物理学相关第8章习题答案.docx

1、物理学相关第8章习题答案第8章习题答案习题8.1假设在一维无限深方势阱(ovxva)的中心加入一个3函数势微扰 Hf = ad(x)，其中a为常数。(a)求出能级的一级修正并解释为偶数的能级不受到扰动的原因。(b)求出基态波函数一级修正的前三个非零项。(c)求能级的二级修正。解：(a)所给一维无限深方势阱的波函数为=rr/ 、nn z 、k 2a 丿hsin,其能级是非简并的,就是零级近似波函数。根据能虽:的一级修正公式可得到当为奇数时，E =a/a；当为偶数的时候，E，n=0,这是因为对刃为偶数的波函 n n数，它在势阱中心x = 0处的波函数为零，因此感受不到此处的微扰存在。a(亦 =si

2、n u I 2前三个非零项为/2 = 3,5,7,矩阵元为仅当m加都为奇数时，矩阵元才不为零。尸一 冋爲 _ 小 2/(2)?匸 sin(n/2)sin(/?7/2)习题&2在三维无限深方势阱V(x.y.z) = 0,如果 0 (l-2)3-/c2(l-/l) = 00 k 1一久2 = 1,Z = k本征值为（能量一级修正）钗，扭（1土K）（d） 若求零级近似波函数，需要对能量一级修正求出对应的cc2,c3A = 1,1 0 OVcC10 1 KK 1 丿C2丿=C2 形丿= c2 = c3 = 0,归一化C = 1故零级近似波函数为屮；=屮=屮门5 0 0/ qq0 1 KC2= (1 +

3、 K)C2.0 K 1；= q = 0, c2 = c3 归一化 c2 = c3 = =故零级近似波函数为r 0 (P/ q/ 、0 1 KC2=(1K)C2,0 K 1；Is以;+K =石 M + 代）=疋（叭2 + 0112 ）= q = 0,c2 = -c3 归一化 c2 = - C3 = -j=故零级近似波函数为心+K=右（必一汽）=寺（0一 ？ J容易验证，这三个零级近似波函数是相互正交的，能量一级修正是H的期待值，即扣（1 + K）= （刚扣（1-3也）习题83 个量子系统仅有三个相互线性独立的态。假设哈密顿量的矩阵形式为：1-0 0 0） H=V0 0 1 e1 2, /其中，岭

4、为常数，为一小呈：（1）。（a） 求出无微扰（ = 0）时哈密顿量的本征态和本征值。（b） 严格求解H的本征值。结果展开为的慕级数，展开到的二次项。（C）利用非简并微扰理论的一级和二级修正公式，求出由H。的非简并本征态所生成态的近 似本征值。同（a）中的精确结果比较。（d）利用简并微扰理论，找出两个原来简并的本征值的一级修正。同精确结果比较。解：（a）无微扰情况下哈密顿的矩阵表示是：q00、010002.已是一个对角矩阵，它的对角元就是的本征值。本征值为匕，匕,2匕），对应的本征态（(b)设本征值为哈密顿H的久期方程为1一一兄 0det（H-AV；） = V/ 0 1-20 s0 =0=（1

5、一兄）（兄2一3/1 + 2 2） = 02-x3 1 3 1 所以：入=1一,入=二一一J1 + 4夕，人=二 + J1 + 4, 1 - 2 2 3 2 2能量本征值为药7砖+e利用函数展开式加二=1 +丄；v “ + 仝疋一2 8 16可以将本征值爲卫展开为关于$的级数，精确至二次项有：耳=(1一3=(2 + /)%(C)微扰哈密顿的矩阵表示为：0H = H-H=V 0 0k 0 0、E =W0I肖;)非简并，一级能量修正为:二级能量修正为:呼_ | |wj 一 小；3 用-卑 E；_E； 2Vo-V()所以在二级修正下非简并态|肖;)的能量为：%它正好是(b)中E3的精确解关于的展式精

6、确至二次的结果。 (d)下而考虑有二重简并的本征态I肖:)和|肖;)，首先解久期方程:于是简并情况的能量经过一级修正之后为:e2=v0能量简并被消除。与(b)中的结果对比可知上式与精确解任保留到一次项时的结果一致。习题8.4求出一维谐振子能级的相对论(最低级的)修正。 解：由相对论修正公式，对能量的相对论修正可以表示为一诉宀2如+所以我们需要求出一维谐振子的(v和 f 我们已经知道，对谐振子(v)=-Eljt所 2以利用产生与湮火算符有:（4 + ci_）2 屮n = a；y/n + a+a_i/n + a_aj/n + 疋几=炖+ “+叱+ （1+叽皿+=JS +1）（,7+ 2）几+2 +

7、（27? + 1）几 + /心-1财_2所以(2/?2+ 2/? + l)(y2 =右方力? +1) + (/? +1)(/? + 2)+ /?(/? 1)J = - tr co习题8.5氢原子准确的精细结构公式（直接由相对论的狄拉克方程求出而没有利用微扰理 论）为：/ 2-1/2E“j = “c，J_O + l/2) + J(J + l/2)2-夕丿展开至a4项（注总到有al）,并证明你重新得到了利用微扰理论所得的公式解：a a / + 1/ 2= 1丿+ 1/2所以习题86质子自旋为1/2,它的磁矩为u 一硏s其中质子的朗道因子为gp =5.59。这个磁矩形成一个磁场B = j3（幻旗十订

8、+警#（r）m _A)g，3(SpF)(SjE)_S” 工 仃 hl _ 3其中“0是真空磁导率，F是沿径向的单位矢量，J3（r）是三维/函数。质子磁矩与电子磁 矩的相互作用为 二+W （SjS5（D呵仏 ” 3 I丿由此引起的氢原子能级的修正称为超精细结构。对/=0的态，波函数是球对称的，上式第 一项的平均值为零，能量的修正仅由第二项决左。求超精细结构对氢原子基态的能量修正。 注意无微扰时，由于质子自旋与电子自旋耦合，氢原子基态是4度简并的，你应在自旋一自 旋耦合表象中讨论问题。解：按照微扰理论，能量的一级修正就是微扰哈密顿量的平均值:& _ 心 (3(SpV)(S) hl Smpme r+

9、微S 加(0)f.对基态（或者对于/=0其它态）波函数是球对称的，第一项的平均值为零。另外， |$oo（0）=1/（龙/）,所以对于基态能疑一级修正为.1 _hl 3力严”它称为自旋一自旋耦合，因为它和两个自旋的点积有关（对比于自旋一轨道耦弟 它和SL 相关）。在自旋一自旋耦合存在时，单个的自旋角动量不再是守恒量：“好的”量子态为总自旋的本征矢，和以往一样，我们对上式进行平方，得到:但是电子和质子都具有1/2的自旋，所以$ = =（3/4）和.在三重态（自旋“平行”），总 自旋为1,因此S2 = 2h在自旋单态，总自旋为0,因此炉=0所以,(6.92)4&卩尸 J+1/4,三重态3nifime

10、c2a4 -3/4, 单态自旋一自旋耦合打破了基态的自旋简并，抬髙了三重态的能级，降低了单态的能级（见图6.13）。能量间隔显然为,UnperturbedAE图6.13：基态氢原子的超精细分裂。伴随三重态跃迁到基态所释放出的光子的频率为，(6.94)v = = 1420 MHz,n对应的波长为c/u = 2cm，它属于微波段。这个著名的21厘米长谱线是宇宙中最普遍的 射线之一。习题87如果氢原子的核不是点电荷，而是半径为b,电荷均匀分布的小球，讣算这种效应 对氢原子基态能量的一级修正。W：这种分布只对rb的区域无影响。据题意知Hf = V（r）-V0（r）其中（门是不考虑这种效应的势能分布.即

11、r为考虑这种效应后的势能分布，在rb区域,V(r) = -在rb区域，V（可由下式得出,V(r)= -目 Edr其中电场1 e 4 , e z r -7rr = r. (r Z?)4齊)厂*b 3 4兀少、E = b)4矶广V(r) = -ef Edr -ej Edr讨:仙-叮;dr所以(rb)分n-务（）+讣F丹所以习题88转动惯量为/、电偶极矩为D的空间转子处于均匀外电场E细中，设电场较小，用 微扰法求转子基态能量的一级和二级修正。解：取Em的正方向为z轴正方向建立坐标系，则转子的哈密顿算符为H =-DE xt= j-DE.vcos0八 I 八 八取护，,遊心&，则h = h7h由于电场较

12、小，把力视为微扰，用微扰法求此问题。方的本征值为(即卫的本征值乘 以 1/2/ )(0) = W + 1)方221本征函数为力的基态能量为器=0,为非简并情况。基态的能量一级修正为硏二他|日儿=J：心丹血阳0= _LT_DE.vf cos 0 sin 0dOd(/ = 0根据左态非简并微扰论可知二级修正为H； = J 听呵如It = J Y；m (-DEeM cos 0)厶 sin 0 dO g= -D%jX(cos& 厶)血&0E：J = SlHfo| - y | |2=_1_D2即-即 一 h 3仗 + 1）0 川一 3/P f习题8.9若对三维各向同性谐振子加上微扰H = Ax2yz (兄为常数。)(a)求基态能量的一级修正(b)求第一激发态能量的一级修正和零级近似波函数(第一激发态是三重简并的)。解：用直角坐标系，三维各向同性谐振子的波函数可以表示为一维谐振子波函数的直积必业叫(匕” =f a)% )比EWk3nx +ny +nz+- hco, n