步步高大一轮复习讲义数学13.docx

步步高大一轮复习讲义数学13.docx

《步步高大一轮复习讲义数学13.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《步步高大一轮复习讲义数学13.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

步步高大一轮复习讲义数学13

1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断

p

q

p∧q

p∨q

綈p

真

真

真

真

假

真

假

假

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

真

2.全称量词和存在量词

量词名词

常见量词

表示符号

全称量词

所有、一切、任意、全部、每一个、任给等

∀

存在量词

存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等

∃

3.全称命题和特称命题

命题名称

命题结构

命题简记

全称命题

对M中任意一个x，有p（x）成立

∀x∈M，p（x）

特称命题

存在M中的一个x0，使p（x0）成立

∃x0∈M，p（x0）

4.含有一个量词的命题的否定

命题

命题的否定

∀x∈M，p（x）

∃x0∈M，綈p（x0）

∃x0∈M，p（x0）

∀x∈M，綈p（x）

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．（　×　）

（2）命题p和綈p不可能都是真命题．（　√　）

（3）若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．（　√　）

（4）全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．（　×　）

（5）写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．（　√　）

（6）∃x0∈M，p（x0）与∀x∈M，綈p（x）的真假性相反．（　√　）

1．设a，b，c是非零向量．已知命题p：

若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：

若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是（　　）

A．p∨qB．p∧q

C．（綈p）∧（綈q）D．p∨（綈q）

答案　A

解析　由题意知命题p为假命题，命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A.

2．已知命题p：

对任意x∈R，总有|x|≥0；q：

x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧（綈q）B．（綈p）∧q

C．（綈p）∧（綈q）D．p∧q

答案　A

解析　由题意知，命题p为真命题，命题q为假命题，故綈q为真命题，所以p∧（綈q）为真命题．

3．（2015·浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（　　）

A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n

B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n

C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0

D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0

答案　D

解析　写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．故选D.

4．（2015·山东）若“∀x∈

，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

答案　1

解析　∵函数y＝tanx在

上是增函数，∴ymax＝tan

＝1.依题意，m≥ymax，即m≥1.

∴m的最小值为1.

5．（教材改编）给出下列命题：

①∀x∈N，x3>x2；

②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；

③∃x0∈R，x

－x0＋1≤0；

④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．

则以上命题的否定中，真命题的序号为________．

答案　①②③

题型一　含有逻辑联结词的命题的真假判断

例1　

（1）已知命题p：

m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α，命题q：

若a>b，则ac>bc，则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∨qB．綈p∨q

C．綈p∧qD．p∧q

（2）已知命题p：

若x>y，则－x<－y；命题q：

若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（綈q）；④（綈p）∨q中，真命题是（　　）

A．①③B．①④

C．②③D．②④

答案　

（1）B　

（2）C

解析　

（1）命题q：

若a>b，则ac>bc为假命题，命题p：

m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α也为假命题，因此只有“綈p∨q”为真命题．

（2）当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．

当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．

由真值表知：

①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（綈q）为真命题；④（綈p）∨q为假命题．故选C.

思维升华　“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤：

（1）确定命题的构成形式；

（2）判断其中命题p、q的真假；

（3）确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．

（1）已知命题p：

对任意x∈R，总有2x>0；q：

“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧qB．（綈p）∧（綈q）

C．（綈p）∧qD．p∧（綈q）

（2）若命题p：

关于x的不等式ax＋b>0的解集是{x|x>－

}，命题q：

关于x的不等式（x－a）（x－b）<0的解集是{x|a

答案　

（1）D　

（2）綈p、綈q

解析　

（1）p为真命题，q为假命题，故綈p为假命题，綈q为真命题．从而p∧q为假，（綈p）∧（綈q）为假，（綈p）∧q为假，p∧（綈q）为真，故选D.

（2）依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p∧q”为假、“p∨q”为假，“綈p”为真、“綈q”为真．

题型二　含有一个量词的命题

命题点1　全称命题、特称命题的真假

例2　

（1）下列命题中，为真命题的是（　　）

A．∀x∈R，x2>0B．∀x∈R，－1

C．∃x0∈R,

<0D．∃x0∈R，tanx0＝2

（2）下列四个命题

p1：

∃x0∈（0，＋∞），

<

；

p2：

∃x0∈（0,1），log

x0>log

x0；

p3：

∀x∈（0，＋∞），

x>log

x；

p4：

∀x∈

，

x

x.

其中真命题是（　　）

A．p1，p3B．p1，p4

C．p2，p3D．p2，p4

答案　

（1）D　

（2）D

解析　

（1）∀x∈R，x2≥0，故A错；∀x∈R，－1≤sinx≤1，故B错；∀x∈R,2x>0，故C错，故选D.

（2）根据幂函数的性质，对∀x∈（0，＋∞），

x>

x，故命题p1是假命题；由于log

x－log

x＝

－

＝

，故对∀x∈（0,1），log

x>log

x，所以∃x0∈（0,1），log

x0>log

x0，命题p2是真命题；当x∈

时，0<

x<1，log

x>1，故

x>log

x不成立，命题p3是假命题；∀x∈

，0<

x<1，log

x>1，故

x

x，命题p4是真命题．

故p2，p4为真命题．

命题点2　含一个量词的命题的否定

例3　

（1）命题“存在实数x，使x>1”的否定是（　　）

A．对任意实数x，都有x>1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1

（2）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：

∀x∈A,2x∈B，则綈p为：

______________.

答案　

（1）C　

（2）∃x0∈A,2x0∉B

解析　

（1）利用特称命题的否定是全称命题求解，“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.

（2）命题p：

∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定应为特称命题．

∴綈p：

∃x0∈A,2x0∉B.

思维升华　

（1）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p（x0）成立．

（2）对全（特）称命题进行否定的方法

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词．

②对原命题的结论进行否定．

（1）下列命题中的真命题是（　　）

A．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝

B．∀x∈（0，＋∞），ex>x＋1

C．∃x∈（－∞，0），2x<3x

D．∀x∈（0，π），sinx>cosx

（2）（2015·课标全国Ⅰ）设命题p：

∃n∈N，n2>2n，则綈p为（　　）

A．∀n∈N，n2>2nB．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n

答案　

（1）B　

（2）C

解析　

（1）因为sinx＋cosx＝

sin（x＋

）≤

<

，故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；因为x∈（0，

）时有sinx

（2）将命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”．

题型三　由命题的真假求参数的取值范围

例4　已知p：

∃x∈R，mx2＋1≤0，q：

∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为（　　）

A．m≥2B．m≤－2

C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2

答案　A

解析　依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；

当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，－2

因此由p，q均为假命题得

，即m≥2.

引申探究

1．本例条件不变，若p∧q为真，则实数m的取值范围为________．

答案　（－2,0）

解析　依题意，当p是真命题时，有m<0；

当q是真命题时，有－2

由

可得－2

2．本例条件不变，若p∧q为假，p∨q为真，则实数m的取值范围为________________．

答案　（－∞，－2]∪[0,2）

解析　若p∧q为假，p∨q为真，则p、q一真一假．

当p真q假时

　∴m≤－2；

当p假q真时

　∴0≤m<2.

∴m的取值范围是（－∞，－2]∪[0,2）．

3．本例中的条件q变为q：

∃x∈R，x2＋mx＋1<0，其他不变，则实数m的取值范围为________．

答案　[0,2]

解析　依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>0，

∴m>2或m<－2.

由

得0≤m≤2，

∴m的取值范围是[0,2]．

思维升华　根据命题真假求参数的方法步骤

（1）先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）；

（2）然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；

（3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．

（1）已知命题p：

“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：

“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．{a|a≤－2或a＝1}

B．{a|a≥1}

C．{a|a≤－2或1≤a≤2}

D．{a|－2≤a≤1}

（2）命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．

答案　

（1）A　

（2）[－2

，2

]

解析　

（1）∵“p且q”为真命题，∴p、q均为真命题，

∴p：

a≤1，q：

a≤－2或a≥1，

∴a≤－2或a＝1.

（2）因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－2

≤a≤2

.

1．常用逻辑用语及其应用

一、命题的真假判断

典例1　已知命题p：

∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：

若mx2－mx－1<0恒成立，则－4

A．“綈p”是假命题

B．q是真命题

C．“p或q”为假命题

D．“p且q”为真命题

解析　由于x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，

即x2＋1≥2x，所以p为假命题；

对于命题q，当m＝0时，有－1<0，恒成立，

所以命题q为假命题．

综上可知：

綈p为真命题，

p且q为假命题，p或q为假命题，故选C.

答案　C

温馨提醒　判断与一元二次不等式有关命题的真假，首先要分清是要求解一元二次不等式，还是要求一元二次不等式恒成立（有解、无解），然后再利用逻辑用语进行判断．

二、求参数的取值范围

典例2　已知命题p：

“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：

“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析　若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.

答案　[e,4]

温馨提醒　含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围．

三、利用逻辑推理解决实际问题

典例3　

（1）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：

我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：

我没去过C城市；

丙说：

我们三人去过同一城市．

由此可判断乙去过的城市为________．

（2）对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：

甲：

中国非第一名，也非第二名；

乙：

中国非第一名，而是第三名；

丙：

中国非第三名，而是第一名．

竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．

解析　

（1）由题意可推断：

甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.

（2）由上可知：

甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．

答案　

（1）A　

（2）一

温馨提醒　在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．

[方法与技巧]

1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解．

2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．

[失误与防范]

1．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p∧q为真命题，必须p、q同时为真．

2．两种形式命题的否定

p或q的否定：

非p且非q；p且q的否定：

非p或非q.

3．命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．

A组　专项基础训练

（时间：

30分钟）

1．已知命题p：

所有有理数都是实数；命题q：

正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（　　）

A．（綈p）∨qB．p∧q

C．（綈p）∧（綈q）D．（綈p）∨（綈q）

答案　D

解析　不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有（綈p）∨（綈q）为真命题．

2．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由“綈p为真”可得p为假，故p∧q为假；反之不成立．

3．已知命题p：

“x>2是x2>4的充要条件”，命题q：

“若

>

，则a>b”，那么（　　）

A．“p或q”为真B．“p且q”为真

C．p真q假D．p，q均为假

答案　A

解析　由已知得命题p是假命题，命题q是真命题，因此选A.

4．下列命题中的假命题是（　　）

A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N*，（x－1）2>0

C．∃x0∈R，lgx0<1D．∃x0∈R，tan

＝5

答案　B

解析　A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1>0；B项，∵x∈N*，∴当x＝1时，（x－1）2＝0与（x－1）2>0矛盾；C项，当x0＝

时，lg

＝－1<1；D项，当x∈R时，tanx∈R，∴∃x0∈R，tan

＝5.

5．已知命题p：

若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：

在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充分不必要条件（m，n，p，q∈N*）．则下面选项中真命题是（　　）

A．（綈p）∧（綈q）B．（綈p）∨（綈q）

C．p∨（綈q）D．p∧q

答案　B

解析　当a＝1.1，x＝2时，

ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log1.11.21＝2，

此时，ax

命题q，由等差数列的性质，

当m＋n＝p＋q时，an＋am＝ap＋aq成立，

当公差d＝0时，由am＋an＝ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题．

故綈p是真命题，綈q是假命题，

所以p∧q为假命题，p∨（綈q）为假命题，（綈p）∧（綈q）为假命题，（綈p）∨（綈q）为真命题．

6．命题p：

∀x∈R，sinx<1；命题q：

∃x∈R，cosx≤－1，则下列结论是真命题的是（　　）

A．p∧qB．（綈p）∧q

C．p∨（綈q）D．（綈p）∧（綈q）

答案　B

解析　p是假命题，q是真命题，所以B正确．

7．已知命题p：

所有指数函数都是单调函数，则綈p为（　　）

A．所有的指数函数都不是单调函数

B．所有的单调函数都不是指数函数

C．存在一个指数函数，它不是单调函数

D．存在一个单调函数，它不是指数函数

答案　C

解析　命题p：

所有指数函数都是单调函数，则綈p：

存在一个指数函数，它不是单调函数.

8．已知命题p：

∃x0∈R，ex0－mx0＝0，q：

∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨（綈q）为假命题，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－∞，0）∪（2，＋∞）B．[0,2]

C．RD．∅

答案　B

解析　若p∨（綈q）为假命题，则p假q真．命题p为假命题时，有0≤m

9．命题“∃x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．

答案　∀x∈R，x2＋2x＋5≠0

解析　否定为全称命题：

“∀x∈R，x2＋2x＋5≠0”．

10．若命题“∃x0∈R，x

＋（a－1）x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

答案　（－∞，－1）∪（3，＋∞）

解析　因为命题“∃x0∈R，x

＋（a－1）x0＋1<0”等价于x

＋（a－1）x0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝（a－1）2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.

11．已知命题p：

x2＋2x－3>0；命题q：

>1，若“綈q∧p”为真，则x的取值范围是________．

答案　（－∞，－3）∪（1,2]∪[3，＋∞）

解析　因为“綈q∧p”为真，即q假p真，而q为真命题时，

<0，得20，解得x>1或x<－3，由

解得x<－3或1

所以x的取值范围是x<－3或1

12．下列结论：

①若命题p：

∃x∈R，tanx＝1；命题q：

∀x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧（綈q）”是假命题；

②已知直线l1：

ax＋3y－1＝0，l2：

x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是

＝－3；

③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题：

“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．

答案　①③

解析　①中命题p为真命题，命题q为真命题，

所以p∧（綈q）为假命题，故①正确；

②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；

③正确，所以正确结论的序号为①③.

B组　专项能力提升

（时间：

15分钟）

13．已知命题p：

∃x∈R，x－2>lgx，命题q：

∀x∈R，x2>0，则（　　）

A．p∨q是假命题

B．p∧q是真命题

C．p∧（綈q）是真命题

D．p∨（綈q）是假命题

答案　C

解析　∵x＝10时，x－2＝8，lg10＝1，x－2>lgx成立，∴命题p为真命题，又x2≥0，命题q为假命题，

所以p∧（綈q）是真命题．

14．四个命题：

①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为（　　）

A．0B．1

C．2D．4

答案　A

解析　∵x2－3x＋2>0，Δ＝（－3）2－4×2>0，

∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，

∴①为假命题．

当且仅当x＝±

时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题．

对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题．

4x2－（2x－1＋3x2）＝x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，

即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，

∴④为假命题．

∴①②③④均为假命题．

15．下列结论正确的是（　　）

A．若p：

∃x∈R，x2＋x＋1<0，则綈p：

∀x∈R，x2＋x＋1<0

B．若p∨q为真命题，则p∧q也为真命题

C．“函数f（x）为奇函数”是“f（0）＝0”的充分不必要条件

D．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题为真命题

答案　D

解析　∵x2＋x＋1<0的否定是x2＋x＋1≥0，∴A错；若p∨q为真命题，则p、q中至少有一个为真，∴B错；f（x）为奇函数，但f（0）不一定有意义，∴C错；命题“若x2－3x＋2＝0则x＝1”的否命题为“若x2－3x－2≠0，则x≠1”，是真命题，D对．

16．已知命题p：

“∀x∈R，∃m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________.

答案　（－∞，1]

解析　若綈p是假命题，则p是真命题，

即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，

由于m＝－（4x－2·2x）＝－（2x－1）2＋1≤1，

∴m≤1.

17．设p：

方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：

方程x2＋2（m－2）x－3m＋10＝0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是________．

答案　（－∞，－2]∪[－1,3）

解析　设方程x2＋2mx＋1＝0的两根分别为x1，x2，由

得m<－1，

所以命题p为真时，m<－1.

由方程x2＋2（m－2）x－3m＋10＝0无实根，可知Δ2＝4（m－2）2－4（－3m＋10）<0，得－2

由p∨q为真，p∧q为假，可知命题p，q一真一假，

当p真q假时，

此时m≤－2；

当p假q真时，

此时－1≤m<3，

所以所求实数m的取值范围是m≤－2或－1≤m<3.

18．已知f（x）＝m（x－2m）（x＋m＋3），g（x）＝2x－2.若同时满足条件：

①∀x∈R，f（x）<0或g（x）<0；

②∃x∈（－∞，－4），f（x）g（x）<0，

则m的取值范围是________．

答案　（－4，－2）

解析　当x≥1时，g（x）≥0，∴要满足条件①，则f（x）<0在x≥1时恒成立，f（x）＝m（x－2m）（x＋m＋3）为二次函数，抛物线必须开口向下，即m<0.f（x）＝0的两根x1＝2m，x2＝－m－3，且x1－x2＝3m＋3