数学竞赛中的代数式求值经典问题.docx
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数学竞赛中的代数式求值经典问题
数学竞赛中的代数式求值经典问题
题型一、代数式恒等变形
C.-1.D.-2.
解析：
1,则a,b,e均不为0.
ab+a+1be+b+1ea-be+1acbbe
—+1
1+ac+cbc+b+11-Fbc+babcbbe
=++
1>+1+lcbt+b+1l+bt+1>1+b+tc
b+1+t）c
选A.
2.若x33=1000,且x22496，则（x33）+（42-2x2y）-2（23）.
解析：
由于x33=1000,且x22496，因此要把（x33）+（42-2x2y）-2（23）
分组、凑项表示为含x33及x22的形式，以便代入求值，为此有
（x33）+（42-2x2y）-2（23）33+22-2x2（x33）-2（x22）=1000-2（-496）=19
92
3.若mHn-p=0,则m--丄+n丄-丄-p丄-丄的值等于.
npmpmn
解析：
3,提示：
m（）n（）p（）
npmpmn
mmnnnp
npmpmn
（mi£）（^£）（^上）
nnmmpp
111
3
4.若2,x22=4,则x19921992的值是（）
A.4B.19922C.21992D.41992
解析：
由2①
平方得x2-22=4②
又已知x22=4③
③-②得=0sy=0.
所以x，y中至少有一个为0，但x22=4.因此，x，y中只能有
一个为0另一个为2或-2.无论哪种情况，都有
x19921992=01992+（±2）1992=21992，选C.
5.在等式2中，当1时2,当1时20,则9b2.
解析：
以12代入2得2①
以120代入2得20②
①-②,222，所以11.因此9.于是
9b2（）+9b2=（-11）X（9）+9X112=990.
0b,的形式,则a19921993
a
U点形丸又可表亍齒6E的形式.也
就是说这两个三数迴分别对应相等，于是可以断
所加黑山只能是
=--1,由干D
a
i!
ii!
-
-,i■为悶聞不村等的有迴数，在-=-:
盼淸况
aa
下，只能是1.于是1.
10.如图6,D点在△的直角边上上，且2,3,若，，那么
m2n2=
解析:
勾股定理：
222222222222
m=5n=3可得：
m-n=16
J?
71
C
11.已知7,22=49,33=133,44=406,试求1995（）+6#（）的值.
分析：
已知7,22=49,33=133,44=406.形式很对称，很容易诱使你将7两边平方，再减去22=49,…想利用乘法公式算出，但一试发现此路不通.由于受所作某些训练题型模式的影响，很多同学仍企图走此路，以致最后陷入死胡同.事实上，平方后必出现a2x2与b2y2，而22中，a,b都不是平方，这一特点已经表明利用乘法公式去消项的方法很难走通.应及时转向，通过一项一项表示，往一起凑这个最基本的方式去做.
解：
显然
2=492,2=492
3=492,3=492
相加得
13333=49（）（）
即
49（）-7133
7（）19①
同理3=1333，3=1333
4=1333，4=1333y
相加得
40644=133（）（22）
即133（）-49406
19（）-758②
由①、②联立，设，
得719
19758,解得2.5，1.5
即2.5，1.5
由7，7
得2=7，2=7
相加得4922=7（）（）
所以1.5（）=49-X2.5
二21
此时即可求得
1995（*+y）+6xy-—（a+b）
=1995x（2.5）+6x（-15）一役门
=4987.5-9-178.5=4800
说明：
本题虽然所用知识单元块均在初一学过，但解此题需要考生有较强的应变能力与观察综合能力，并且计算也要很细心，因此本题属于对学生数学素质综合检查的题目本题改编自下面的问题“已知8，22=22，33=62,44=178,试求1995（）+6之值”.有兴趣的读者不防解一解看.答案是10011.再想一想，满足题设条件的a与b两数之和等于多少?
你能独立地求出之值吗？
（答3）
题型二、多项式的带余除法
1.设m+m-1=0,则m+2m+1997=.
解析：
原式=m+m-m+m+m—1+1998
22
=m（m+m—1）+（m+m—1）+1998
=（m+m—1）（m+1）+1998
由于m+m—1=0,二原式=1998.
2.如果x2—仁0,贝Ux3+2x2+3=4.
3.若X23x10,则x35x25x1820
4•如果x22x3，那么x47x38x213x1518。
5.已知a32a2，贝卩3a612a4a312a22a4=。
6.若x22x5是x4px2q的一个因式，则pq的值是150题型三、多项式展开式
1.若（2x2
x1）3
6
a°x
5
a〔x
4
a2X
32
a3Xa4X
a5xa6，贝Ua1a3a5=
-4
2.如
果
2x1
6
a。
qx
23
azXa^x
4
aqX
56
a§xa6X,
那
么
a°a1a?
a3a4
a5
a6=
1
一；a°a2
a4a6
=365.
解析：
杨辉三角：
1
2-11次
4-41
2次
8-126-1
3次
64-192240-16060-121
6次
所以：
一式=1-12+60-160+240-192+64=1
二式=1+60+240+64=365
体型四、裂项求和法
1.方程+++•••+=2008的解是x=2009
门~顽92009的解是X
1005
题型五、比例性质
2.三个有理数a,b,c满足a：
b:
2：
3:
5,且a2b22abc,则。
解析：
设235k代入可得15，所以1呼
64
3
4.如果==，那么=
k,则x2k1,y
3k2,z4k3.（3分）
5.已知非负实数x,y,z满足宁宁宁，记W3x4y5z，求W勺最大值与最小值.
解析:
因为
均为非负实数
2k10,
所以3k20,
4k30
12
解得：
—k2（5分）
23
于是：
W3x4y5z
3（2k1）4（3k2）5（4k3）
14k26（5分）
12
所以—142614k26—1426,（7分）
23
即
所以W的最小值是19,最大值是351（10分）
3
题型六、含绝对值的最值问题
1.有理数使西创1,则回回且也的最大值是.
abcdabcd
的士匚13,由=-1,知，a,b,c,d中负数
解析：
处加
为奇数若熹b,门加中一个员三个正，
冈+早+也占理若內XC中三个负
:
个正.d弊勺少T枫
乩也+G+11!
的最大值是2.
abca
2•若abc0,则各B2普的最大值是-4；
|a|bc|abc|
3•当|x2||x3|的值最小时，|x2||x3||
x1|的值最大是，最小是。
解析：
当|x-2|+|x-3|的值最小时，2和3之间，所以可令x=2,则|x-2|+|x-3|-|x-1|=0
令x=3,则|x-2|+|x-3|-|x-1|=-1
所以，所求最大值为0,最小值为-1
4.若a、b、c都是正整数，且a+b+c=55,a—=—8,贝U的
最大值为2009，最小值为713.
31.十进制的自然数可以写成2的方幂的降幂的多项式，如:
19（10）162112402302212112010011
（2）,
即十进制的数19对应二进制的数10011.按照上述规则，十进制的数413对应二进制的数是
110011101.
32.如果a,b,c都是质数，且b13,c2a2=72,则ab.
解析：
由b+c=13,c2-a2=72得，b,c中
至少有一个2,分析可知，b=2，则c=13-2=11,a2=121-
72=49,a=7，所求a+b+c=20
33.
并且任意三个相邻格子中所填数之和都等于
yz
xyz
在下图所示的每个小方格中都填入一个整数：
g
2
v
解析：
容易断定与x相邻的两个数分别为9与2,即
9
2
因为92=5,则6,依任意三个相邻格子中所填数之和都等于5,分别确定出每个格子中所填之数如下：
9
-6
1
p
-6
2
2
9
-6
2
?
-6
2
y
-6
I
p
r
3
y
断定6，9.所以
s+y+£（-6）+（-6）+9-31
syz='T=?
24="TOB
34.
a,b,c是三个不同的自然数，两两互质.已知它们任意两个之和都能被第三个整除.则a333.
解析：
由已规』应为正整数，所以只能出
aa
于足由于这三个数中任两个之和
可被第三个整除，应有.
b|[（b+c）+c]Wb|（b+2c）=>b|2cX
由于b、c互质’；-b|2,又b〉s
•••b>2,但2,只能是2.
于是1,3.因此a333=33+23+13=27+8+1=36.
35.若a,b,c,d为整数，（a22）（c22）=1993，则a2222.
解析：
由于1993是质数，a22,c22是1993的约数，只能a22=1,c22=1993,或a22=1993,c22=1，所以a2222=1+1993=1994.
36.若a,b,c,d为非负整数.且（a22）（c22）=1993.则.
解析：
因为1993是质数，a22与c22都是正整数，所以a22与c22分别取值1与1993（参见第一试填空第7题解答）.为确定起见；，不妨设a22=1,c22=1993.
（1）a22=1.推知a=0,1或1,0,因此1.
22
（2）c=1993.
若cw31,dw31,贝Uc22w2X312=2X961=1922v1993.所以c,d中至少有一个大于31.又由于442=1936v1993，故设c为c,d中较大的一个，则32wcw44.
我们依次取44,43,42,41,…，33,32试算如下：
C
上4
43
42
41
40
迫
33
1&4?
1764
1631
1600
1521
1444
19P3-C2
57
14^
225
3L2
353
472
C
37
宛
35
34
33
32
c2
11^0
12QC
1225
U5S
1080
1024
19站心
624
597
76S
337
904
J69
其中19332的结果中，只有144=1?
为完全平方数，即
432+122=1993,所以43,12或12,43.因此，55.
所以1+55=66.
37.已知p、q均为质数，并且存在两个正整数
的值为.
解析：
：
q是质数，x-,
所以m-只能一个为1,另一个为q.此时1,而p又是质数，只能3,2.
即m-一个是1,另一个是2.
干曰讦+屮?
+2a27+4貂
38.自然数是两个不冋的质数的最小值是
22
m-
P，则2
P
解析：
m-都是质数，要m+-+取最小值,
2a+3
13
121
只能m-取2与3,所以2+3+2X3=11.
11
39.五位数538xy能被3,7和11整除，则X22.
解析：
由于五位数538Xy能被3,7和11整除，可知3X7X11=231整
除538xy.
试除知231x230=53130
231X23仁53361
231X232=53592
231X233=53823
231X234=54054可见2322=4-9=5.
40.三个不同的质数满足200,则.
43
解析：
易知a
（1）=2000=24X53.
若5,则1=400,
二399=3X133=3X7X19
无论3,7或19都不能求得质数b,故az5.只能取2,此时1=1000,
二999=33X37,则337,因此2+3+37=42.
41.设m和n为大于0的整数，且3m2n225。
（1）如果m和n的最大公约数为15，则mn.
（2）如果m和n的最小公
倍数为45，则mn.
解析：
Vm、n为大于0的整数,且32225,若（）=15,则33X15=45,2
2X90=180,
二1590
•••
（1）15+90=105.
（2）若[]=45,则45+45=90.
42.5位数2X9Y1是某个自然数的平方，则3729.
43.a和都是正整数，则_4.
aa2
44.正整数m和n有大于1的最大公约数，且满足ni371，则
196。
45.已知-都是整数，且•十」—■|■
则肚+询=
0或1。
46.若「是能被3整除的五位数，则「「的可能取值
有3个；这样的五位数中能被9整除的
是94599。
47.两个正整数x和y的最大公约数是4,最小公倍数是20,则
x2y23xy16641。
48.n是自然数，如果n+20和n—21都是完全平方数，则n等
49.2m2006+2m（m是正整数）的末位数字是.
解析：
0,提示：
2m20062m2m（22006i）,24n1的末位数字是2,22006的末位数字是4,220061的末位数字是5,故2m（220061）是0。
50.已知m,n,p都整数，且mn‘pm51,则pmmn2np
=。
解析：
由题意得：
1或1,当1时原式=3;当1时原式=3.所以原式=3
51.设X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7是自然数，且X1VX2VX3VX4VX5VX6VX7，
X1X23，X2X34，X3X45，X4X56，X5X67，又
X1X2X3X4X5X6X7=2010，那
么X1X2X3的值最大是。
解析：
此题方法很多，下面用不定方程的思想来解
x1+x2+X3+X4+X5+X6+x7=13x1+20x2=2010
利用整除性，x1必是10的奇数倍，又x1vx2可得如下解
{Xi=10
{x2=94，
{X1=30{X1=50
{x2=81，{x2=68
（Xi+X2+X3）max=2（Xi+X2）max=2（50+68）=236
52.若两个数的最小公倍数为2010,这两个数的最大公约数是
最小的质数，
则这两个数的和的最大值是，这两个数的差的最小值
解析：
2010=2X3X5X67,因为两个数的最大公约数为是最小
的指数2,所以可设一数为2a,一数为2b。
可知aXb=3X5X67
两数乘积一定，两数差越大，和越大.所求，
（2a+2b）max=2+2010=2012
（2a-2b）min=2X67-2X3X5=104
解析：
2xy+x+y=83
4xy+2x+2y=166
4xy+2x+2y+
53.整数x,y满足方程2x83,则x或
1=167?
（2x+1）（2y+1）=167，因为167是质数，所以
{2x+1=1{2x+1=-1{2x+1=167{2x+1=-167
{2y+1=167，{2y+1=-167，{2y+1=1，{2y+1=-1
解得{x=0{x=83{x=-1{x=-84
解得{y=83{y=0{y=-84{y=-1
所以x+y=83或者-85.
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