圆锥曲线题型归类总结.docx

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圆锥曲线题型归类总结

高考圆锥曲线的常见题型

题型一：

定义的应用

1、圆锥曲线的定义：

（1）椭圆

（2）椭圆

（3）椭圆

2、定义的应用

（1）寻找符合条件的等量关系

（2）等价转换，数形结合

3、定义的适用条件：

典型例题

例1、动圆M与圆C1:

（x+1）2+y2=36内切,与圆C2:

（x-1）2+y2=4

外切,求圆心M的轨迹方程。

例2、方程；„二；-表示的曲线是

题型二：

圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）:

1、椭圆：

由；-J〔分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

2、双曲线：

由；】，「】项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

3、抛物线：

焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口

方向。

典型例题

22

例1、已知方程厶+丄=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的m-12-m

取值范围是

22

例2、例翰k为何值时,方程壮-土"的曲线:

（1）是椭圆；

⑵是双曲线.

题型三：

圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点

所构成的三角形）问题

1、椭圆焦点三角形面积S=b2tan二；双曲线焦点三角形面积

2

S=b2cot-

2

2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解

3、mn,m-n,mn,m2•n2四者的关系在圆锥曲线中的应用；

典型例题

a

zFPF-:

'求证：

△F1PF2的面积为b2ta肓。

例2、已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且-■"，：

「莎-j，'-'.求该双曲线的标准方程

题型四：

圆锥曲线中离心率，渐近线的求法

1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；

2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；

3、注重数形结合思想不等式解法

典型例题

22

例1、已知Fi、F2是双曲线务-每"（a0,b0）的两焦点，以

ab

线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MFi的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

A.423B.,3-1C.D.

V3+1

2

k.

y

22

例2、双曲线笃二爲=1（a>0,b>0）的两个焦点为F1、F2,若P为ab

其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为

A.（1,3）B.1,3C.（3,+-）D.1.3,-

22

例3、椭圆G:

冷爲=1（ab■0）的两焦点为Fi（—c,0）,F2（c,0），椭圆上存ab

在

点M使FMFM=0.求椭圆离心率e的取值范围；

22

例4、已知双曲线笃-爲=1（a0,b0）的右焦点为F，若过点F且倾斜ab

角为60的直线

与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围

是

（A）（1,2]（B）（1,2）（C）[2,：

：

）（D）（2,：

：

）

题型五：

点、直线与圆锥的位置关系判断

1、点与椭圆的位置关系

22

点在椭圆内二务-V：

1

ab

22

点在椭圆上=笃Z=1

ab

22点在椭圆外二二％1

ab

2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:

:

>0二相交

:

<0=相离3、弦长公式:

AB=Jl+k2%

AB=

4、圆锥曲线的中点弦问题:

1、伟达定理:

2、点差法:

（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简

（2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系

典型例题

例1、双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M（3,-1）平分，求直线AB的

方程.

例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:

x+y=1

交于A,B两点，C是AB的中点，若|AB|=22,O为坐标原点，

OC的斜率为、.2/2，求椭圆的方程。

题型六：

动点轨迹方程：

1、求轨迹方程的步骤：

建系、设点、列式、化简、确定点的范

围；

2、求轨迹方程的常用方法：

（1）直接法：

直接利用条件建立之间的关系-.■■■；

例1、如已知动点P到定点F（1,0）和直线二一的距离之和等于4,求P的轨迹方程.

（2）待定系数法：

已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M（m0）（用凡），端点A、

B到x轴距离之积为2m以X轴为对称轴，过A、OB三点作抛物线，则此抛物线方程为

⑶定义法：

先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由

曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

例3、由动点P向圆'■-7"1作两条切线PAPB,切点分别为A、

B,/APB=600,贝V动点P的轨迹方程

例4、点M与点F（4,0）的距离比它到直线2—的距离小于1,则点M的轨迹方程是

例5、一动圆与两圆OM只+尸二1和oN:

F+齐-力+12二0都外切，则动圆圆心的轨迹为

⑷代入转移法：

动点'11.依赖于另一动点・丄」；.1的变化而变化，并且】又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示

\上，再将''弋入已知曲线得要求的轨迹方程:

例6、如动点P是抛物线、匕'】上任一点，定点为■'：

'',点M分刊所成的比为2,则M的轨迹方程为

（5）参数法：

当动点':

"坐标之间的关系不易直接找到，也没有

相关动点可用时，可考虑将I「均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。

例7、过抛物线"；的焦点F作直线.交抛物线于A、B两点，则

弦AB的中点M的轨迹方程是

题型七：

（直线与圆锥曲线常规解题方法）

一、设直线与方程；（提醒：

①设直线时分斜率存在与不存在；

②设为y=kx+b与x=my+n的区别）

二、设交点坐标；（提醒:

之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”）

三、联立方程组；

四、消元韦达定理；（提醒：

抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五、根据条件重转化；常有以下类型:

1“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：

需讨论K是否存在）

二0A_0B=心♦K?

-1二OA-0B=0二x1x2y1y^0

2“点在圆内、圆上、圆外问题”

=“向量的数量积大于、等

二斜率关系（KiK^0或

“直角、锐角、钝角问题”于、小于0问题”

―X1X2yiy2>0；

3“等角、角平分、角互补问题”

Ki二&）；

4“共线问题”

（如:

AQ—QB=数的角度：

坐标表示法；形的角度：

距离转化法）；

（如:

AOB三点共线二直线OA与OB斜率相等）；

5“点、线对称问题”二坐标与斜率关系；

6“弦长、面积问题”

二转化为坐标与弦长公式问题（提醒：

注意两个面积公式的合理选择）；六、化简与计算;

七、细节问题不忽略;

①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.

基本解题思想：

1、“常规求值”问题：

需要找等式，“求范围”问题需要找不

2、“是否存在”问题：

当作存在去求，若不存在则计算时自然

会无解；

3、证明定值问题的方法：

⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法：

⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明

5、求最值问题时：

将对象表示为变量的函数，几何法、配方法

（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；

6、转化思想：

有些题思路易成，但难以实施。

这就要优化方法，

才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

7、思路问题：

大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。

典型例题：

例1、已知点F0,1,直线I:

y=—1,P为平面上的动点，过点P作直线i的垂线，垂足为q，且QPlQF.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）已知圆M过定点D0,2，圆心M在轨迹C上运动，且圆M

与x轴交于A、B两点，设|DA=h，|DB=I2，求上十旦的最大

〔2I1

值.

例2、如图半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆

心，且ODLAB,Q为线段OD勺中点，已知|AB|=4,曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不

（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

（2）过D点的直线I与曲线C相交于不同的两点MN,且M在DN之间，设型=入，求入的取值范围.

DN

22

例3、设Fl、F2分别是椭圆C:

^2^2=1（a■b0）的左右焦点。

ab

（1）设椭圆C上点c3,f）到两点Fl、F2距离和等于4,写出椭圆

C的方程和焦点坐标；

（2）设K是

（1）中所得椭圆上的动点，求线段KFi的中点B的轨迹方程；

（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kpM，kpN，试探究kpMKpn的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。

例4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.

（I）求椭圆C的标准方程；

（H）若直线l:

y=kxm与椭圆C相交于A,B两点（AB不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：

直线l过定点，并求出该定点的坐标.

轴长

弧上对称

点。

例5、已知椭圆两焦点Fl、F2在y轴上，短

为2返,离心率为耳,P是椭圆在第一象限£一点，且Pf1PF^=1，过P作关于直线F1P\°的两条直线PAPB分别交椭圆于AB两亠

（1）求P点坐标；

（2）求证直线AB的斜率为定值;

典型例题：

例1、

（1）解’设尸0丿），则0（益-1）,

*'■（Qj+1）Rf,2）二（工』一1口*厂2）.即2（_y+l）二/一2（卩一1）,即a2=4yf所以动点P的轨迹C的方程F二4丿-

㈡）解’设圆M的圆心坐标为上）.则a1=Ab.圆M的半径为\MD\=問+0-2『.

圆M的方程为（—存『+卜一矿=去+（"2）1

❖j=则（兀―界+沪二屮+少—2几整理得，只-2处+吧一4=0・

由①、②解得，x=a_2.

不妨设Aa—2,0,Ba2,0,

••h=•.a—24,l^=a24.

22

lll2lll2

当且仅当a=2,2时，等号成立.

当a=0时，由③得，

十=

O为原点，

为c,则

由图可知

故当a=2、2时，—旦的最大值为2.

l2l1

例2、解：

（1）以ABOD所在直线分别为x轴、y轴，

建立平面直角坐标系，

T|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=22212=2、5>|AB|=4.

•曲线C为以原点为中心，AB为焦点的椭圆.设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距

2a=2.5,—a=.5,c=2,b=1.

2

•曲线C的方程为0+y2=1.

5

（2）设直线l的方程为y=kx+2,

2

代入〒+y2=1,得（1+5k2）x2+20kx+15=0.

△=（20k）2-4X15（1+5k2）>0,得k2>3.

5

DMx1_）

=X

DNx2

X2

二DN，M在DN中间」XV1

综合得：

1/3WXV1.

2a=4,…2分

焦点坐标分别为

（T,0）,（1,0）4分

中点为

（2）设KF1的

把

K

的

坐

标

代

22

入椭圆:

一中

得

（2x1）2

.（2y）2

-=1

7分

4

3

线

段

KF1

的

中

占八、、

B

的

轨迹方程

为

（X2）21-=18分

4

（3）

过原点的直线L与椭圆相交的两点MN关于坐标原点对称设M（Xo,y°）N（—x°,—y°）,p（x,y）,

（5分）

（H）设A（X1,y1）,B（X2,y2）,

又%『2=（kx

22

3（m-4k）

=2

34k

因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D（2,0）,

kADkBD=-1，即一^1里1,

Xi—2X2—2

222

y〔y2Ex?

_2（治X2）4二0,

3（m-4k）4（m-3）16mk4o

4一u,

34k34k34k

22

.9m16mk4k=0.

解得：

--2k,m2--y，且均满足34k^m20,

1、当m^-2k时，I的方程为y=k（x—2），直线过定点（2,0），与已知

矛盾；

2、当m^=-2k时，I的方程为y=kx_2，直线过定点（2^0.

所以，直线I过定点，定点坐标为2,0.（14

分）

22

例5、解

（1）=1。

只（0,两,F2（0,-逅），设P（x0y0（x00＞丫。

0〉

42

则启珂-心迈-％）,?

^珂-心-.2-％）,.PF：

P2=x2-（2-y：

）=1

22/2

r点P（X0,y°）在曲线上，则匹如=1..X：

二—y°

242

4_2

从而士产-（2"）胡，得y。

=&，则点p的坐标为（1,2）

（2）由

（1）知PR//X轴，直线PAPB斜率互为相反数，设PB

斜率为k（k0）,

]yM=k（x_1）

则PB的直线方程为：

y—Q=k（x_1）由＜x2y2得

—=1

.24

（2k2）x22k（、、2-k）x（,2_k）2_4=0

yA-yB=-k（XA-1）-k（XB-1）=

8k

2k2

所以：

AB的斜率kAB二Z里二、2为定值Xa_Xb

|OF||FP|4,3

例6、解牛：

（1）由^-3=1|OF||FP|nise,得|OFI1=^1,由!

p日=g，fP,

2nis0

得tan一—3分

t

4:

:

:

t:

:

:

4,3.1：

：

:

tanj：

：

：

.3•v•[0,二]二夹角二的取值范围是

二）……6分

43

（2）设P（x0,y°）,则FP（x°-c,y°）,OF=（c,0）.

OFFP=（X0-c,y°）（c,0）=（沟-c）c=t=（.3-1）C.x°=.3c

1Tr4/3

Sofp|OF|2。

尸2、、3.y°：

2c

分

'••IOP|=我+y；=Jw3c）2+（半）2彳2*3c半=2尿10分

•••当且仅当•.3c=空,即c=2时,|OP|取最小值26,此时,OP=（2•、3,2.3）

c

.OM（23,23）（0,1）=（2,3）

3

或OM”=迈（2¥'3-2梟）+（0,1）=（2,-1）12分

3

椭圆长轴

2a=J（2_2）2（3_0）2.（22）2（3_0）2=8.a=4,『=12

或2a=点2_2）2（_1_0）2（22）2（_1_0产=1...17.a二^17,b2二^^17

22

故所求椭圆方程为—y1.或x2y2114分

1612R7Fk

22~

椭圆C的方程为