一元一次方程与实际问题.docx

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一元一次方程与实际问题

一元一次方程与实际问题

 教学目标：

1、知识与技能目标：

   通过学习列方程解决实际问题，感知数学在生活中的作用；

2、过程与方法目标：

   通过分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题。

发展分析问题，解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用，学会有序观察，有条理思考和简单的事实推理；

3、情感与态度目标：

   在合作与交流中学会肯定自己和倾听他人意见。

教学重点：

学生体验和感受数学思想方法，从实际到数学的化归法、字母表示数的思想、方程的思想、逆向思维的思想，及找出问题中的条件和要求的结论，并找出等量关系，列出方程，解决实际问题。

教学难点：

找等量关系

一、创设情境，引入需要解决的问题：

师：

教师讲解《隔墙猜客分银》的故事　　明朝数学家程大位，从事商业，终日奔波于大江南北，集市商行，每遇到有关数学轶闻就马上记录下来。

　　有一次，一天劳碌下来，程大位与两位伙计住到了洛阳郊外的一座来客栈，住进朝北的两间客房。

店主笑脸上迎端上香喷喷的饭菜，程老刚要用饭，忽听得东边和西边此起彼伏地吵嚷起来，程老对二人说：

“你们去看看他们为什么这样叫嚷，弄得四邻不安？

”　　伙计甲回来说：

“他们是众人分银，要是每人分七两多出四两，每人九两就少半斤，一直争执不休。

”　　伙计乙回来说：

“西边是一伙买绫罗绸缎的商人，他们商量分绫，每人分六匹少四匹，每人分四匹正好相当，也是争执不下。

”　　程老听罢哈哈大笑：

“今天他们分银分绫自有调处，我的收获也不小，现在你们痛痛快快地吃完饭，我写两道算术诗给他们留下，让以后来往住店的人解解算谜。

”第二天，他们走后，墙上留下程老的两道算谜：

1.隔墙猜客。

隔墙听得客分银，不知人数不知银.

七两分之多四两，九两分之少半斤。

（注：

在古代1斤是16两，半斤就是8两）

2.分绫求人。

    隔墙听得客分绫，不知绫数不知人，

    每人六匹少四匹，每人四匹恰相停。

  [这一层次从学生熟悉的生活实际出发，选择学生能感受到的、感兴趣的数学问题，唤起学生的求知欲]

二、合作交流，探求新知

师：

请找出本题涉及哪几个量，又有哪些等量关系？

（先让学生分组讨论，各组发言，互相补充，得出以下结论：

）同学们，你们能求出这两道算谜中的人数各是多少？

有多少银两？

多少绫罗绸缎？

古诗文意思：

有几个客人在房间内分银子，每人分七两，最后多四两，每人分九两，最后还差八两，问有几个人？

有几两银子？

1．你能用算术方法解决吗？

2．你能试着用方程方法解决吗？

预案1 学生用x表示人数，然后根据两种分法总银两数不变，得到方程.

分析：

这道算术诗里什么是不知道的未知量，该用什么来表示这个未知量，要用一个符号来表示未知量，强调x只是习惯性字母符号，在以后数学学习中还会碰到很多希腊字母，α（阿而法），β（贝塔），δ（德尔塔），ε（艾普西龙），λ（兰姆达），ξ（可系，克西），ω（欧米伽）（数学家们给数学下个定义，说数学研究现实世界的空间形式和数量关系，空间形式和数量关系是对现实世界抽象的结果，所以在现代数学里很多东西都被符号化），再次强调x具体什么未知量，比如这道题里，有人数和银两的数目，要说清楚，否则不知道是表示牛还是马了。

所以要求写明，也就是设的问题了。

把代表未知量的字母加入到运算中来，x表示人数，7x就表示每人7两银子分掉的银子数量，由于还有四两没分，也就是不知道给谁的四两银子，因此所有银子总数为7x+4，而他们另外一种分法，可以得到所有银子总数还可以表示为9x—8.银子总数是固定不变的，这堆银子不会突然增多，也不会突然减少，所以把式子7x+4和式子9x—8用等号连接。

得到的了方程，方程就是含有字母等式吗，列方程工作到这就结束了。

回想小结;列方程过程中的关键是什么，

寻找到等量关系，从而列出方程。

这里应该抓住方程就是含有字母等式的本质。

这个过程相当于把实际问题转化为数学问题，而一元一次方程就是我们解决实际问题的工具。

预案2 用x表示总银两数，根据两种分法人数相同，得到方程

 让学生讨论解决

引例一：

巍巍古寺在山林，不知寺内多少僧。

三百六十四只碗,看看用尽不差争。

三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。

这首诗的意思翻译:

一共364个碗,三个人用一个碗吃饭,四个人用一个碗喝汤.刚好用364个碗.问一共多少个人?

解：

设寺内共有X名僧人。

x\3＋x\4＝364    x=624  有624个僧人“遨游太空”

引例二：

“嫦娥一号”是我国目前发射的最远距离的卫星，距地球的距离约为38万公里，比我国以前发射的最远距离的卫星离地面的9倍还多2万公里．我国以前发射最远距离的卫星离地面的距离是多少万公里?

1．你能用算术方法解决吗？

2．你能试着用方程方法解决吗？

若设我国以前发射的最远距离的卫星离地面x万公里那么“嫦娥一号”距地球的距离用含x的式子表示为（9x+2）万，“嫦娥一号”距地球的距离为38万公里

列出方程：

9x+2=38

引例三：

“回到过去”

古老经典题

1\鸡兔同笼问题

笼中有34只鸡,104只脚,问笼中有几只鸡,几只兔?

解：

设笼中有X只兔。

4x+68=104

引例四：

一百钱需买一百只鸡,已知小鸡1.5钱一个,大鸡2.7钱一个.问能买几只大鸡,几只小鸡?

解：

设买x只大鸡，。

1.5（100—x）+2.7x=100

3\销售打折问题

4\工程问题

三、归纳小结，反思提高

师：

同学们，通过这节课的学习，你学到了什么新知识？

[课堂小结交给学生，让学生养成善于总结的好习惯。

惟有总结反思，才能控制思维操作，才能促进理解，提高认知水平，更好地进行知识建构，实现良性循环]

四、布置作业：

练习册p78按学生的情况分层布置。

五、板书设计

       实际问题与一元一次方程（板书设计） 

实际问题                      数学问题（一元一次方程）

 实际问题                      数学问题（x=a）

  的答案

教学设计说明

（一）教学目标的确定

本节课的教学目标是从知识与技能、过程与方法、情感与态度三个方面，根据《全日制义务教育数学课程标准》中关于“一元一次方程与实际问题”的教学要求，结合学生的实际情况确定的．

学生在小学时已经能较为熟练的运用算术方法解决问题，列出的算式只能用已知数；而方程是根据问题中的等量关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数．通过比较，让学生感受到方程作为刻画现实世界有效模型的意义，明确列方程的关键就是根据题意找到“相等关系”，能用方程来描述和刻画事物间的相等关系．

通过对实际问题的研究，学生可以初步认识到日常生活中的许多问题可以用数学方法解决，体验到实际问题“数学化”的过程．

（二）教学过程的设计

１．通过设置“经典数学问题”这一情境来复习方程的概念，以激发学生的好奇心和主动参与学习的欲望．通过比较算术方法和方程方法的区别，初步体验从算术到方程是数学的进步．

２．设置的例题与练习给学生提供了丰富多彩的、贴近学生生活实际的问题情境，以鼓励和培养学生应用数学知识解决实际问题的意识，并鼓励学生从不同的角度分析问题，根据不同的设法，列出不同的方程．在学习数学知识的同时，还渗透了对学生的人文教育．

３．通过师生共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，培养学生归纳、概括的能力．

作业安排是为了让学生更进一步落实课堂教学目标，选做题是为了满足不同层次学生的需求，为学有余力的学生提供发展空间.

4.主要采用了启发式讲授的教学方法，以生活中的实际问题为例来创设情境，引导学生关注国家大事、身边小事、生产实践等实际问题.在课堂上努力营造一种学生自主探究和合作交流的氛围，引导学生去分析思考和归纳总结，进而达到对知识的“发现”和接受的目的．有意识地给学生创造一个欣赏数学、探索数学的平台,渗透给学生由实际问题抽象为方程模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想、方程的思想、逆向思维的思想.

（三）教学过程中我的课堂用语

开课用语：

   今天这节课是第一次用数学解决实际问题的专题讲述。

事实上数学广泛的应用于社会生产，社会生活的各个方面，数学将是你获得一切科学知识，和学习一切科学知识的普遍工具。

以后同学们要学习到的物理，化学，计算机，以及经济学等等，数学已经应用在社会的各个领域。

从数学的发展史来看，数学的发展发生都来源于实际，你们现在学习的数学就是人类实际生活发展出来的智慧结晶，数学家们说数学是宇宙的语言，可以说数学的发生，发展就是为了解决实际问题的，说白了也就是数学是有用的，数学可以解决问题的。

有一个法国数学家，他是解析几何的创始人，笛卡尔就说过这样的一句话：

宇宙的一切问题都可以归结为一个数学问题，一切数学问题都可以归结为代数问题，一切代数问题都可以归结为方程问题。

当然他这句里的“一切”这个词语表述有些轻率，或者说是一数学家对数学本身憧憬的一个美丽的传说，但是足以说明方程在整个数学发展领域的重要性。

今天我跟同学主要讨论的就是怎样用我们学到的一元一次方程解决实际问题，以及再用一元一次方程解决实际问题中我们该怎么思考，用一元一次方程解决实际问题的关键步骤是什么?

等等这些问题。

分析部分教师用语：

   这道算术诗里什么是不知道的未知量，该用什么来表示这个未知量，要用一个符号来表示未知量，强调x只是习惯性字母符号，在以后数学学习中还会碰到很多希腊字母，α（阿而法），β（贝塔），δ（德尔塔），ε（艾普西龙），λ（兰姆达），ξ（可系，克西），ω（欧米伽）（数学家们给数学下个定义，说数学研究现实世界的空间形式和数量关系，空间形式和数量关系是对现实世界抽象的结果，所以在现代数学里很多东西都被符号化），再次强调x具体什么未知量，比如这道题里，有人数和银两的数目，要说清楚，否则不知道是表示牛还是马了。

所以要求写明，也就是设的问题了。

把代表未知量的字母加入到运算中来，x表示人数，7x就表示每人7两银子分掉的银子数量，由于还有四两没分，也就是不知道给谁的四两银子，因此所有银子总数为7x+4，而他们另外一种分法，可以得到所有银子总数还可以表示为9x—8.银子总数是固定不变的，这堆银子不会突然增多，也不会突然减少，所以把式子7x+4和式子9x—8用等号连接。

得到的了方程，方程就是含有字母等式吗，列方程工作到这就结束了。

  （四）渗透数学思想（学生体验和感受数学思想方法，从实际到数学的化归法、字母表示数的思想、方程的思想、逆向思维的思想，是数学教师的教学重点）

在数学对象方面，学生在小学所接触的数学对象仅仅是一些具体的数字，到了中学，则要学习表示数、字母及其构成的代数式、方程以及各种关系等；在方法方面，学生在小学只要求完成一些具体数字的计算，到了中学，则要学习推理和论证。

从小学数学到中学数学，必将经历一个从特殊到一般、从具体到抽象、从简单到复杂的质的转变过程。

这个转变过程将对整个中学数学学习起到举足轻重的作用，而完成这一转变的关键时期就是初一。

因此，数学教学工作者必须抓住这个关键时期尽力使初一学生得以有效转变，而数学思想的渗透教学是促进有效转变的措施之一。

数学思想被称为数学的“软件”，是数学的基本观点和基本处理方法，它建立在一般具体的数学概念和数学方法的基础上，是数学的抽象概括的产物。

许多学生对具体的数学知识学过之后可能会忘掉，但通过知识表现的数学思想却永远不会忘掉。

因此，从初一开始就将数学思想的渗透作为教学的核心，将为学生今后的学习打下坚实的基础，使学生终生受益。

按照新课程理念要求，本节课及教材这部分内容承担者培养学生或教学中需要渗透的数学思想如下：

【“学习物理，化学等学科需要大量的实验器材，而学习数学只要一个脑袋，一张稿纸，一支笔，因此数学活动主要人物是引领学生完成思维活动，思维活动比较安静，是最重要的数学活动，学生动与不动不能看外象，要看学生的反应。

” 摘自：

国家远程培训李文林讲话，李文林简介：

中国科学院数学与系统科学研究院研究员，数学家、数学史专家。

1965年毕业于中国科学技术大学数学系；毕业后在中国科学院数学研究所工作，1989年任研究员；1993年被国务院学位委员会批准为博士生导师。

曾任中国科学院数学研究所党委书记、副所长；中国数学会秘书长；国际数学联盟（IMU）数学史委员会委员。

曾先后应邀赴英国剑桥大学、法国国家科研中心、美国麻省理工学院、瑞士苏黎世大学、日本东京大学、印度新德里大学等访问讲学。

代表性专著有《数学史概论》（高等教育出版社）;《数学的进化—东西方数学史比较研究》（科学出版社）等。

长期担任教育部中小学教材审定委员会数学学科组召集人，评审了大量中学数学教材，新课程实施以来，亲赴中小学数学教学一线，做过很多基础调研，并作为核心成员参与《义务教育阶段数学课程标准（实验稿）》修订工作。

】

1、符号表示的思想

符号表示的思想是初中数学最基本的思想之一。

正是有了符号表示的思想，才使数学从数字数学过渡到符号数学，成为一门高度抽象、高度概括和高度简捷的科学。

由于初一教材安排来了大量的有关用字母表示数、用代数式表示数量关系等内容，为符号表示的思想学习提供了条件。

为了使学生更好地掌握符号表示的思想，数学教学工作者应注意以下两个方面：

第一，强化对符号表示思想自然性和优越性的认识，使学生明白，算术能解决的问题是十分有限的，还有大量问题算术不易解决甚至不能解决。

为了使问题得以解决且解决得简捷，我们自然希望寻求比算术更好的方法，引进了数学符号表示数学对象，它能使数学事实表达得更加简单明了，更便于书写和研究，更富有概括意义。

例如，用“”表示“一个数的倒数与另一个数的倒数的和”、用“-a”表示“一个数的相反数”就充分体现出上述优点。

有了这些强烈的意识之后，符号表示思想就会真正转化为学生自己有用的技能之一。

第二，强调准确理解和正确使用数学符号。

这可以通过大量的对比练习来进行。

例如，对于符号“-”，则要讲清楚它的三层含义：

作为运算符号时表示“减”，作为性质符号时表示“负”，作为相互关系含义时表示“相反”的意思。

如“”表示“”的相反数”，这样可以避免把“”当作负数。

2、方程的思想

所谓方程的思想，就是指对所求数学问题通过列方程（组）使问题获解，具体说就是把问题中已知量与未知量之间的数量关系转化为解方程（组）的数学问题，其实质就是数学建模。

这种思想广泛应用在解应用题中。

教学中，要向学生讲清算术解法与代数解法的重要区别，明确代数解法的优越性。

代数解法从一开始就抓住既包括已知数、也包括未知数的整体，在这个整体中未知数与已知数的地位是平等的，通过等式变形，改变未知数与已知数的关系，最后使未知数成为一个已知数。

而算术解法，往往是从已知数开始，一步步向前探索，到解题基本结束，才找出所求未知数与已知数的关系，这样的解法是从把未知数排斥在外的局部出发的，因此未知数对已知数来说其地位是特殊的。

与算术解法相比，代数解法显得居高临下，省时省力。

通过方程思想的教学，学生对用字母表示数及代数解法的优越性得到深刻的认识，激发他们学好方程知识，运用方程思想去解决问题。

由此，学生用代数方法解决问题和建立数学模型的能力得到了培养。

3、逆向思维的思想

初一的数学教材中有许多互逆关系的内容。

因此在学习知识的过程中，应该逐步帮助学生用逆向思维的方法去理解和巩固所学的知识与方法，并能自觉地将其作为解答问题后的检查方法之一，养成良好的自我检查习惯，培养学生学习的主动性与自信心。

学了方程思想要求学生知道得到的解可以使方程左右两边相等，从而检验解的真确性，学了乘法的分配律，自然也会想到分配律的逆运用。

有去括号法则，反过来就有添括号法则，添括号对不对，可用去括号来检验。

学了绝对值概念后，知道绝对值等于5的数有几个?

两个数的绝对值相等，这两个数是否相等?

平行线判定的三个命题，反过来成立不成立，等等。

经常这样思考问题，经常这样思考引起学生的认知冲突，就有利于学生加深对知识的理解，发展学生逆向思维能力，培养学生思维的灵活性。

    教后反思

一、知识结构思考

本小节通过列出一元一次方程来解决的应用题．通过本小节的教学，要把学生学过的有关知识应用于实际；要使学生初步使用代数中的方程去反映现实世界中的相等关系，并逐步体会代数方法的优越性；要向学生渗透把未知转化为已知的辩证思想，培养学生分析问题和解决问题的能力，同时通过应用题的内容，向学生介绍我国社会主义改革和建设的成就，介绍我国古代数学家对一元一次方程的研究，向学生进行爱国主义教育．

三、教法思考

1．学生初学列方程解应用题时，首先要仔细审题，弄清题意，找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，但分析的过程可以只写在草稿纸上．在写解的过程时，应先设未知数，再根据相等关系列出需要的代数式，把相等关系表示成方程形式．然后解这个方程，并写出答案．在设未知数时，如果有单位，必须写在字母后面．

  在对题目进行分析时，重点应放在如何找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系．

如果找不出这样的相等关系，方程就列不出来；反过来，在找出这样的相等关系后，将其中涉及的待求的某个数设成未知数，其余的数用已知数或含有已知数与未知数的代数式表示出

来，方程就列出来了．  

2．学生在列方程解应用题时主要存在三个方面的困难：

（1）抓不住相等关系；

（2）找出相等关系后不会列方程；

（3）习惯于用算术解法，对用代数方法分析应用题不适应，不知道要抓相等关系．

  解决这三个困难时，重点应放在第一个．解决第三个困难，应在本小节的教学中反复告诉学生：

有些问题用算术解法是不方便的，最好用代数解法；只要找出相等关系，用等式表示出来，就列出了方程；再利用解方程的方法，就可求出未知数的值．

3．由于学生在分析问题时思路（包括选择未知数）不同，列出的方程也可能不一样：

有的简，有的繁；有的则是同一个方程的不同形式，可以利用等式的性质，把其中一种形式变到另一种形式去．应该告诉学生，尽管由于大家思路不同，得出的方程表面上不一样，但只要思路正确，所列方程合理，那么，得出的应用题的答案总是一样的．当然，教师应鼓励学生选择合理的思路，使得方程尽可能简单一些．