数值计算方法实验报告含所有.docx

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数值计算方法实验报告含所有

本科实验报告

课程名称：

计算机数值方法

实验项目：

计算机数值方法实验

实验地点：

虎峪校区致远楼B401

专业班级：

软件学院1217班学号：

******xxxx

学生姓名：

xxx

指导教师：

xxx

2014年5月21日

太原理工大学学生实验报告

学院名称

软件学院

专业班级

1217班

学号

201200xxxx

学生姓名

xx

实验日期

2014.05.21

成绩

课程名称

数值计算方法

实验题目

实验一方程求解

一、实验目的和要求

熟悉使用、迭代法、牛顿法、割线法等方法对给定的方程进行根的求解。

选择上述方法中的两种方法求方程：

二分法f（x）=x3+4x2-10=0在[1,2]内的一个实根，且要求满足精度|x*-xn|<0.5×10-5

二、主要设备

笔记本HPProBook6470b一台

编译软件：

VC++6.0

三、实验内容和原理

函数f（x）在区间（x，y）上连续，先在区间（x，y）确定a与b，若f（a），f（b）异号，说明在区间（a，b）内存在零点，然后求f[（a+b）/2]。

　　假设F（a）<0,F（b）>0,a

1如果f[（a+b）/2]=0，该点即为零点；

2如果f[（a+b）/2]<0，则区间（（a+b）/2，b）内存在零点，（a+b）/2≥a；　　

3如果f[（a+b）/2]>0，则区间（a,（a+b）/2）内存在零点，（a+b）/2≤b；

返回①重新循环，不断接近零点。

通过每次把f（x）的零点所在区间收缩一半的方法，使区间内的两个端点逐步逼近函数零点，最终求得零点近似值。

四、操作方法与实验步骤

1.二分法：

#include

#include

#include

intmain（）

{

doublea=1.0,b=2.0;

doublex,s;

printf（"An\t\tBn\t\tF（Xn）\n"）;

while

（1）

{

x=（a+b）/2;

s=pow（x,3）+4*x*x-10;

if（-0.000005

{

break;

}

elseif（s<0）

{

a=x;

}

elseif（s>0）

{

b=x;

}

printf（"%f\t%f\t%f\n",a,b,s）;

}

printf（"X的值为：

%f\n",x）;

printf（"误差：

\t%f\n",s）;

return0;

}

2.割线法：

#include"stdio.h"

#include"math.h"

intmain（）

{

floatc,a=1.0,b=2.0;

printf（"每次得到的X的近似值：

\n"）;

while

（1）

{

c=b-（b*b*b+4*b*b-10）*（b-a）/（b*b*b+4*b*b-（a*a*a+4*a*a））;

if（fabs（b-c）<0.5*0.00001）break;

b=c;

printf（"%f\n",b）;

}

printf（"X的值为：

%f\n",c）;

}

五、实验结果与分析

二分法割线法

分析：

由程序知，使用二分法和割线法均能计算出方程的根，但利用割线法要比二分法计算的次数少，并且能够较早的达到精度要求。

相比之下，割线法程序代码量较少，精简明了。

六、讨论、心得

本次数值计算方法程序设计实验从习题练习中跳脱出来，直接面对实用性较强的程序代码编写。

效果很好，不仅加深对二分法、割线法的理解，还加强了实际用运能力。

将理论知识成功地转化成实践结果。

实验地点

虎峪校区致远楼B401

指导教师

xx

太原理工大学学生实验报告

学院名称

软件学院

专业班级

1217班

学号

201200xxxx

学生姓名

xx

实验日期

2014.05.28

成绩

课程名称

数值计算方法

实验题目

实验二线性方程组的直接解法

一、实验目的和要求

合理利用Gauss消元法、LU分解法、追赶法求解下列方程组：

1

2

3

1

2

3

4

（n=5,10,100,…）

二、主要设备

笔记本HPProBook6470b一台

编译软件：

VC++6.0

三、实验内容和原理

高斯消元法：

将原方程组化为三角形方阵的方程组：

lik=aik/akk

aij=aij-lik*akj

（k=1,2,…,n-1i=k+1,k+2,…,nj=k+1,k+2,…,n+1）

由回代过程求得原方程组的解：

xn=ann+1/ann

xk=（akn+1-∑akjxj）/akk

LU分解法：

将系数矩阵A转化为A=L*U，L为单位下三角矩阵，U为普通上三角矩阵，然后通过解方程组l*y=b，u*x=y,来求解x。

四、操作方法与实验步骤

1.完全主元素消元法：

#include

#include

#include"math.h"

floata[100][101];

floatx[10];

intN;

voidshuchu（）

{

for（inti=1;i<=N;i++）

{

for（intj=1;j<=N+1;j++）

{

cout<

}

cout<

}

}

voidshuru（）

{

cout<<"请输入矩阵阶数:

"<

cin>>N;

cout<<"请输入矩阵各项:

"<

for（inti=1;i<=N;i++）

for（intj=1;j<=N+1;j++）

{

cin>>a[i][j];

}

cout<

}

voidmain（）

{

intz[10];

intmaxi,maxj;

shuru（）;

for（inti=1;i<=N;i++）

z[i]=i;

for（intk=1;k

{

maxi=k;maxj=k;floatmaxv=abs（a[k][k]）;

for（i=k;i<=N;i++）

for（intj=k;j<=N;j++）

if（abs（a[i][j]）>maxv）

{

maxv=abs（a[i][j]）;maxi=i;maxj=j;

}

if（maxi!

=k）

{

for（intj=1;j<=N+1;j++）

{

floatt=a[k][j];a[k][j]=a[maxi][j];a[maxi][j]=t;

}

}

if（maxj!

=k）

{

for（i=1;i<=N;i++）

{

floatt=a[i][k];a[i][k]=a[i][maxj];a[i][maxj]=t;

}

intt=z[k];z[k]=z[maxj];z[maxj]=t;

}

for（inti=k+1;i<=N;i++）

{

floatl=a[i][k]/a[k][k];

for（intj=k;j<=N+1;j++）

{

a[i][j]+=-l*a[k][j];

}

}

}

for（i=N;i>0;i--）

{

floats=0;

for（intj=i+1;j<=N;j++）

{

s+=a[i][j]*x[z[j]];

}

x[z[i]]=（a[i][N+1]-s）/a[i][i];

}

cout<<"完全主元素消去法之后的矩阵为：

"<

shuchu（）;

for（i=1;i<=N;i++）

cout<<"x["<

}

2.列主元素消元法：

#include"stdio.h"

intmain（）

{

floata[3][4]={{1,2,3,14},{0,1,2,8},{2,4,1,13}};

floatx[3];

floatsum=0;

intk,i,j;

for（k=0;k<2;k++）

for（i=k+1;i<3;i++）

for（j=k+1;j<4;j++）

a[i][j]=a[i][j]-a[i][k]/a[k][k]*a[k][j];

for（i=0;i<3;i++）

{

for（j=0;j<4;j++）

{

printf（"a[%d][%d]=%f",i,j,a[i][j]）;

}

printf（"\n"）;

}

x[2]=a[2][3]/a[2][2];

for（k=1;k>=0;k--）

{

sum=0;

for（j=k+1;j<3;j++）

{

sum+=a[k][j]*x[j];

}

x[k]=（a[k][3]-sum）/a[k][k];

}

for（i=0;i<3;i++）

{

printf（"x[%d]=%f\n",i+1,x[i]）;

}

printf（"\n"）;

}

3.LU分解法：

#include

#include

#defineL30

doublea[L][L],b[L],l[L][L],u[L][L],x[L],y[L];

intmain（）

{

intn,i,j,k,r;

printf（"请输入矩阵元次：

\n"）;

scanf（"%d",&n）;

printf（"请输入矩阵各项：

\n"）;

for（i=1;i<=n;++i）

{

for（j=1;j<=n;++j）

{

scanf（"%lf",&a[i][j]）;

}

}

printf（"请输入方程组的常数项：

\n"）;

for（i=1;i<=n;++i）

{

scanf（"%lf",&b[i]）;

}

for（i=1;i<=n;++i）

{

for（j=1;j<=n;++j）

{

l[i][j]=0;

u[i][j]=0.0;

}

}

for（k=1;k<=n;++k）

{

for（j=k;j<=n;++j）

{

u[k][j]=a[k][j];

for（r=1;r

{

u[k][j]-=l[k][r]*u[r][j];

}

}

for（i=k+1;i<=n;++i）

{

l[i][k]=a[i][k];

for（r=1;r

{

l[i][k]-=l[i][r]*u[r][k];

}

l[i][k]/=u[k][k];

}

l[k][k]=1.0;

}

for（i=1;i<=n;++i）

{

y[i]=b[i];

for（j=1;j

{

y[i]-=l[i][j]*y[j];

}

}

for（i=n;i>0;--i）

{

x[i]=y[i];

for（j=i+1;j<=n;++j）

{

x[i]-=u[i][j]*x[j];

}

x[i]/=u[i][i];

}

for（i=1;i<=n;++i）

{

printf（"%0.2lf\n",x[i]）;

}

return0;

}

五、实验结果与分析

完全主元素消元法：

列主元素消元法：

LU分解法：

分析：

对于两种高斯解方程，完全主元素跟列主元素都是先消元、再回代，由程序段可以发现，始终消去对角线下方的元素。

即，为了节约内存及时效，可以不必计算出主元素下方数据。

列主元素消元法的算法设计上优于完全主元素消元法，它只需依次按列选主元素然后换行使之变到主元素位置，再进行消元即可。

列主元素消元法的耗时比完全主元素法少很多，常采用之。

对于LU分解法，分解矩阵为单位下三角阵L与上三角阵U的乘积，然后解方程组Ly=b，回代，解方程组Ux=y。

其中的L为n阶单位下三角阵、U为上三角阵.

六、讨论、心得

本次试验中，感觉是最难的一次，完全主元素消元法程序编写过程相对来说花了好长时间。

纠正各种语法、算法、思路错误。

最后勉强成功，但还是有几处警告，不得解决之法。

感到程序学习的不足，再加之对高斯的不甚了解。

编写过程很是痛苦。

查阅各种内外部资料，这点有利有弊。

突然觉得，应该再把数据结构之类的重新学习一下才行。

以后多花时间在编程吧，重在理解。

必须反省一下自己的C、C++学习了，还是得多加练习，平时必须养成一种好的算法思维习惯。

实验地点

虎峪校区致远楼B401

指导教师

xx

太原理工大学学生实验报告

学院名称

软件学院

专业班级

1217班

学号

201200xxxx

学生姓名

xx

实验日期

2014.06.04

成绩

课程名称

数值计算方法

实验题目

实验三线性方程组的迭代解法

一、实验目的和要求

使用雅可比迭代法或高斯-赛德尔迭代法对下列方程组进行求解。

二、主要设备

笔记本HPProBook6470b一台

编译软件：

VC++6.0

三、实验内容和原理

设线性方程组Ax=b

的系数矩阵A可逆，且主对角元素a11,a22,…,ann均不为零，令

D=diag（a11,a22,…,ann）

并将A分解成A=（A-D）+D

从而线性方程组可写成Dx=（D-A）x+b

则有迭代公式

x（k+1）=B1x（k）+f1

其中，B1=I-D-1A,f1=D-1b。

四、操作方法与实验步骤

高斯—赛德尔迭代法

#include"iostream"

#include"iomanip"

usingnamespacestd;

intmain（）

{

inti,j,k=0,m,n;

doublet1,t2,e1,e2=0.0;

cout<<"请输入精度e：

";

cin>>e1;

cout<<"请输入系数矩阵行数：

";

cin>>m;

cout<<"请输入系数矩阵列数：

";

cin>>n;

cout<

double（**a）=newdouble*[m];

for（i=0;i<=m;i++）

{

a[i]=newdouble[n];

}

double（*b）=newdouble[m];

double（*x）=newdouble[n];

cout<<"请输入系数矩阵：

"<

cout<<"-------------------------------------------------------------"<

for（intnum1=0;num1

{

for（intnum2=0;num2

{

cin>>a[num1][num2];

}

cout<

}

cout<<"输入的系数矩阵为：

"<

for（intnum3=0;num3

{

for（intnum4=0;num4

{

cout<

}

cout<

}

cout<<"请输入矩阵b：

"<

for（intnum5=0;num5

{

cin>>b[num5];

}

cout<<"输入的矩阵b为：

"<

for（intnum6=0;num6

{

cout<

}

cout<

for（intnum7=0;num7

{

x[num7]=0.0000;

}

do

{

cout<<"第"<

";

e2=0.0;

for（i=0;i

{

doublesum=0.0;

for（j=0;j

{

if（j!

=i）

sum+=a[i][j]*x[j];

}

t1=x[i];

t2=e2;

x[i]=（b[i]-sum）/a[i][i];

e2=（x[i]）-t1>=0?

（x[i]）-t1:

t1-（x[i]）;

e2=（e2>=t2?

e2:

t2）;

cout<

}

cout<

k++;

}while（e2>=e1&&k<30）;

cout<<"共迭代了"<

delete[]a;

delete[]b;

delete[]x;

return0;

}

雅克比迭代法：

#include

#include

intmain（）

{

floata[3][3]={{10,-1,-2},{-1,10,-2},{-1,-1,5}},b[3]={7.2,8.3,4.2};

floatx[3]={0,0,0},sum;

inti,j,k,n=3;

printf（"\t\tX[1]\t\tX[2]\t\tX[3]\n"）;

for（k=0;k<8;k++）

{

for（i=0;i<3;i++）

{

sum=0;

for（j=0;j

{

if（i==j）continue;

sum=sum+a[i][j]*x[j];

}

x[i]=（b[i]-sum）/a[i][i];

}

printf（"第%d次迭代：

\t",k+1）;

for（i=0;i

{

printf（"%f\t",x[i]）;

}

printf（"\n"）;

}

}

五、实验结果与分析

高斯赛德尔迭代法：

雅克比迭代：

分析：

使用高斯-赛德尔和雅克比迭代都可以求出方程组的解，但是利用高斯-赛德尔迭代法所需的迭代次数比雅克比迭代少，能够更早的达到精度要求。

从程序中可以看出，雅克比定义的sum只有一个，而高斯赛德尔需要两个。

时效性上后者要好些。

六、讨论、心得

这次试验算是比较成功，要归功于授课时候的认真听讲。

程序编写之前，对书本的理论知识进行了进一步的探索。

预习准备工作很彻底，自然随后的一切也都很顺利。

实验地点

虎峪校区致远楼B401

指导教师

xx

太原理工大学学生实验报告

学院名称

软件学院

专业班级

1217班

学号

201200xxxx

学生姓名

xx

实验日期

2014.06.11

成绩

课程名称

数值计算方法

实验题目

实验四代数插值和最小二乘法拟合

一、实验目的和要求

（1）使用拉格朗日插值法或牛顿插值法求解：

已知f（x）在6个点的函数值如下表所示，运用插值方法，求f（0.596）的近似值。

X

0.40

0.55

0.65

0.80

0.90

1.05

f（x）

0.41075

0.57815

0.69675

0.88811

1.02652

1.25386

（2）给定数据点（xi,yi），用最小二乘法拟合数据的多项式，并求平方误差。

xi

0

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

yi

1

1.75

1.96

2.19

2.44

2.71

3.00

二、主要设备

笔记本HPProBook6470b一台

编译软件：

VC++6.0

三、实验内容和原理

（1）设函数在区间[a,b]上n+1互异节点x0,x1,…,xn上的函数值分别为y0,y1,…,yn,求n次插值多项式Pn（x）,满足条件

Pn（xj）=yj,j=0,1,…,n

令

Ln（x）=y0l0（x）+y1l1（x）+…+ynln（x）=∑yili（x）

其中l0（x）,l1（x）,…,ln（x）为以x0,x1,…,xn为节点的n次插值基函数，

则Ln（x）是一次数不超过n的多项式，且满足

Ln（xj）=yj,L=0,1,…,n

再由插值多项式的唯一性，得

Pn（x）≡Ln（x）

（2）建立正规方程组：

∑（∑xij+k）ak=∑xijyi,j=0,1,…,n

平方误差：

I=∑（∑akxik-yi）2

对给定数据点{（Xi，Yi）}（i=0,1，…，m），在取定的函数类Φ中，求p（x）∈Φ，使误差的平方和E2最小，E2=∑[p（Xi）-Yi]2。

从几何意义上讲，就是寻求与给定点{（Xi，Yi）}（i=0,1，…，m）的距离平方和为最小的曲线y=p（x）。

函数p（x）称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p（x）的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：

a0=（∑Yi）/m-a1（∑Xi）/m

a1=[m∑XiYi-（∑Xi∑Yi）]/[m∑Xi2-（∑Xi）2）]

即最终的拟合多项式各项系数。

四、操作方法与实验步骤

（1）代数插值

#include

#include

#include

#include

voiddifference（float*x,float*y,intn）

{

float*f;

intk,i;

f=（float*）malloc（n*sizeof