二次函数新课讲义通用6.docx
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二次函数新课讲义通用6
二次函数讲义
第1课时二次函数
第2课时二次函数y＝ax2的图象与性质
第3课时二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
第4课时二次函数y＝a（x-h）2的图象与性质第5课时二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质第6课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
2
第7课时二次函数y＝ax＋bx＋c的性质
第8课时二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式求法
第9课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
第10课时用函数观点看一元二次方程
第11课时实际问题与二次函数
第12课时实际问题与二次函数
第1课时二次函数
一、阅读课本：
二、学习目标：
1．知道二次函数的一般表达式；
2．会利用二次函数的概念分析解题；
3．列二次函数表达式解实际问题．
三、知识点：
一般地，形如的函数，叫做二次函数。
其中x是，a是
，b是，c是．
四、基本知识练习
1．观察：
①y＝6x2；②y＝－32x2＋30x；③y＝200x2＋400x＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、
b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的．
2．函数y＝（m－2）x2＋mx－3（m为常数）．
（1）当m时，该函数为二次函数；
（2）当m时，该函数为一次函数．
3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？
哪些不是？
若是二次函数，请指出各项对应项的系数．
22
（1）y＝1－3x2
（2）y＝3x2＋2x（3）y＝x（x－5）＋2
32
（4）y＝3x3＋2x2（5）y＝x＋x
x
五、课堂训练
2
1．y＝（m＋1）xmm－3x＋1是二次函数，则m的值为．
2．下列函数中是二次函数的是（）
12221
A．y＝x＋2B．y＝3（x－1）C．y＝（x＋1）－xD．y＝x2－x
2x
3．在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为
s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（）
A．28米B．48米C．68米D．88米
4．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式
A．a＝1
B．a＝±1
C．a≠1
D．a≠－1
2．下列函数中，
是二次函数的是（
）
2A．y＝x－
1B．y＝x－1
C．y＝8
x
8
D．y＝x2
3．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式．
4．已知二次函数y＝－x2＋bx＋3．当x＝2时，y＝3，求这个二次函数解析式．
2课时二次函数y＝ax2的图象与性质
、阅读课本：
、学习目标：
1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
2．会画二次函数y＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．、探索新知：
画二次函数y＝x2的图象．
【提示：
画图象的一般步骤：
①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
列表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
2y＝x
填“最高”或“最低”）
因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的
6．抛物线y＝x有点
四、例题分析
y＝12x2
y＝x2的图象刚画过，再把它画出来．
x
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
2y＝2x
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
2y＝x
x
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
12y=－2x
x
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
2y＝－2x
1
归纳：
抛物线y＝－x2，y＝－2x2，y＝－2x2的二次项系数a0，顶点都是，对称轴
是，顶点是抛物线的最点（填“高”或“低”）．
五、理一理
1．抛物线y＝ax2的性质
图象（草图）
开口方向
顶点
对称轴
有最高或最低点
最值
a>0
当x＝时，y有最值，是．
a<0
当x＝时，y有最值，是．
2．抛物线y＝x2与y＝－x2关于对称，因此，抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于
对称，开口大小
3．二次函数y＝（m－1）x2的图象开口向下，则
2y＝ax
2y＝bx
2
y＝cx
y＝dx2
比较a、b、c、d的大小，用“>”连接．
七、目标检测
3．二次函数
范围为
4．写出一个过点（1，2）的函数表达式
第3课时二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
、阅读课本：
、学习目标：
1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；
2．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用；
3．知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系．三、探索新知：
在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．
解：
先列表
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y＝x2＋1
y＝x2－1
描点并画图
观察图象得：
1．
开口方向
顶点
对称轴
有最高（低）点
最值
2y＝x
2－1y＝x－1
y＝x2＋1
2．可以发现，把抛物线y＝x2向平移个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2
向平移个单位，就得到抛物线y＝x2－1．
3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状．
四、理一理知识点
1．
2y＝ax
y＝ax2＋k
开口方向
顶点
对称轴
有最高（低）点
最值
a>0时，当x＝时，y有
最值为；
a<0时，当x＝时，y有
最值为．
增减性
2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线；
抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线．
因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k>0）个单位，就得到抛物线；
把抛物线y＝ax2向下平移m（m>0）个单位，就得到抛物线．
3．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状，由此可得二次
函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状．
五、课堂巩固训练
1．填表
函数
草图
开口方向
顶点
对称轴
最值
对称轴右侧的增减性
2y＝3x
2y＝－3x2＋1
y＝－4x2－5
2．将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为．
3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式．
4．抛物线y＝4x2＋1关于x轴对称的抛物线解析式为．
六、目标检测
1．填表
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
对称轴左侧的增减性
y＝－5x2＋3
y＝7x2－1
2．抛物线y＝－13x2－2可由抛物线y＝－31x2＋3向平移个单位得到的．
33
3．抛物线y＝－x2＋h的顶点坐标为（0，2），则h＝．
4．抛物线y＝4x2－1与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为
第4课时二次函数y＝a（x-h）2的图象与性质
y＝a（x-h）2的图象；
y＝a（x-h）2的性质，并要会灵活应用；三、探索新知：
画出二次函数y＝－21（x＋1）2，y－12（x－1）2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最
值、增减性．先列表：
x
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
12
y＝－2（x＋1）2
12y＝－2（x－1）2
描点并画图．
1．观察图象，填表：
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
12y＝－2（x＋1）2
12y＝－2（x－1）2
2．请在图上把抛物线y＝－21x2也画上去（草图）．
①抛物线y＝－21（x＋1）2，y＝－12x2，y＝－12（x－1）2的形状大小
②把抛物线y＝－12x2向左平移个单位，就得到抛物线y＝－12（x＋1）2；
把抛物线y＝－21x2向右平移个单位，就得到抛物线y＝－12（x＋1）2．
四、整理知识点
1．
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a（x-h）2
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
（对称轴左侧）
2．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状，只是不同．
五、课堂训练
1．填表
图象（草图）
开口方向
顶点
对称轴
最值
对称轴右侧的增减性
12y＝2x
y＝－5（x＋3）
2
y＝3（x－3）2
2．抛物线y＝4（x－2）2与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标为
3．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为
把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为．
1
4．将抛物线y＝－13（x－1）x2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为．
5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式．
六、目标检测
1．抛物线y＝2（x＋3）2的开口；顶点坐标为；对称轴是；当x＞－3
时，y；当x＝－3时，y有值是．
2．抛物线y＝m（x＋n）2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4（x－4）2，则
m＝，n＝．
3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为．
4．若抛物线y＝m（x＋1）2过点（1，－4），则m＝．
第5课时二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质
一、阅读课本：
二、学习目标：
1．会画二次函数的顶点式y＝a（x－h）2＋k的图象；
2．掌握二次函数y＝a（x－h）2＋k的性质；
3．会应用二次函数y＝a（x－h）2＋k的性质解题．
三、探索新知：
画出函数y＝－12（x＋1）2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．
列表：
x
－4
－3
－2
－1
0
1
2
y＝－21（x＋1）2－1
1．
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
y＝－21（x＋1）2－1
2．把抛物线y＝－21x2向平移个单位，再向平移个单位，就得到抛物线y
＝－21（x＋1）2－1．
四、理一理知识点
2y＝ax
y＝ax2＋k
2
y＝a（x-h）
2
y＝a（x－h）2＋k
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
（对称轴右侧）
2．抛物线y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2形状，位置
五、课堂练习
1．
2y＝3x
y＝－x2＋1
y＝12（x＋2）2
2
y＝－4（x－5）2－3
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
（对称轴左侧）
2．y＝6x2＋3与y＝6（x－1）2＋10相同，而不同．
3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝21x2相同的解析式为（）
12121212
A．y＝2（x－2）2＋3B．y＝2（x＋2）2－3C．y＝2（x＋2）2＋3D．y＝－2（x＋2）2＋3
4．二次函数y＝（x－1）2＋2的最小值为．
5．将抛物线y＝5（x－1）2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为
6．若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上，且x＝1时，y＝－3，求a、k的值．
7．若抛物线y＝a（x－1）2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴对称点A'的坐标为
六、目标检测
1．
开口方向
顶点
对称轴
y＝x2＋1
2
y＝2（x－3）2
y＝－（x＋5）2－4
2．抛物线y＝－3（x＋4）2＋1中，当x＝时，y有最值是．
3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示
4．将抛物线y＝2（x＋1）2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为
5．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为．（任写一个）
第6课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
一、阅读课本：
二、学习目标：
1．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；
2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式；3．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象．
三、探索新知：
1
1．求二次函数y＝2x2－6x＋21的顶点坐标与对称轴．解：
将函数等号右边配方：
y＝12x2－6x＋21
12
2．画二次函数y＝2x2－6x＋21的图象．
1
解：
y＝12x2－6x＋21配成顶点式为．
3．用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴．
四、理一理知识点：
2y＝ax
y＝ax2＋k
y＝a（x－h）2
2
y＝a（x－h）2＋k
2y＝ax＋bx＋c
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
（对称轴左侧）
五、课堂练习
1．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．
2．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标．
3．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝，c＝．
4．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当时，y随x的增大而增大；当x＝时，y
有值是．
六、目标检测
1
1．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝2x2－2－1的顶点坐标．
2．二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，求其最大值．
第7课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
一、复习知识点：
二、学习目标：
1．懂得求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴、y轴的交点的方法；2．知道二次函数中a，b，c以及△＝b2－4ac对图象的影响．
三、基本知识练习
1．求二次函数y＝x2＋3x－4与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标．
2．二次函数y＝x2＋3x－4的顶点坐标为，对称轴为．
3．一元二次方程x2＋3x－4＝0的根的判别式△＝．
4．二次函数y＝x2＋bx过点（1，4），则b＝．
5．一元二次方程y＝ax2＋bx＋c（a≠0），△>0时，一元二次方程有，
△＝0时，一元二次方程有，△<0时，一元二次方程．
四、知识点应用
1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点（含y＝0时，则在函数值y＝0时，x的值是抛物线与x轴交点的横坐标）．
例1求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标．
2．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴交点（含x＝0时，则y的值是抛物线与y轴交点的纵坐标）例2求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标．
3．a、b、c以及△＝b2－4ac对图象的影响．
抛物线yaxbxc的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
1）．a的符号决定抛物线的开口方向：
当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；
a相等，抛物线的开口大小、形状相同.
2）.对称轴：
平行于y轴（或重合）的直线记作xb.特别地，y轴记作直线x0.
2a
3）.顶点坐标：
（b，4acb）
2a4a
4）.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
5）.│a│越大，开口越小，图像两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，?
图像两边越靠近x轴
当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴
2a
6）.当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．
0与x轴有两个交点
7）.△＝b2－4ac0与x轴有一个交点
0与x轴没有交点
4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线
y＝－21x2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解析式为
三、例题分析
例1已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．
例2已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
例3已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
四、归纳用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：
二次函数解析式的表示方法
一般式：
yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；
2
顶点式：
ya（xh）2k（a，h，k为常数，a0）；
两根式：
ya（xx1）（xx2）（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
五、实际问题中求二次函数解析式
例4要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
六、课堂训练1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．
2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解
析式．
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与
y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．
4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？
写出函数关系式及t的取值范围．
七、目标检测
1．已知二次函数的图像过点A（－1，0），B（3，0），C（0，3）三点，求这个二次函数解析式．
第9课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
一、阅读教科书：
二、学习目标：
几何问题中应用二次函数的最值．
三、课前基本练习
1．抛物线y＝－（x＋1）2＋2中，当x＝时，y有值是．
1
2．抛物线y＝2x2－x＋1中，当x＝时，y有值是．
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，当x＝时，y有值是．
四、例题分析：
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？
五、课后练习
1．已知直角三角形两条直角
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