高中数学专题复习培优计划 含答案 第11篇 第2讲 古典概型.docx

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高中数学专题复习培优计划含答案第11篇第2讲古典概型

高中数学专题复习培优计划

姓名：

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教师：

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授课时间:

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课题：

培优计划

第2讲　古典概型

[最新考纲]

1．理解古典概型及其概率计算公式．

2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.

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本周作业

建议

第2讲　古典概型

[最新考纲]

1．理解古典概型及其概率计算公式．

2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.

知识梳理

1．基本事件的特点

（1）任何两个基本事件是互斥的．

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

3．古典概型的概率公式

P（A）＝.

辨析感悟

1．古典概型的意义

（1）“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．（×）

（2）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．（×）

（3）（教材习题改编）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.（√）

2．古典概型的计算

（4）在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为.（√）

（5）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是0.2.（×）

（6）（星课堂·新课标全国Ⅱ卷改编）从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.（√）

[感悟·提升]

1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型，

（1）、

（2）不符合定义．

2．从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集，故P（A）＝＝，如（4）；根据古典概型概率公式计算，如（5）、（6）．

考点一　简单古典概型的概率

【例1】现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：

（1）所取的2道题都是甲类题的概率；

（2）所取的2道题不是同一类题的概率．

解　从6道题中任取2道有n＝C＝15（种）取法．

（1）记“所取的2道题都是甲类题”为事件A，则A发生共有m＝C＝6种结果．

∴所求事件概率P（A）＝＝＝.

（2）记“所取的2道题不是同一类题”事件为B，事件B包含的基本事件有CC＝8（种），则事件B的概率为P（B）＝.

规律方法有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．

（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．

（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.

学生用书第183页

【训练1】袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.

（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；

（2）向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．

解　

（1）从5张卡片中任取两张，共有n＝C＝10种方法．

记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件A，则A包含基本事件m＝CC－1＝3个．

由古典概型概率公式，P（A）＝＝.

（2）从6张卡片中任取两张，共有n＝C＝15个基本事件，

记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件B，则事件B包含基本事件总数m＝C（C＋C）＋（CC－1）＝8，

∴所求事件的概率P（B）＝＝.

考点二　复杂的古典概型的概率

【例2】将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：

（1）两数中至少有一个奇数的概率；

（2）以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率．

解　由题意，先后掷2次，向上的点数（x，y）共有n＝6×6＝36种等可能结果，为古典概型．

（1）记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为.

∵事件包含的基本事件数m＝CC＝9.

∴P（）＝＝，则P（B）＝1－P（）＝，

因此，两数中至少有一个奇数的概率为.

（2）点（x，y）在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，则表示“点（x，y）在圆x2＋y2＝15上或圆的外部”．

又事件C包含基本事件：

（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2）共有8个．

∴P（C）＝＝，从而P（）＝1－P（C）＝1－＝.

∴点（x，y）在圆x2＋y2＝15上或圆外部的概率为.

规律方法

（1）一是本题易把（2,4）和（4,2），（1,2）和（2,1）看成同一个基本事件，造成计算错误．二是当所求事件情况较复杂时，一般要分类计算，即用互斥事件的概率加法公式或考虑用对立事件求解．

（2）当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时，通常考虑用对立事件的概率公式P（A）＝1－P（）求解．

【训练2】某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高（单位：

米）及体重指标（单位：

千克/米2）如下表所示：

A

B

C

D

E

身高

1.69

1.73

1.75

1.79

1.82

体重指标

19.2

25.1

18.5

23.3

20.9

（1）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；

（2）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9）中的概率．

解　

（1）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：

（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），共6个．

由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．

选到的2人身高都在1.78以下的事件有（A，B），（A，C），（B，C），共3个．

因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为

P＝＝.

（2）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：

（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），共10个．

由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．

选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9）中的事件有（C，D），（C，E），（D，E），共3个．

因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9）中的概率为P＝.

考点三　古典概型与统计的综合问题

【例3】（星课堂·广东卷）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．

（1）根据茎叶图计算样本均值；

（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？

（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．

审题路线　

（1）阅读茎叶图得出样本数据，利用平均数公式计算出样本均值．

（2）根据样本算出优秀工人的比例，再估计12人中优秀工人的个数．（3）用组合数公式求出所有可能的组合的个数和符合条件的组合的个数，利用古典概型概率公式计算．

解　

（1）由茎叶图可知：

样本数据为17,19,20,21,25,30.则＝（17＋19＋20＋21＋25＋30）＝22，

故样本均值为22.

（2）日加工零件个数大于样本均值的工人有2名，

故优秀工人的频率为＝.

该车间12名工人中优秀工人大约有12×＝4（名），

故该车间约有4名优秀工人．

（3）记“恰有1名优秀工人”为事件A，其包含的基本事件总数为CC＝32，所有基本事件的总数为C＝66.

由古典概型概率公式，得P（A）＝＝.

所以恰有1名优秀工人的概率为.

学生用书第184页

规律方法

（1）本题求解的关键在于从茎叶图准确提炼数据信息，进行统计与概率的正确计算．

（2）一是题目考查茎叶图、样本均值、古典概型等基础知识，考查样本估计总体的思想方法，以及数据处理能力．二是求解时要设出所求事件，进行必要的说明，规范表达，这

都是得分的重点．

【训练3】从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：

克）的频数分布表如下：

分组（重量）

[80,85）

[85,90）

[90,95）

[95,100）

频数（个）

5

10

20

15

（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95）的频率；

（2）用分层抽样的方法从重量在[80,85）和[95,100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85）的有几个？

（3）在

（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85）和[95,100）中各有1个的概率．

解　

（1）由题意知苹果的样本总数n＝50，在[90,95）的频数是20，∴苹果的重量在[90,95）的频率是＝0.4.

（2）设从重量在[80,85）的苹果中抽取x个，则从重量在[95,100）的苹果中抽取（4－x）个．

∵表格中[80,85），[95,100）的频数分别是5,15，

∴5∶15＝x∶（4－x），解得x＝1.

即重量在[80,85）的有1个．

（3）在

（2）中抽出的4个苹果中，重量在[80,85）中有1个，记为a，重量在[95,100）有3个，记为b1，b2，b3.

任取2个，有ab1，ab2，ab3，b1b2，b1b3，b2b3共6种不同方法，记基本事件总数为n，则n＝6.

其中重量在[80,85）和[95,100）中各有1个的事件记为A，事件A包含的基本事件为ab1，ab2，ab3，共3个，

由古典概型的概率计算公式得P（A）＝＝.

1．古典概型计算三步曲

第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．

2．确定基本事件的方法

（1）当基本事件总数较少时，可列举计算；

（2）利用计数原理、排列与组合求基本事件的个数．

3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．

易错辨析10——基本事件计数不正确致误

【典例】（星课堂·江西卷，文）小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：

以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图所示）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．

（1）写出数量积X的所有可能取值；

（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．

[错解]　

（1）数量积X的所有可能取值为－1,0,1.

（2）X＝0时，有·，·，共2种情况；

X＝1时，有·，·，·，·，共4种情况；

X＝－1时，有·，·，共2种情况，

∴所有基本事件总数n＝2＋4＋2＝8.

因此，小波去下棋的概率p1＝＝，

小波唱歌的概率p2＝＝，从而不去唱歌的概率p＝1－p2＝.

[错因]　

（1）没能准确计算出X的所有可能值，由数量积的运算知X可能取－2，－1,0,1，忽视·＝－2.

（2）基本事件列举不全面，思维定势，如X＝－1，盲目认为向量共线，