从经济数学中变与不变问题的辩证关系谈起.docx
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从经济数学中变与不变问题的辩证关系谈起
从经济数学中“变与不变”问题的辩证关系谈起
从经济数学中变与不变问题的辩证关系谈起内容提要：
抽象思维能力的发展是数学中一个富有挑战性的目标，从哲学的角度探讨经济数学中的辩证思维，在经济数学中渗透辩证的思维方法，可以使人们对经济数学的认识产生一个新的高度，也是增长思维智慧的最佳方法。
关键词：
运动；转化；思维功能；运用初等数学基本上研究的是常量数学，而经济数学研究的是变量数学。
经济数学中的变量已不是考查事物运动的一个断面，而是运动的整个过程，已不是拍照而是录像了。
正如恩格斯曾指出：
初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样；而变量数学，其中最重要的部分是微积分，本质上不外是辩证法在数学方面的运用。
而辩证法突破了形式逻辑的狭隘界限，所以它包含着更广的世界观的萌芽。
经济数学中变量的变与不变，反映了事物运动变化与相对静止的两种不同状态，以及它们在一定条件下的相互转化，这种转化是数学科学的有力杠杆之一。
这种理念是打开经济数学之门的一把钥匙，也是我们发现事物的规律，把握事物的关键，考察事物的发展过程，研究事物的变与不变以及对事物应变能力的强弱，有的放矢地处理问题关键所在。
一、认识经济数学中变与不变的辩证关系微积分的基本思想是极限的思想。
我们用极限的思想去讨论函数的两个基本概念：
变率与求和，这也就是微分运算和积分运算的起源。
极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。
借助极限思想，我们可以从不变认识变，从有限认识无限。
学习微积分也就是要学会灵活运用极限思想去简化和解决实际问题。
（一）变率问题在经济管理中，常常会使用变化率的概念，而变化率又分为平均变化率和瞬时变化率（边际函数）。
平均变化率就是函数增量与自变量的增量之比。
如我们常用到年产量的平均变化率、成本的平均变化率等。
而瞬时变化率就是指函数对自变量的导数，即当自变量的增量趋于零时平均变化率的极限。
从观念上看，平均变化率是有限且比较初等的概念，而瞬时变化率的概念中涉及极限，是进一层的、比较复杂的无限过程。
从计算的着眼点来看，一般经济函数的平均变化率是一个较复杂的函数，要精确计算它是困难的，甚至是不可能的，并且我们在理论研究和实际应用中，往往只需要了解它的近似值就可以了，于是在一定条件下，我们用瞬时变化率函数近似替代平均变化率函数，起到简洁易算的作用。
上述思想的几何直观是：
用愈高倍的显微镜去观察一条光滑曲线一点的局部微段，曲线和切线就愈来愈密合而难以区分。
（二）求和问题在经济管理中，还有一类问题是：
已知边际函数求总函数（如总成本函数、总利润函数等）在某个范围的改变量（即求总量）。
大多数求总量的问题，初等数学无法解决，而使用定积分的方法却能迎刃而解。
初等数学不能解决的求总量的问题包含着初等数学不能解决的变与不变的矛盾，定积分的方法是辩证的方法，与总量一类问题本身所固有的辩证内容相吻合。
定积分作为和式的极限，经过化整为零、以常代变、积零为整、无限逼近的过程求出定积分值，它充分体现了整体与局部、总量与部分量、变与不变、近似与精确、量变与质变等矛盾的对立统一。
一般而论，曲和直相应变和不变，曲说明方向在变，直说明方向不变。
定积分就是运用辩证的变与不变这一对矛盾的相互转化解决问题的。
早在公元3世纪魏晋时期，我国古代数学家刘徽成功地运用变与不变矛盾的对立统一思想，通过化整为零，在局部范围内用初等数学的方法求出部分量的近似值，再把这个部分量的近似值用初等数学的方法加起来，逼近总量的近似值，得出圆周率的近似值。
刘徽在《九章算术》（263年）方田章圆田术中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积和圆周率的基础。
割圆术的精髓是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。
设圆的半径r为l尺，从圆内接正六边出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的面积，当算到192边形时，得出圆周率的近似值3.14，这就是著名的徽率。
他指出：
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。
并一再对徽率声明：
此率商微少，需要的话，可以继续算下去，得出更精确的近似值。
刘徽的割圆术先运用无穷小分割，然后运用极限求和，这类似于一块块砖的边是直的，但是可砌出圆形的烟囱，砖越小（或烟囱越大）烟囱越圆。
刘徽的思想架起了通向微积分学的桥梁，而且比古希腊数学家更接近微积分的思想。
（三）实例分析在经济数学中，变与不变矛盾的相互转化问题很多，例如以下的问题（因文章篇幅所限，仅给出问题的分析）：
[分析】我们这样考虑问题：
把xoy坐标平面想像成水平面，而把对应的函数z标在垂直方向上，这样在空间直角坐标系的曲面z=f（x，y）恰似在平地上的山峰和山谷一样。
山峰的斜率刻画了山峰的陡峭成度。
如果问：
由南一直向北走，南北方向山峰的坡度有多大？
用数学语言来问，即：
一直沿x方向走，斜率是多少呢？
答案很简单，想求此方向的斜率，可以设y保持不变（即不管东西方向山峰的坡度，把它暂时视作平地，也即将变量y暂时视作常量），然后按一元函数求导的方法求出f对z的偏导数，而在偏导函数中，，，应还原其本来是变量的本质（即东西方向山峰是有坡度而非平地）。
由于上式左端变上限积分函数的积分变量是t，因此被积函数中的变量x要暂时视作常量，由积分运算的性质，它可以提到积分号外面。
当将x提到积分号外面后，此时的x是变量，并以变量的形式参与后面的求导运算。
【分析】方程与函数相比，前者是静止，后者是运动。
方程的解可视为对应函数在某种特定状态下的值。
在研究方程问题时，我们可以从函数的观点出发，化静为动，这样可以化繁为简。
由于方程中Xl、xz的系数行列式不为零，于是将方程组中的X3移至方程式的右边（移项就是运动），并将它暂时视作常量，运用cramer求解。
最后，将X3还原其变量的本来属性，得到方程组的全部解。
可以看成是元素或数（可视作函数中的常量）。
小块矩阵在运算中的二重性，折射出变与不变矛盾的转化与统一。
在计算仨：
三引．（复：
BnJ的过程中，我们先将AF、毋暂时视作元素，计算两个二阶方阵的乘积。
然后还原Av、毋本身是矩阵的属性，计算相关小矩阵之间的运算。
最后将数据填人A与B的乘积矩阵中。
上述计算过程的思想是复杂的，然而从计算的角度看，它极大地提高了高阶矩阵乘积的运算效率，有着实际运用价值。
二、学习的目的在于掌握并运用变与不变的思维功能中国最早最权威的经典《易经》就是讲变的：
《易经》者，变易也。
（《三国志魏书三少帝纪》）简单概括《易经》就是告诉人们应当在变动中把握事物、认识事物。
有关不变的训谕最晚也始于《诗经》：
匪今斯今，振古如兹。
（不是今天才如此，自古以来就如此啊）千年不变的人治礼教数不胜数，举其荦荦大端者，如以吏为师、法先王、唯上智与下愚不移、不愆不忘，率由旧章、天不变道亦不变、民可使由之，不可使知之，等等。
通常人们认为，年轻人敢于变化，敢于求新，但少有明确的原则和坚定的立场；而老年人一般过于坚持己见，惮于改变而显得过于固执，缺少新意。
纵观人的一生，并不是每个人都能掌握变与不变的智慧，有些人即使希望自己能够做到这样，也因为能力的原因不能如愿。
由此可见，对变与不变的合理掌握是具有智慧的表现。
一个人如果掌握了变与不变的合理尺度，他就能在瞬息万变的社会中既保持自己的原则立场，也能适应时代潮流。
（一）以史为鉴，审时度势事情往往有正必有反，有顺必有逆，有利就有不利，有直便有曲，古来如此。
善谋国并善某身的政治家，能够从直中见曲，从利中见不利，从不利中见利，抓住事物的本质与特点，制定相应的决策。
春秋战国时期，楚庄王想攻打陈国，于是他派间谍去刺探陈国的国情。
侦查人员回报：
陈国城高沟深，储备丰富。
楚庄王听后满意地说：
那么，陈国可以攻伐！
陈国国小储备丰富，说明赋敛繁重；城高沟深，说明民力疲惫。
于是，楚国起兵，一举攻下陈国。
这就是从曲中见直，从不利中见有利。
越国的范蠡在帮助勾践复国后，采取了一个出人意料的举动坚持不就相位。
经过长期的观察，范蠡认识到，勾践为人，可与同患，难与处安。
如果继续留在越国，说不定哪一天就要灾难临头。
于是决定辞官隐退，并写信给一同辅佐勾践的重臣文仲，劝其早日离开勾践。
然范蠡去，文仲留，去者全身而退，留者终被勾践杀害。
苏东坡对此评论：
春秋以来，用舍进退，未有范蠡之全者也。
范蠡深知富极祸来的道理，这就是从直中见曲，从有利中见不利。
事物的发展变化，既像圆环一样循环连接，又在每一发展阶段有自己的特点和现实背景。
我们应该反复探求事物的连续性和独立性，抓住不同事物的特点，依据不同的事实情况制定不同的决策，依据事物发展完善自己的策略方针。
（二）以狼为师，学狼之长著名的狼学专家博比．卡耐特博士在他的专著《动物之王》中说：
有时候，我会深深地感叹，狼在某些方面所具有的智慧，是人都不能与之相比的。
狼群有自己的社会组织结构和组织纪律，狼群有自己的信仰，狼群有自己的生活准则和生活目标。
为了自己的信仰，为了自己的生活准则和生活目标，它们愿意付出一切，甚至牺牲生命也在所不惜。
但有的时候，它们却会毫不犹豫地改变平时遵循的一些原则。
对变与不变的把握，充分体现了狼族的生存智慧。
要知道：
这些智慧即使是人也很少能够完全掌握。
狼群对捕食对象的选择就体现了它们灵活变化的智慧。
由于某些不确定的因素，自然界的某一物种会突然减少。
驯鹿是狼群非常喜欢的食物，捕猎也比较容易。
但当驯鹿的数量减少时，狼群就尽量减少对驯鹿的捕杀，而是将目光转移到其他动物的身上。
因为它们知道，在驯鹿数量急剧减少的情况下继续捕杀驯鹿，就很容易造成驯鹿的灭绝，以后它们就再也不能捕食到驯鹿了。
在草原上，当狼群遇到暴风雪时，狼群的选择可以说是出乎意料，它们不会选择背风的地方，而是迎着风雪冲上去。
虽然迎风冲上去异常寒冷，但这样就不会被雪埋葬。
狼群为达到目的所使用的策略是千变万化的，狼绝对不会一成不变地看待问题。
在狼看来，变是唯一的不变，以不变应万变，以万变应不变。
对变与不变的把握，充分体现了狼族的生存智慧。
在一般情况下，人们总是惯用常规的思考方式，因为它可以使我们在思考同类或相似问题的时候，能省去许多摸索和试探的步骤，能不走或少走弯路，从而可以缩短思考的时间，减少精力的消耗，似乎可以提高思考的质量和成功率。
正如一位心理学家说过：
只会使用锤子的人，总是把一切问题都看成是钉子。
然而，这样的思维定势往往会起到一种妨碍和束缚作用，它会使人陷入在旧的思考模式的无形框框中，难以进行新的探索和尝试。
常规是人们解决问题的一般性思维，它能凭经验轻车熟路地完成一些工作，解决平常的一些问题，但是总用思维定式来看待事物，那就是傻瓜一个。
当然，变化、革新需要很大的勇气，有的人即使意识到了变革的必要性，也没有变革的勇气。
因为变革一旦失败，他将受到很大的伤害。
但他却没有看到问题的另外一面：
如果不进行变革，他同样会在未来遭受巨大的损失，而变革就有成功的可能，成功的变革将为他的事业开创出一片崭新的领域。
因此，以狼为师，学狼之长，打破常规，学会变通，运用超长的思维会让我们做得别开生面，教我们创造和发明，教我们从容地面对困难，欣然地面对未来。
（三）事在人为，开拓思维的自我人的思维能力的潜力是很大的，即使再怎样开掘，也不会超负荷。
要很好地利用自己这无穷的宝藏。
香港富豪李嘉诚出身贫贱，靠做塑料花生意起家，空空两手打出了惊人的天下。
他的人生格言：
事在人为。
1955年，李嘉诚首次扩张业务，购买了一家正处于倒闭边缘的工厂。
他购买了新机器，接了几个月的订单。
此时，原工厂的一位职工对他说：
我想提醒你，在这条士美菲路上经商的，没有一个是赚到钱离开的，我的老板来的时候也是雄心勃勃，现在差不多要倒闭了，隔壁那两家也好不到哪里去，你年纪轻轻，损失点定金算了。
李嘉诚感激之余说：
订单我已接下了，机器也已经订好了，如果现在不安装设备生产，我将失信于人，我绝对不愿意这样做。
李嘉诚搬进去后小心经营，也特别勤奋，结果生意很好，开工一个月就已赚到全年的经营费用。
不到一年，隔壁的两家工厂都倒闭了，李嘉诚将这两加工厂也租了过来，直到在其他地方盖了新厂房才搬出去。
等他搬离后，许多人抢着要租这几间房。
说来也奇怪，其他人在那里就是做不好。
李嘉诚说：
风水这个东西，你要信也可以，但是最终还是事在人为，重要的是自我充实，做好自己的工作，相信很多本来人为不可能的事情可以转变为可能，眼光放远放大，发展中不忘记稳健，这是我的做人的哲学。
世界船王包玉刚投身航运业以后，经过短短十几年的发展，就成为享誉世界的船王。
1978年，就在他的船运公司发展到事业的最高峰时，包玉刚却做出了一个令所有人惊讶的决定：
减船登陆。
因为他预见到世界航运的衰退即将到来。
伴随着石油危机，各国对石油运输的需求量相应减少，庞大的油轮此时便成为负担，其昂贵的费用会使船主一夜之间就倾家荡产。
包玉刚意识到这个危机后马上把大部分油轮卖掉，此后的四五年中，包玉刚卖掉了超过一半的船只，他用这些钱偿还了所有的债务。
几年之后，世界航运进入萧条，许多船运公司负债累累，以至于破产倒闭，而包玉刚的远见使他顺利地避过了大萧条时期的灾难。
之后，他进军房地产业，收购九龙仓和会德丰，迅速建立起业务广泛的陆上商业王国。
李嘉诚、包玉刚做成了别人不可为的事，靠的是不断开拓思维的自我，以及付出艰辛的劳作。
他们原本是普通、平凡的人，而通过努力学习，勤奋工作，善于观察，敢于变革，才使他们与众不同。
（四）改革开放，辩证统一改革开放作为一场新的伟大革命，要求变化，追求变化．促成变化，但这只是问题的一个方面。
另一方面，改革开放又不是一切推倒重来。
邓小平同志曾多次用变与不变指明改革的本质和前途。
比如，邓小平在《保持香港的繁荣和稳定》一文中说：
不要拒绝变，拒绝变化就不能进步。
这是个思想方法问题。
他在1984年分析改革形势时说：
最大的不变是社会主义制度不变。
这些论述深刻表明，改革开放是变与不变的辩证统一、是继承和发展的辩证统一。
30年来，正是因为我们始终坚持这些不变，才换来了令人欣喜的变amp;rdquo;：
我们积极推进理论创新，但坚持马克思主义基本原理始终不变，马克思主义在中国大地上焕发出勃勃生机；我们大力发展社会主义市场经济，发挥市场的魔力，但坚持社会主义基本制度始终不变，避免了两极分化，使广大人民共享改革发展成果；我们推进政治体制改革，坚定不移发展社会主义民主政治，但坚持党的领导地位始终不变，保证了社会安定团结；我们不断增强党的阶级基础、扩大党的群众基础，但坚持党的性质和宗旨始终不变，保持和发展了党的先进性。
中国过去30年的发展进步靠的是改革开放，中国现在和未来的发展进步仍然要靠改革开放。
在新的更加艰巨繁重的任务、新的更加错综复杂的环境面前，我们必须坚定信念：
坚决走充满生机活力的新路，决不走实践证明是封闭僵化的老路，也决不走那种改旗易帜、放弃共产党领导、放弃社会主义的邪路。
在改革开放中，不变的是我们的理念、目标和原则，变的是我们的方法、途径。
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80-81.[8]郑益乐.教育机会成本探析[J].中国高等教育评估,2009.4:
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