数学竞赛中的代数式求值经典问题.docx

1、数学竞赛中的代数式求值经典问题数学竞赛中的代数式求值经典问题题型一、代数式恒等变形C. -1 . D. -2 .解析：1,则a, b, e均不为0.ab + a +1 be + b +1 ea -be + 1 ac b be + 1 1+ ac + c bc + b + 1 1-Fbc + b abc b be= + + 1 + 1 + lc bt+ b +1 l + bt + 1 1 +b +tcb + 1 +t)c选A.2.若x33=1000,且x22496，则(x33)+(4 2-2x 2y)-2( 23).解析：由于 x33=1000,且 x22496，因此要把(x 33)+(4 2-

2、2x 2y)-2( 23)分组、凑项表示为含x33及x22的形式，以便代入求值，为此有(x33)+(4 2-2x 2y)-2( 23) 33+22-2x 2(x 33)-2(x 22)=1000-2(-496)=19923.若mH n- p= 0,则m -丄+n丄-丄-p丄-丄的值等于.n p m p m n解析：3 , 提示：m( ) n( ) p( )n p m p m nm m n n n pn p m p m n(mi ) ( ) ( 上)n n mm p p1 1 134.若2, x22=4,则x19921992的值是()A. 4 B. 19922 C . 21992 D. 4199

3、2解析：由2平方得x2-22=4又已知x22=4 -得= 0 sy = 0.所以x，y中至少有一个为0，但x22=4.因此，x，y中只能有一个为0另一个为2或-2 .无论哪种情况，都有x19921992 = 01992+( 2) 1992=21992，选 C.5 .在等式2中，当1时2,当1时20,则9b2.解析：以12代入2得2以120代入2得 20-,222，所以11.因此9.于是9b2()+9b 2=(-11) X (9)+9 X 112=990.0b,的形式,则a19921993aU点形丸又可表亍齒6 E的形式.也就是说这两个三数迴分别对应相等，于是可以断所加黑山只能是=-1,由干Da

4、i!i i!-,i为悶聞不村等的有迴数，在-=-:盼淸况a a下，只能是1 .于是1 .10.如图6, D点在的直角边上上，且 2, 3,若，那么m2 n2 =解析:勾股定理：222 22 222 22 2 2m =5 n =3 可得：m - n =16J?71C11.已知 7, 22=49, 33=133, 44=406,试求 1995()+6 #()的值.分析：已知7, 22=49, 33=133, 44=406.形式很对称，很容 易诱使你将7两边平方，再减去22=49,想利用乘法公式算 出，但一试发现此路不通.由于受所作某些训练题型模式的 影响，很多同学仍企图走此路，以致最后陷入死胡同.

5、事实 上，平方后必出现a2x2与b2y2，而22中，a, b都不是平方， 这一特点已经表明利用乘法公式去消项的方法很难走通.应 及时转向，通过一项一项表示，往一起凑这个最基本的方式 去做.解：显然2=492, 2=4923=492, 3=492相加得13333=49()()即49()-71337()19 同理 3=1333， 3=13334=1333，4=1333y相加得40644=133()( 22)即 133()-4940619()-758 由、联立，设，得 71919758, 解得 2.5 ， 1.5即 2.5 ， 1.5由 7， 7得 2=7， 2=7相加得 4922=7()()所以

6、1.5()=49- X 2.5二 21此时即可求得1995(* + y) + 6xy- (a + b)=1995 x (2.5) +6x(-15) 一 役门=4987.5-9-178.5=4800说明：本题虽然所用知识单元块均在初一学过，但解此题需 要考生有较强的应变能力与观察综合能力，并且计算也要很 细心，因此本题属于对学生数学素质综合检查的题目本题 改编自下面的问题“已知8，22=22，33=62, 44=178,试求 1995()+6之值”.有兴趣的读者不防解一解看.答案是 10011.再想一想，满足题设条件的 a与 b两数之和等于多少? 你能独立地求出之值吗？(答3)题型二、多项式的带

7、余除法1.设 m+m-1=0,则 m+2m+1997=.解析：原式=m+ m-m+ m+m 1+19982 2=m ( m + m 1) + ( m+ m 1)+ 1998=(m+ m 1)( m+ 1)+ 1998由于 m+ m 1 = 0,二原式=1998.2.如果 x2 仁0,贝U x3+2x2+3= 4 .3.若 X2 3x 1 0,则x3 5x2 5x 18 204 如果 x2 2x 3，那么 x4 7x3 8x2 13x 15 18。5.已知 a3 2a 2，贝卩 3a6 12a4 a3 12a2 2a 4= 。6 .若x2 2x 5是x4 px2 q的一个因式，则pq的值是 15

8、0 题型三、多项式展开式1.若(2x2x 1)36ax5ax4a2X3 2a3X a4Xa5x a6，贝U a1 a3 a5 =-42 .如果2x 16a。qx2 3azX ax4aqX5 6ax a6X ,那么a a1 a?a3 a4a5a6 =1一；a a2a4 a6=365 .解析：杨辉三角： 12 -1 1次4 -4 12次8 -12 6 -13次64 -192 240 -160 60 -12 16次所以：一式=1-12+60-160+240-192+64=1二式=1+60+240+64=365体型四、裂项求和法1.方程 + + + + = 2008 的解是 x= 2009 门顽9 2

9、009的解是X1005题型五、比例性质2.三个有理数 a, b, c 满足 a： b: 2： 3: 5,且a2 b2 2 abc, 则 。解析：设235k代入可得15，所以1呼6434.如果=，那么=k,则 x 2k 1,y3k 2,z 4k 3.（3分）5.已知非负实数x,y,z满足宁宁宁，记W 3x 4y 5z，求 W勺最大值与最小值.解析:因为均为非负实数2k 1 0,所以 3k 2 0,4k 3 01 2解得：k 2 （5分）2 3于是：W 3x 4y 5z3（2k 1） 4（3k 2） 5（4k 3）14k 26（5分）1 2所以14 26 14k 26 14 26,（7分）2 3即

10、所以W的最小值是19,最大值是351 （10分）3题型六、含绝对值的最值问题1.有理数使西创1,则回回且 也的最大值是.abcd a b c d的士匚 13,由= -1,知，a, b, c, d中负数解析： 处加为奇数若熹b,门加中一个员三个正，冈+早+也占理若內X C中三个负:个正.d弊勺少T枫乩也+ G + 11!的最大值是2.a b c a2若abc 0,则各B 2普的最大值是-4 ；|a| b c |abc|3当 | x 2 | | x 3 | 的值最小时，|x2 | | x 3 | |x 1 |的值最大是 ，最小是 。解析：当|x-2|+|x-3|的值最小时，2 x b|2cX由于b

11、、c互质 ；-b|2,又bs b2,但2,只能是2.于是 1, 3 .因此 a333=33+23+13=27+8+1=36.35. 若a, b, c, d为整数，(a22)(c 22)=1993，则 a2222 .解析：由于1993是质数，a22,c22是1993的约数，只能a22=1, c22=1993, 或a22=1993, c22=1，所以 a2222=1+1993=1994.36.若a, b, c, d为非负整数.且(a22)(c 22)=1993 .则.解析：因为1993是质数，a22与c22都是正整数，所以a22与c22分别取 值1与1993 (参见第一试填空第7题解答).为确定起

12、见；，不妨 设 a22=1, c22=1993.(1)a 22=1.推知 a= 0, 1 或 1, 0,因此 1.22(2)c =1993.若cw 31, dw31,贝Uc22w 2X 312=2X 961= 1922v 1993.所以 c, d中至少有一个大于31 .又由于442=1936v 1993，故设c为c, d中较大的一个，则32w cw 44.我们依次取44, 43, 42, 41,，33, 32试算如下：C上443424140迫331&4?1764163116001521144419P3-C257142253L2353472C37宛35343332c211012QC1225U5S

13、1080102419站心62459776S337904J69其中19332的结果中，只有144=1?为完全平方数，即432+122=1993,所以 43, 12或 12, 43.因此，55.所以 1+55=66.37.已知p、q均为质数，并且存在两个正整数的值为.解析：q是质数，x -,所以m -只能一个为1,另一个为q. 此时1,而p又是质数，只能3, 2.即m -一个是1,另一个是2.干曰讦+屮 ? +2a 27+4 貂38.自然数是两个不冋的质数的最小值是2 2m -P，则 2P解析：m -都是质数，要m+ - +取最小值,2a+313121只能m -取2与3,所以2 + 3 + 2X

14、3=11.1139.五位数538xy能被3,7和11整除，则X22 .解析：由于五位数538Xy能被3,7和11整除，可知3X 7X 11=231整除 538xy .试除知 231 x 230=53130231 X 23 仁53361231X232=53592231X 233=53823231X 234=54054 可见2322=4-9=5.40. 三个不同的质数满足 200,则.43解析：易知 a（1）=2000=2 4X53.若5, 则1 =400,二 399=3X 133=3X 7X 19无论3,7或19都不能求得质数b,故az 5. 只能取2,此时1=1000,二 999=33X 37

15、,则 337, 因此2+3+37=42.41.设m和n为大于0的整数，且3m 2n 225。（ 1）如果m和n的 最大公约数为15，则m n .（ 2）如果m和n的最小公倍数为 45，则 m n .解析：V m、n为大于0的整数,且32225,若()=15,则33X 15=45,22X 90=180,二 1590(1)15+90=105.(2) 若=45,则45+45=90.42.5位数2X9Y1是某个自然数的平方，则 37 29 .43. a和都是正整数，则_4 .a a 244. 正整数 m和n有大于1的最大公约数，且满足 ni371，则196 。45.已知- 都是整数，且十 | 则肚+询

16、= 0 或 1 。46.若是能被3整除的五位数，则的可能取值有 3 个；这样的五位数中能被9整除的是 94599 。47. 两个正整数x和y的最大公约数是4,最小公倍数是20,则x2y2 3xy 1 6641。48.n是自然数，如果n+ 20和n 21都是完全平方数，则n等49.2m2006+ 2m （m是正整数）的末位数字是.解析：0 ,提示：2m 2006 2 m 2m（2 2006 i）,24n1 的末位数字是 2 , 22006 的末位数字是4 , 22006 1的末位数字是5,故2m （2 2006 1） 是0。50.已知 m, n, p 都整数，且 mn pm5 1,则 p m m

17、n 2n p= 。解析：由题意得：1或1,当1时原式=3;当1时原式=3. 所以原式=351.设 X1 , X2, X3, X4 , X5, X6, X7 是自然数，且 X1VX2VX3VX4VX5VX6VX7，X1 X23 ， X2 X34 ， X3 X45 ， X4 X56 ， X5 X67 ， 又X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 = 2010，那么X1 X2 X3的值最大是 。解析：此题方法很多，下面用不定方程的思想来解x1 + x2 + X3+X4+X5+X6 + x7 = 13x1 + 20x2 = 2010利用整除性，x1必是10的奇数倍，又x1 v x2可得如下解Xi =

18、 10x2 = 94 ，X1 = 30 X1 = 50x2 = 81，x2 = 68(Xi + X2 + X3)max = 2(Xi + X2)max = 2(50 + 68) = 23652.若两个数的最小公倍数为 2010,这两个数的最大公约数是最小的质数，则这两个数的和的最大值是 ，这两个数的差的最小值解析：2010 = 2 X3 X5 X67,因为两个数的最大公约数为是最小的指数2,所以可设一数为2a, 一数为2b。可知a Xb = 3 X5 X67两数乘积一定，两数差越大，和越大 .所求，(2a + 2b)max = 2+ 2010 = 2012(2a- 2b)min = 2 X67

19、 - 2 X3 X5 = 104解析：2xy + x + y = 834xy + 2x + 2y = 1664xy + 2x + 2y +53.整数x, y满足方程2 x 83,则x 或 1 = 167 ? (2x+ 1)( 2y+ 1) = 167，因为 167 是质数，所以 2x + 1 = 1 2x + 1 = -1 2x + 1 = 167 2x+ 1 = -1672y + 1 = 167，2y + 1 = -167 ， 2y + 1 = 1 ， 2y + 1 = -1解得 x= 0 x= 83 x = -1 x= -84解得 y = 83 y = 0 y = -84 y = -1所以 x+ y = 83 或者 - 85.