高数第八章答案.docx
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高数第八章答案
第一节多元函数的概念
1
1.
(1)(x,y)-<
e
(2){(x,y)2kwx
寸二2k1,k=0,1,2,|||
(3)((x,y)1£x2+
y2z2乞9
2.
(1)原式二1叫(\x2y211)=2
y>0
(2)不连续,当不沿坐标轴趋近(0,0)时,极限值不等于函数值。
第二节偏导数
1.
(1)
—-y2(1xy)y1;二=(1xy)y[ln(1xy)
1+xy
(2)
y
cU
yzcos(xyz)2xy;xzcos(xyz)
■z
xycos(xyz)6z
(3)
z(x-y)z1u
■-
2z;
1(x-y)y
(x-y)zln(x-y)
z(x-y)z,
■
2z;
1(x-y)2z
1(x-y)2z
:
:
z
2.—
y
(1,1,3)
=y
1x2y2
z
xx2
3.
-2
:
z
(1,1,3)
_222
xzx-y■—
2;一22
yx(x
2xy3z
■—
222,2
xy(xy)xy
2、2、
y)
2x(x4-2x2y2-3y4)
22
(xy)
4.f(x,1)=x,fx(x,1p1
5•由上节知,不连续。
fx(0,0)E(x,0)「f(0,0)
0,偏导数存在。
fy(0,0)二0
第三节全微分
d(-)y1ydx—xdy
1.
(1)dz--
4(x)2yJy2-x
(2)du=yzxyz1dxzxyzlnxdyyxyzInxdz
fx(0,0)rmf(x,0)f(0,0)"
xx>0
3.
(1)fy(0,0)=0
f(x,y)-f(0,0)-xfx(0,0)-yfy(0,0)lim
-0
可微,则连续。
fx(0,0)
limf(x,0)f(0,0)=1
Xr0
不可微。
(2)fy(0,0)
f(x,y)-f(0,0)-xfx(0,0)-yfy(0,0)
lim0
-0
第四节多元复合函数的求导法则
dZ8765
1.
(1)108x64x-7x-6x
X2
'y2-x2(y\'x2'1)
dx
(3)送=2f“xf2yexv;三=2£yf2xeXvexcy
aucucu
(4)
(1Vvz)f;(xxz)f;xyf
&x钓cz
右二gaf2b=左,证毕
x
^2
2xfz=2(f4x2
x
f);
4xyf
x2
-f1sinxcosx(f11cosxf13exy)exyf3
exy(f3icosxf33exy)
$2
—=-f1sinxcosx(f11cosxf13exy)exyf3x
exy(f31cosxf33exy)
:
2
cosx(一f12sinxf13exy)exyf3xy
exy(f32sinxf33exy)
6教材P3113题
第五节隐函数的求导公式
:
:
1•两边对x求导1—=cos(yzy)z(xy—解)得ex已x
此题也可直接用隐函数的求导公式
2(0,0,1)=一13.教材P377题,4..教材P376题5•此题u是常数,两边微分得
dy=()dxu(-)dt
.rl、
:
y:
y
u(w)比较即可
xt
-2-2
:
y;y
二u2()
JL=cp"+屮”,
□2_,血2
xt
6.
(1)教材P3710题
(1)
解得畋z3x先2x-ydx3y-2z'dx3y-2z
(3)教材P3710题(3)
(4)两边对x求导,得
u2vy3v-
7.P3811题
第六节
微分法在几何上的应用
2.教材P453题
3.令Fq=x2y2z2-4a2,F2=x2y2-2ay
切向量n=a,a,2aa,0,0;=0八2a2,-a2
x~ay-az-J2a切线-y-a
法平面、、2(y-a)-(z-、、、2a)=0
4.令F二ylnx-lnz-z=O
1i〕
法向量n=」一,1,-—-1卜={1,1,-2}
xz几0
切平面x-1y-1-2(z-1)=0
法线5.教材P4510题
6.两边微分
n="yb)F1(zc)F2,(xa)F1,(xa)F2:
过任意一点(x0,y0,z0)的切平面
[(y-b)F1(z-c)F2】(x-X。
)(x-a)F'y-y。
)
(x-a)F2(z-zop0
切平面过(a,b,c)点
第八节多元函数的极值及其求法
zx=2x2y-4=0
2.zy=2x+8=0'驻点(「4'6),z(4'6)=32
在y=0上,最小值为-4,最大值为0
在y二2上,最小值为16,最大值为17
在x=1上,最小值为-3,最大值为
17
函数的最小值为-4,最大值为32
4教材P618
5.教材P6110
第八章测试题
1.选择题
(1)D
(2)B(3)B(4)C(5)D
2.填空题
⑵-給J*4)*1)"
i
(3)fXyfi⑷8(5)1
:
2
:
z2x
4ye
xy
护
3.
(1)—2二e2x(4x24y28x2)
2
cx
-:
z
4xsinyz
2x\ycosy-Inz
(3)
fx(0,0)=lim
0
f(x,0)f(0,0)恤x
不存在
x>0x
fy(0,0)“imf(0,y)f(0,0)
lim》二0
y—;0
y>0y
dz二dx(z)dyy(z)dz
dx(z)dy
4.dz二
1_y护(z)
d'fxdxfzdz=(fx1一y(z)
)dx
fz(z)
1y(z)dy
5•间断点(x,y)
6.gradf
x3y3
其余点连续。
(0,0,0)八3,一2,°‘,
大小
gradf
(0,0,0)
3
方向cos,cos二
x/13
cos二
13
7.利用隐函数的偏导数
i8
得驻点2,0,1,f,0,
在2,0,1点,
4x8z
x
■:
z
y
16
8xz-1
4y
=0
8xz-1
4
("2,0,1)一4上h0,B-zxy
(-2,0,1)=0,C=zyy
7丿
(-2,0,1)
Azxx
4
15
AC-B20,A0,-2,0,1是极小值点,极小值为0
同理