因式分解的方法技巧汇总.docx

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因式分解的方法技巧汇总

因式分解的方法技巧汇总

作者：

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来源：

《科技视界》2014年第01期

        【摘要】本文对初中所学因式分解的方法进行了汇总，主要包括：

提公因式法、公式法。

又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等，以及注意的原则：

分解要彻底；最后结果只有小括号；最后结果中多项式首项系数为正。

还有思考顺序：

先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。

        【关键词】因式分解；提公因式法、公式法；又有拆项和添减项法；分组分解法和十字相乘法；待定系数法；双十字相乘法；对称多项式轮换对称多项式法

        很多同学在做因式分解的题目时，会觉得无从入手。

而面临较难题目时，更加摸不着头脑。

在此汇总几种因式分解的方法，以供参考。

其实，因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

（实际上就是把见到的问题复杂化）注意三原则：

一是分解要彻底；二是最后结果只有小括号；三是最后结果中多项式首项系数为正（例如：

-3x2+x=x（-3x+1））。

        归纳方法

        沪科版七下课本上有：

1）提公因式法；2）公式法；3）分组分解法；4）凑数法；5）组合分解法；6）十字相乘法[x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）]；7）双十字相乘法；8）配方法；9）拆项法；10）换元法；11）长除法；12）加减项法；13）求根法；14）图象法；15）主元法；16）待定系数法17）特殊值法；18）因式定理法。

        基本方法：

        1提公因式法

        各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

        具体方法：

当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

        口诀：

找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

        例如：

-am+bm+cm=-m（a-b-c）；

        a（x-y）+b（y-x）=a（x-y）-b（y-x）=（x-y）（a-b）。

        注意：

把■变成2×■不叫提公因式。

        2公式法

        如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

        平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）；

        完全平方公式：

a2±2ab+b2=（a±b）2；

        注意：

能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。

        两根式：

ax2+xb+c=a（x-■）（x-■）

        立方和公式：

a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

        立方差公式：

a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）；

        完全立方公式：

a3±3a2b+3ab2±b3=（a±b）3。

        公式：

a+b+c-3abc=（a+b+c）（a+b+c-ab-bc-ca）

        例如：

a2+4ab+4b2=（a+2b）2。

        3分解因式技巧

        1）分解因式与整式乘法是互为逆变形。

        2）分解因式技巧掌握：

        ①等式左边必须是多项式；

        ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；

        ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；

        ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

        注：

分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

        3）提公因式法基本步骤：

（1）找出公因式；

（2）提公因式并确定另一个因式：

        ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；

        ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

        ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

        （3）分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。

        能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：

二二分法，三一分法。

        比如：

ax+ay+bx+by=a（x+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y）

        我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

        ax+ay+bx+by=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）

        几道例题：

        （ⅰ）5ax+5by+3ax+3by

        解法：

5ax+5by+3ax+3by

        5x（a+b）+3y（a+b）

        =（5x+3y）（a+b）

        说明：

系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5by看成整体，把3ax和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

        （ⅱ）x3-x2+x-1

        解法：

x3-x2+x-1=x2（x-1）+（x-1）=（x-1）（x2+1）利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。

        （ⅲ）x2-x-y2-y

        解法：

x2-x-y2-y

        =（x2-y2）-（x+y）

        =（x+y）（x-y）-（x+y）

        =（x+y）（x-y-1）

        利用二二分法，再利用公式法a2-b2=（a+b）（a-b），然后相合解决。

        4十字相乘法

        这种方法有两种情况。

        ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解

        这类二次三项式的特点是：

        二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。

因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：

        x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。

        ②kx2+mx+n型的式子的因式分解

        如7x2-19x-6=（7x+2）（x-3）。

        十字相乘法口诀：

首尾分解，交叉相乘，求和凑中。

        5拆项、添项法

        这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。

要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

        例如：

bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）

        =bc（c-a+a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）

        =bc（c-a）+bc（a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）

        =bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b）-ab（a+b）

        =（bc+ca）（c-a）+（bc-ab）（a+b）

        =c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）

        =（c+b）（c-a）（a+b）。

        6配方法

        对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。

属于拆项、补项法的一种特殊情况。

也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

        例如：

x2+3x-40

        =x2+3x+■-■

        =（x+8）（x-5）。

        7应用因式定理

        对于多项式f（x）=0，如果f（a）=0，那么f（x）必含有因式x=a。

        例如：

f（x）=x2+5x+6，f（-2）=0，则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。

        （事实上，x2+5x+6=（x+2）（x+3）。

）

        注意：

        1）对于系数全部是整数的多项式，若x=■（p，q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数；

        2）对于多项式f（a）=0，b为最高次项系数，c为常数项，则有a为■的约数

        8换元法

        有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

注意：

换元后勿忘还元。

        例如在分解（x2+x+1）（x2+x+2）-12时，

        可以令y=x2+x，则：

        原式=（y+1）（y+2）-12

        =y2+3y+2-12

        =y2+3y-10

        =（y+5）（y-2）

        =（x2+x+5）（x2+x-2）

        =（x2+x+5）（x+2）（x-1）。

        9求根法

        令多项式f（x）=0，求出其根为x1，x2，x3，…xn。

则该多项式可分解为f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3）…（x-xn）。

        例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时，

        令2x4+7x3-2x2-13x+6=0，则通过综合除法可知，该方程的根为0.5，-3，-2，1。

        所以2x4+7x3-2x2-13x+6

        =（2x-1）（x+3）（x+2）（x-1）。

        10图象法

        令y=f（x），做出函数y=f（x）的图象，找到函数图像与x轴的交点x1，x2，x3，…xn，则多项式可因式分解为f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3）…（x-xn）。

与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。

        例如在分解x3+2x2-5x-6时，可以令y=x3+2x2-5x-6。

作出其图像，与x轴交点为-1，-3，2则x3+2x2-5x-6=（x+1）（x+3）（x-2）。

        11主元法

        先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

        12特殊值法

        将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

        例如在分解x3+9x2+23x+15时，

        令x=2，则x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105，将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7。

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5在x=2时的值，则x3+9x2+23x+15可能等于（x+1）（x+3）（x+5），验证后的确如此。

        13待定系数法

        首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

        例如在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：

这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

于是设：

        x4-x3-5x2-6x-4

        =（x2+ax+b）（x2+cx+d）

        =x4+（a+c）x3+（ac+b+d）x2+（ad+bc）x2+bd

        由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4。

        解得a=1，b=1，c=-2，d=-4。

        则x4-x3-5x2-6x-4

        =（x2+x+1）（x2-2x-4）。

        14双十字相乘法

        双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。

双十字相乘法就是二元二次六项式，原始的式子如下：

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f（x，y为未知数），其余都是常数用一道例题来说明如何使用。

        例：

分解因式：

x2+5xy+6y2+8x+18y+12。

        分析：

这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

        解：

双十字相乘法其步骤为：

        ①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=（x+2y）（x+3y）；

        ②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。

如十字相乘图②中6y2+18y+12=（2y+2）（3y+6）；

        ③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。

        15利用根与系数的关系

        对二次多项式进行因式分解

        例：

对于二次多项式ax2+bx+c（a≠0）

        ax2+bx+c（a≠0）

        =a（x2+■x+■）

        当Δ=b2-4ac≥0时，

        ax2+bx+c（a≠0）=a（x-x1）（x-x2）。

        多项式因式分解的一般步骤：

        ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

        ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

        ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

        ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

也可以用一句话来概括：

“先看有无公因式，再看能否套公式。

十字相乘试一试，分组分解要合适。

”

        几道例题

        （ⅰ）分解因式

        （1+y）■-2x■（1+y■）+x■（1-y）■

        解：

原式=（1+y）■-2（1+y■）x■（1-y）■+x■（1-y）■-2■（1+y■）x■（1-y）-2x■（1+y■）（补项）

        [（1+y）+x■（1-y）■]2-2（1+y■）x■（1-y）-2x2■（1+y2■）（完全平方）

        =[（1+y）+x■（1-y）■]2-2x■

        =[（1+y）+x■（1-y）■+2x][（1+y）+x■（1-y）■-2x]

        =（x2-x2y+2x+y+1）（x2-x2y-2x+y+1）

        =[（x+1）2-y（x2-1）■][（x-1）2-y（x2-1）]

        =（x+1）（x+1-xy+y）（x-1）（x-1-xy-y）

        （ⅱ）求证：

对于任何实数x，y，下式的值都不会为33：

        x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5

        解：

原式=（x5+3x4y）-（5x3y2-15x2y3）+（4xy4+12y5）

        =x4（x+3y）-5x2y2（x+3y）+4y4（x+3y）

        =（x+3y）（x4-5x2y2+4y4）

        =（x+3y）（x2-4y2）（x2-y2）

        =（x+3y）（x+y）（x-y）（x+2y）（x-2y）。

        当y=0时，原式=x5不等于33；

        当y≠0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。

        （ⅲ）ΔABC的三边a、b、c有如下关系式：

-c2+a2+2ab-2bc=0，

        求证：

这个三角形是等腰三角形。

        分析：

此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

        证明：

∵-c2+a2+2ab-2bc=0，

        ∴（a+c）（a-c）+2b（a-c）=0.

        ∴（a-c）（a+2b+c）=0.

        ∵a、b、c是ΔABC的三条边，

        ∴a+2b+c>0.

        ∴a-c=0，即a=c，ΔABC为等腰三角形。

        （Ⅳ）把-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1分解因式。

        解：

-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1

        =-6xnyn-1（2xny-3x2y2+1）.

        因式分解四个注意：

        因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：

首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。

        现举下例，可供参考。

        例1：

把-a2-b2-2ab+4分解因式。

        解：

-a2-b2-2ab+4

        =-（a2-2ab+b2-4）

        =-（a-b+2）（a-b-2）

        这里的“负”，指“负号”。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

防止学生出现诸如：

-9x2+4y2=（-3x）2-（2y）2=（-3x+2y）（-3x-2y）=（3x-2y）（3x+2y）的错误。

        例2：

把-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1分解因式。

        解：

-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1

        =-6xnyn-1（2xny+3x2y2+1）

        这里的“公”指“公因式”。

如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。

分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

即分解到底，不能半途而废的意思。

其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。

防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2（4x-5x2-9）=y2（x2+1）（4x2-9）y2的错误。

        考试时应注意：

在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到整数！

由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：

“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。

        [责任编辑：

刘帅]