s,其他地方
中引入微扰
求无微扰时体系的能级和怎态波函数。
求基态和第一激发态能量一级修正（注意第一激发态是三重简并的）求第一激发态的零级近似波函数
能级为
E跖广需
（b）基态,/?
=ny=n,=\非简并，能量一级修正为小\3・、
对于第一激发态，我们需要利用简并微扰理论。
第一步是计算矩阵元。
它的对角元素和基态是相同的（除了一个正弦函数的变量由Tcxla变为了2;rx/a）：
设
^112三屮2屮\2\三必，必1］三汽
对角元为
非对角元为
而
%=（HI）*=0,H[.o=（HQ=0,略=（H；J=$
U7T
所以微扰矩阵为
0（T
1K
KL
设本征方程为
1
1
0
（T
/\
A
1
/、
q
0
1
K
c2
C2
1°
K
b
4
久期方程为
1-200
01-2k=0=>（l-2）3-/c2（l-/l）=0
0k1一久
2=1,Z=\±k
本征值为（能量一级修正）
钗，扭（1土K）
（d）若求零级近似波函数，需要对能量一级修正求出对应的c„c2,c3
A=1,
10OVc^
\
C1
01K
K1丿
C2
£丿
=
C2形丿
=>c2=c3=0,归一化C[=1
故零级近似波函数为
屮'；〉=屮°=屮\门
500"
/\
q
q
01K
C2
=（1+K）
C2
.0K1；
=>q=0,c2=c3归一化c2=c3=~^=
故零级近似波函数为
r0（P
/\
q
/、
01K
C2
=（1—K）
C2
0K1；
Is
以;+K=石M+代）=疋（叭2\+0112）
=>q=0,c2=-c3归一化c2=-C3=-j=
故零级近似波函数为
心+K=右（必一汽）=寺（0⑵一？
J
容易验证，这三个零级近似波函数是相互正交的，能量一级修正是H'的期待值，即
扣（1+K）=（刚
扣（1-3也）
习题8・3—个量子系统仅有三个相互线性独立的态。
假设哈密顿量的矩阵形式为：
‘1-000）H=V001e
1°£2,
\/
其中，岭为常数，£为一小呈：
（£《1）。
（a）求出无微扰（£=0）时哈密顿量的本征态和本征值。
（b）严格求解H的本征值。
结果展开为£的慕级数，展开到£的二次项。
（C）利用非简并微扰理论的一级和二级修正公式，求出由H。
的非简并本征态所生成态的近似本征值。
同（a）中的精确结果比较。
（d）利用简并微扰理论，找出两个原来简并的本征值的一级修正。
同精确结果比较。
解：
（a）无微扰情况下哈密顿的矩阵表示是：
q
0
0、
0
1
0
0
0
2.
已是一个对角矩阵，它的对角元就是的本征值。
本征值为匕，匕,2匕），对应的本征态
（\
（b）设本征值为哈密顿H的久期方程为
1一£一兄0
det（H-AV；））=V/01-2
0s
0
£=0=>（1—£一兄）（兄2一3/1+2—£2）=0
2-x
31]31]
所以：
入=1一£,入=二一一J1+4夕，人=二+—J1+4,1-22322
能量本征值为
药7砖¥+¥e
利用函数展开式
加二=1+丄；v—“+仝疋一…
2816
可以将本征值爲卫展开为关于$的级数，精确至二次项有：
耳=（1一£3=（2+/）%
（C）微扰哈密顿的矩阵表示为：
—0
H'=H-H°=V°00
k0£
0、
E=W
0>
I肖;））非简并，一级能量修正为:
二级能量修正为:
呼_||wj一小；
3用-卑E；_E；2Vo-V（）
所以在二级修正下非简并态|肖;））的能量为：
"%
它正好是（b）中E3的精确解关于£的展式精确至二次的结果。
（d）下而考虑有二重简并的本征态I肖:
〉）和|肖;）），首先解久期方程:
于是简并情况的能量经过一级修正之后为:
e2=v0
能量简并被消除。
与（b）中的结果对比可知上式与精确解任保留到一次项时的结果一致。
习题8.4求出一维谐振子能级的相对论（最低级的）修正。
解：
由相对论修正公式，对能量的相对论修正可以表示为
一诉［宀2如+㈣］
所以我们需要求出一维谐振子的（v〉和f我们已经知道，对谐振子（v）=-Eljt所2
以
利用产生与湮火算符有:
（4+ci_）2屮n=a；y/n+a+a_i//n+a_aj//n+疋几
=炖+“+叱+（1+叽皿+
=JS+1）（,7+2）几+2+（27?
+1）几+/心-1财_2
所以
（2/?
2+2/?
+l）
（y2^=右方‘力‘［⑵?
+1）~+（/?
+1）（/?
+2）+/?
（/?
—1）J=-^trco~
习题8.5氢原子准确的精细结构公式（直接由相对论的狄拉克方程求出而没有利用微扰理论）为：
•
/\2"
-1/2
E“j=“c，<
1+
a
—1>
J_O+l/2）+J（J+l/2）2-夕丿
展开至a4项（注总到有a《l）,并证明你重新得到了利用微扰理论所得的公式
解：
a«\^>a«/+1/2=>——«1
丿+1/2
所以
习题8・6质子自旋为1/2,它的磁矩为
u一硏s
其中质子的朗道因子为gp=5.59。
这个磁矩形成一个磁场
B=^j[3（幻旗十订+警#（r）
m_A）g"，［3（Sp・F）（SjE）_S”•工仃hl_3
其中“0是真空磁导率，F是沿径向的单位矢量，J3（r）是三维/函数。
质子磁矩与电子磁矩的相互作用为二+"W（SjS」5'（D
呵仏”3I…丿
由此引起的氢原子能级的修正称为超精细结构。
对/=0的态，波函数是球对称的，上式第一项的平均值为零，能量的修正仅由第二项决左。
求超精细结构对氢原子基态的能量修正。
注意无微扰时，由于质子自旋与电子自旋耦合，氢原子基态是4度简并的，你应在自旋一自旋耦合表象中讨论问题。
解：
按照微扰理论，能量的一级修正就是微扰哈密顿量的平均值:
&_心£（3（SpV）（（S〃）—
hlS^mpme\r
+微®S加（0）f.
对基态（或者对于/=0其它态）•波函数是球对称的，第一项的平均值为零。
另外，|$oo（0）『=1/（龙/）,所以对于基态能疑一级修正为
£.1_
hl3力"严”
它称为自旋一自旋耦合，因为它和两个自旋的点积有关（对比于自旋一轨道耦弟它和S・L相关）。
在自旋一自旋耦合存在时，单个的自旋角动量不再是守恒量：
“好的”量子态为总自旋
的本征矢，和以往一样，我们对上式进行平方，得到:
但是电子和质子都具有1/2的自旋，所以$=^=（3/4）和.在三重态（自旋“平行”），总自旋为1,因此S2=2h\在自旋单态，总自旋为0,因此炉=0・所以,
（6.92）
4&卩尸J+1/4,三重态
3nifimec2a4-3/4,单态
自旋一自旋耦合打破了基态的自旋简并，抬髙了三重态的能级，降低了单态的能级（见
图6.13）。
能量间隔显然为,
Unperturbed
AE
图6.13：
基态氢原子的超精细分裂。
伴随三重态跃迁到基态所释放出的光子的频率为，
（6.94）
v=――=1420MHz,
n
对应的波长为c/u=2\cm，它属于微波段。
这个著名的21厘米长谱线是宇宙中最普遍的射线之一。
习题8・7如果氢原子的核不是点电荷，而是半径为b,电荷均匀分布的小球，讣算这种效应对氢原子基态能量的一级修正。
W：
这种分布只对rb的区域无影响。
据题意知
Hf=V（r）-V0（r）
其中％（门是不考虑这种效应的势能分布.即
r
为考虑这种效应后的势能分布，在r>b区域,
V（r）=-^
在rV（r）=-目Edr
其中电场
1e4,ez
r-7rr=r.（r）
4齊）厂*b34兀£少、
E=<
T—（r>b）
4矶广
V（r）=-efEdr-ejEdr
"讨:
仙-叮;[dr
所以
（r>b）
分n-务（〃"）+讣F丹
所以
习题8・8转动惯量为/、电偶极矩为D的空间转子处于均匀外电场E细中，设电场较小，用微扰法求转子基态能量的一级和二级修正。
解：
取Em的正方向为z轴正方向建立坐标系，则转子的哈密顿算符为
H=^-DExt=—[j-DE.vcos0
八I八八
取护，,遊心&，则
h=h7h‘
由于电场较小，把力'视为微扰，用微扰法求此问题。
方⑹的本征值为（即卫的本征值乘以1/2/）
£（0）=W+1）方2
21
本征函数为
力⑼的基态能量为£器=0,为非简并情况。
基态的能量一级修正为
硏二他|日儿〉=J：
心丹％血阳％0
=_L^T£'_DE.vfcos0sin0dOd（/>=0
根据左态非简并微扰论可知二级修正为
H；°=J听呵如It=JY；m（-DEeMcos0）厶sin0dOg
=-D%jX（cos&厶）血&0
E：
J=S
lHfo|-y||2=__1_D2£
即-即一h3仗+1）0川一3/Pf
习题8.9若对三维各向同性谐振子加上微扰
H'=Ax2yz（兄为常数。
）
（a）求基态能量的一级修正
（b）求第一激发态能量的一级修正和零级近似波函数（第一激发态是三重简并的）。
解：
用直角坐标系，三维各向同性谐振子的波函数可以表示为一维谐振子波函数的直积
必业叫（匕”°=fa）%°）比⑵
E
Wk
3
nx+ny+nz+-hco,n
升级会员 