过两已知直线交点的直线系方程为（2xy5）（x2y）0，即 （2）x（12）y50，|10 55| 1 3 ，解得 2 或 .2 2 12 2 2l 的方程为 x 2 或 4x3y5 0.设 d 为点 A 到 l 的距离，则 d|PA|（当 lPA 时等号成立 ）dmax |PA| 10.1记直线 （m 2）x3my10 与直线 （

23、m2）x （m 2）y 30 相互垂直时 m 的取值集合为 M，直线 x ny30 与直线 nx4y6 0 平行时 n 的取值集合为 N，则 MN解析：当直线 （m2）x3my10 与直线 （m2）x（m2）y3 0 相互垂直时， m1满足 （m2）（m2） 3m（m 2）0，解得 m 或 m 2，故 M 2 ，直线 x ny 3 0 与直线 nx4y 60 平行，当 n 0 时，显然两直线不平行； 当 n 0时，两直线平行的充要条件是1n3 ，即 n 2，所以 N2 n461故 MN 2， .1 答案： 2，22已知 A（3,1） 、 B（ 1,2） ，若ACB 的平分线在 yx1 上，则

24、AC 所在直线方程是解析：设点 A 关于直线 y x1 对称的点 A为 （x0， y0），y0131，x03则y01 x0 3 1，2x00，解得 即 A（0,4） y04，故直线 A B 的方程为 2xy4 0.2xy40， 由yx1，x3， 得y2，即 C（3， 2）故直线 AC 的方程为 x 2y10.答案： x2y1 03已知直线 l 过点 P（3,1）且被两平行线 l1：xy10，l2：xy60 截得的线段 长为 5，求直线 l 的方程解：法一：若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x 3， 此时与 l1，l2的交点分别是 A（3，4），B（3， 9）， 截得的线段长 |A

25、B| |4 9| 5，符合题意当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk（x 3） 1，分别与直线 l1，l2 的方程联立，由两点间的距离公式，得解得 k 0 ，即所求直线方程为 y 1.综上可知，直线 l 的方程为 x 3 或 y 1.法二：设直线 l 与 l1，l2 分别相交于 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1y1 10， x2y260.两式相减，得 （x1x2）（y1y2） 5.x1x2 0， 或y1y2 5，又（x1x2）2（y1y2）225 ，x1x25，联立可得y1y20，由上可知，直线 l 的倾斜角分别为 0 和 90故所求的直线方程为 x 3 或 y 1.法三：因为两平行线间的距离如图，直线 l 被两平行线截得的线段为 5，设直线 l 与两平行线的夹为角 ，则 sin 所以 45 .因为两平行线的斜率是 1 ，故所求直线的斜率不存在或为零又因为直线 l 过点 D(3,1) ，所以直线 l 的方程为 x 3 或 y1.4已知直线 l 在两坐标轴上的截距相等，且点 A(1,3) 到直线 l 的距离为 2，求直线 l的方程解： (1)当直线 l 在两坐标轴上的截距不为零时，可设方