小学奥数136 公式运用专项练习及答案解析.docx
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小学奥数136公式运用专项练习及答案解析
知识点拨
一、常用公式
1.
；
2.
；
3.
；
4.
；
5.等比数列求和公式：
（
）；
6.平方差公式：
；
7.完全平方公式：
，
；
用文字表述为：
两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的
倍，两条公式也可以合写在一起：
．为便于记忆，可形象的叙述为：
“首平方，尾平方，
倍乘积在中央”．
二、常用技巧
1.
；
2.
；
3.
，
，
，
，
，
；
4.
，其中
．
例题精讲
一、前
项和
【例1】
【考点】公式法之求和公式【难度】2星【题型】计算
【解析】
【答案】
【巩固】
【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【例2】计算：
【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【例3】计算：
【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【巩固】计算：
___________．
【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空
【解析】与公式
相比，
缺少偶数项，所以可以先补上偶数项．
原式
【答案】
【例4】计算：
【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空
【解析】原式
【答案】
【例5】计算：
。
【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空
【关键词】西城实验
【解析】原式
其中也可以直接根据公式
得出
【答案】
【例6】计算：
【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算
【解析】分拆（
）
，（
）
再用公式
原式
【答案】
【例7】对自然数
和
，规定
，例如
，那么：
⑴
______________；
⑵
______________．
【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空
【解析】⑴原式
⑵原式
【答案】⑴
⑵
【巩固】看规律
，
，
……，试求
【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算
【关键词】人大附中
【解析】原式
【答案】
【例8】计算：
【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算
【解析】法一：
利用等比数列求和公式。
原式
法二：
错位相减法．
设
则
，
，整理可得
．
法三：
本题与例3相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3中的分子为3，与公比4差1，所以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项
的分子变得也都与公比差1．由于公比为3，要把分子变为2，可以先将每一项都乘以2进行算，最后再将所得的结果除以2即得到原式的值．
由题设，
，则运用“借来还去”的方法可得到
，
整理得到
．
【答案】
【例9】计算
的值。
（已知
，
，
，
，
，
，
，
）
【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算
【解析】注意到式子的特点是从第一个加数开始，每一个加数比前一个加数
的指数减少
，
的指数增加
.所以每一个加数是前一个加数的
倍，如果将题中加数按原来的顺序排列起来就是一个公比为
的等比数列，于是按照错位减法进行运算即可。
记
，那么
，即原式的值为
.
【答案】
【例10】
．
【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空
【关键词】浙江省，小学数学活动课夏令营
【解析】原式
【答案】
【解析】计算：
．
【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空
【解析】原式
【答案】
【解析】
【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空
【解析】原式
【答案】
【例11】计算：
【考点】公式法之求和公式【难度】4星【题型】计算
【解析】设算式的值为
，那么
，
，
即
，
故
，则
，
所以
，
．
【答案】
二、平方差与完全平方公式
【例12】⑴
________；
⑵
________．
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空
【关键词】浙江省，小学数学活动课夏令营
【解析】⑴观察可知31415925和31415927都与31415926相差1，设
，
原式
⑵原式
【答案】⑴
⑵
【巩固】
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】方法一：
原式
方法二：
原式
【答案】
【巩固】
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】原式
【答案】
【巩固】计算：
＝。
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】3星【题型】填空
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】题目分析：
答案为100000。
记原式为X，则
10X=314×314+628×686+686×686
=3142+2×314×686+6862
=（314+686）2=1000000，所以，X=100000。
【答案】
【例13】有一串数
，
，
，
，
，
……它们是按一定规律排列的，那么其中第
个数与第
个数相差多少？
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空
【解析】这串数中第
个数是
，而第
个数是
，它们相差
【答案】
【巩固】
代表任意数字，若
，这个公式在数学上称为平方差公式．根据公式，你来巧算下列各题吧．
⑴
⑵
⑶
⑷
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】计算
【解析】这个公式可以给我们的计算带来很多便利,在以后的奥数学习中会经常遇到,同学们最好记住哦.我们就依据公式
来进行下面的计算:
⑴
⑵
⑶
⑷
【答案】⑴
⑵
⑶
⑷
【例14】计算：
．
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】3星【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级组，决赛
【解析】本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．
原式
其中
可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式
进行计算．
【答案】
【例15】
．
【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空
【关键词】迎春杯，初赛
【解析】原式
【答案】
三、公式综合运用
【例16】计算：
．
【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空
【关键词】仁华学校
【解析】观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为1，3，5，……，99，乘数依次为4，7，10，……，151，根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为
，乘数可以表示为
，所以通项公式为
．所以，
原式
另解：
如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以先将这个差变为相等再进行计算．
原式
而
和
都是我们非常熟悉的．
，
，
所以原式
小结：
从上面的计算过程中可以看出，
，而
，
所以有
【答案】
【例17】计算：
．
【考点】公式法之综合运用【难度】4星【题型】填空
【解析】
，
所以，
，
所以原式
【答案】
【例18】计算：
【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算
【关键词】北京二中，入学测试
【解析】原式
【答案】
【巩固】计算
【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算
【解析】这个题目重新整理得：
【答案】
【巩固】计算：
．
【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算
【解析】做这道题的时候，可能有些以前记住了20以内平方数的同学就高兴了，但是其实并不需要，大家看，利用平方差公式：
，
，
，
．
于是，原式
【答案】
【例19】
【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【例20】计算：
．
【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空
【解析】原式
【答案】
【巩固】计算：
．
【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空
【解析】观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式．
原式
【答案】
【巩固】
【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空
【关键词】学而思杯，4年级
【解析】原式
【答案】
【例21】计算：
【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【巩固】计算：
．
【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空
【解析】原式
【答案】
【例22】计算：
【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【例23】计算：
【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
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