求最小函数依赖集例题.docx

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求最小函数依赖集例题

基于闭包的求最小函数依赖集算法

　　定义：

如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为最小函数依赖集或最小覆盖。

　　①F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性；

　　②F中不存在这样一个函数依赖X→A，使得F与F-{X→A}等价；

　　③F中不存在这样一个函数依赖X→A，X有真子集Z使得F-{X→A}∪{Z→A}与F等价。

　　算法：

计算最小函数依赖集。

　　输入一个函数依赖集

　　输出F的一个等价的最小函数依赖集G

　　步骤：

①用分解的法则，使F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性；

　　　　　②去掉多余的函数依赖：

从第一个函数依赖X→Y开始将其从F中去掉，然后在剩下的函数依赖中求X的闭包X+，看X+是否包含Y，若是，则去掉X→Y；否则不能去掉，依次做下去。

直到找不到冗余的函数依赖；

　　　　　③去掉各依赖左部多余的属性。

一个一个地检查经过第②步去掉了多余依赖后的函数依赖左部非单个属性的依赖。

例如XY→A，若要判Y为多余的，则以X→A代替XY→A是否等价？

若A属于（X）+，则Y是多余属性，可以去掉。

注：

以下题目中有些步骤（如判断左部单属性的依赖是否为多余依赖的步骤）作者嫌麻烦就省略掉了

例题1：

已知关系模式R，U={A,B,C,D,E,G}，F={AB→C,D→EG,C→A,BE→C,BC→D,CG→BD,ACD→B,CE→AG}，求F的最小函数依赖集。

　　解1：

利用算法求解，使得其满足三个条件

　　①利用分解规则，将所有的函数依赖变成右边都是单个属性的函数依赖，得F为：

F={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→B,CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}

　　②去掉F中多余的函数依赖

　　A．设AB→C为冗余的函数依赖，则去掉AB→C，得：

F1={D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→B,CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}

　　计算（AB）F1+：

设X（0）=AB

　　计算X

（1）：

扫描F1中各个函数依赖，找到左部为AB或AB子集的函数依赖，因为找不到这样的函数依赖。

故有X

（1）=X（0）=AB，算法终止。

　　（AB）F1+=AB不包含C，故AB→C不是冗余的函数依赖，不能从F1中去掉。

　　B．设CG→B为冗余的函数依赖，则去掉CG→B，得：

F2={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}

　　计算（CG）F2+：

设X（0）=CG

　　计算X

（1）：

扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为CG或CG子集的函数依赖，得到一个C→A函数依赖。

故有X

（1）=X（0）∪A=CGA=ACG。

　　计算X

（2）：

扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为ACG或ACG子集的函数依赖，得到一个CG→D函数依赖。

故有X

（2）=X

（1）∪D=ACDG。

　　计算X（3）：

扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为ACDG或ACDG子集的函数依赖，得到两个ACD→B和D→E函数依赖。

故有X（3）=X

（2）∪BE=ABCDEG，因为X（3）=U，算法终止。

　　（CG）F2+=ABCDEG包含B，故CG→B是冗余的函数依赖，从F2中去掉。

　　C．设CG→D为冗余的函数依赖，则去掉CG→D，得：

F3={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,ACD→B,CE→A,CE→G}

　　计算（CG）F3+：

设X（0）=CG

　　计算X

（1）：

扫描F3中的各个函数依赖，找到左部为CG或CG子集的函数依赖，得到一个C→A函数依赖。

故有X

（1）=X（0）∪A=CGA=ACG。

　　计算X

（2）：

扫描F3中的各个函数依赖，找到左部为ACG或ACG子集的函数依赖，因为找不到这样的函数依赖。

故有X

（2）=X

（1），算法终止。

（CG）F3+=ACG。

　　（CG）F3+=ACG不包含D，故CG→D不是冗余的函数依赖，不能从F3中去掉。

　　D．设CE→A为冗余的函数依赖，则去掉CE→A，得：

F4={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,ACD→B,CE→G}

　　计算（CG）F4+：

设X（0）=CE

　　计算X

（1）：

扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为CE或CE子集的函数依赖，得到一个C→A函数依赖。

故有X

（1）=X（0）∪A=CEA=ACE。

　　计算X

（2）：

扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为ACE或ACE子集的函数依赖，得到一个CE→G函数依赖。

故有X

（2）=X

（1）∪G=ACEG。

　　计算X（3）：

扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为ACEG或ACEG子集的函数依赖，得到一个CG→D函数依赖。

故有X（3）=X

（2）∪D=ACDEG。

　　计算X（4）：

扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为ACDEG或ACDEG子集的函数依赖，得到一个ACD→B函数依赖。

故有X（4）=X（3）∪B=ABCDEG。

因为X（4）=U，算法终止。

　　（CE）F4+=ABCDEG包含A，故CE→A是冗余的函数依赖，从F4中去掉。

　　③去掉F4中各函数依赖左边多余的属性（只检查左部不是单个属性的函数依赖）由于C→A，函数依赖ACD→B中的属性A是多余的，去掉A得CD→B。

　　故最小函数依赖集为：

F={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,CD→B,CE→G}

例题2：

已知R（U，F）U={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j},F={abd->e,ab->g,b->f,c->j,cj->i,g->h}

求R（U，F）的最小函数依赖集

解：

分三步:

1.将F中的所有依赖右边化为单一元素

此题F={abd->e,ab->g,b->f,c->j,cj->i,g->h};已经满足

2.去掉F中的所有依赖左边的冗余属性.

作法是属性中去掉其中的一个,看看是否依然可以推导

此题:

abd->e,去掉a,则（bd）+不含e,故不能去掉,同理b,d都不是冗余属性

ab->g,也没有

cj->i,因为c+={c,j,i}其中包含i所以j是冗余的.cj->i将成为c->i

F={abd->e,ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h};

3.去掉F中所有冗余依赖关系.

做法为从F中去掉某关系,如去掉（X->Y）,然后在F中求X+,如果Y在X+中,则表明X->Y是多余的.需要去掉.

此题如果F去掉abd->e,F将等于{ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h},而（abd）+={a,d,b,f,g,h},其中不包含e.所有不是多余的.

同理（ab）+={a,b,f}也不包含g,故不是多余的.

b+={b}不多余,c+={c,i}不多余

c->i,g->h多不能去掉.

所以所求最小函数依赖集为F={abd->e,ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h};

例题3：

关系R（{A,B,C,D,E,F}，f）满足下列函数依赖：

AB->C

C->A

BC->D

ACD->B

BE->C

CE->FA

CF->BD

D->EF

找出该依赖集的最小依赖集

1:

.将F中的所有依赖右边化为单一元素

AB->CC->ABC->DACD->BBE->CCE->FCE->ACF->BCF->D

D->ED->F

2:

去掉F中所有冗余依赖关系.做法为从F中去掉某关系,如去掉（X->Y）,然后在F中求X+,如果Y在X+中,则表明X->Y是多余的.需要去掉.

去掉AB->C得到AB+={}所以AB->C不是冗余的函数依赖

再依次去掉1中其余的函数依赖，计算去掉依赖左边属性的必包，发现

ACD->B，CE->A,CF->D是冗余的函数依赖，

AB->CC->ABC->DBE->CCE->FCF->BD->ED->F

3:

去掉F中的所有依赖左边的冗余属性.作法是属性中去掉其中的一个,看看是否依然可以推导

没有

所以{AB->CC->ABC->DBE->CCE->FCF->BD->ED->F}为f的最小依赖集

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