1、二次函数新课讲义通用6二次函数讲义第 1 课时 二次函数第 2 课时 二次函数 y ax2的图象与性质第 3 课时 二次函数 yax2k 的图象与性质第 4 课时 二次函数 y a(x-h) 2的图象与性质 第 5 课时 二次函数 ya(xh)2k 的图象与性质 第 6 课时 二次函数 y ax2bxc 的图象与性质2第 7 课时 二次函数 y ax bxc 的性质第 8 课时 二次函数 y ax2bxc 解析式求法第 9 课时 二次函数 y ax2 bxc 的性质第 10 课时 用函数观点看一元二次方程第 11 课时 实际问题与二次函数第 12 课时 实际问题与二次函数第 1 课时 二次函数
2、一、阅读课本:二、学习目标:1知道二次函数的一般表达式;2会利用二次函数的概念分析解题;3列二次函数表达式解实际问题三、知识点:一般地,形如 的函数,叫做二次函数。其中 x 是 , a 是 , b 是 ,c 是 四、基本知识练习1观察: y 6x2; y 32 x230x; y200x2400x200这三个式子中,虽然函数有一项 的,两项的或三项的, 但自变量的最高次项的次数都是 次一般地, 如果 yax2 bx c( a、b、 c是常数, a 0),那么 y 叫做 x 的 2函数 y(m2)x2mx3(m 为常数)( 1)当 m 时,该函数为二次函数;( 2)当 m 时,该函数为一次函数3下
3、列函数表达式中,哪些是二次函数?哪些不是?若是二次函数,请指出各项对应项的系数22(1)y13x2 (2)y3x22x (3)yx (x5)23 2 (4)y3x32x2 (5) yxxx五、课堂训练21y(m1)x m m 3x1 是二次函数,则 m 的值为 2下列函数中是二次函数的是( )1 2 2 2 1Ayx2 B y3 (x1) Cy(x1) x Dyx2 x2x3在一定条件下,若物体运动的路段 s(米)与时间 t(秒)之间的关系为s5t22t,则当 t4 秒时,该物体所经过的路程为( )A28 米 B48 米 C68 米 D88 米4 n 支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛写出
4、比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系式Aa1Ba1Ca1Da12下列函数中,是二次函数的是()2 A y x 1 B yx1Cy8x8Dyx23一个长方形的长是宽的 2 倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式4已知二次函数 yx2bx3当 x2 时,y3,求 这个二次函数解析式2 课时 二次函数 y ax2的图象与性质、阅读课本:、学习目标:1知道二次函数的图象是一条抛物线;2会画二次函数 y ax2 的图象;3掌握二次函数 y ax2的性质,并会灵活应用 、探索新知:画二次函数 yx2 的图象【提示:画图象的一般步骤:列表(取几组 x、y 的对应值;描点(表中 x、y 的数值在坐
5、标平面 中描点( x, y);连线(用平滑曲线) 】列表:x32101232 yx填“最高”或“最低” )因此,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的6抛物线 yx 有 点四、例题分析y12 x2yx2 的图象刚画过,再把它画出来x21.510.500.511.522 y 2xx32101232 yxx43210123412 y= 2 xx4321012342 y 2x1归纳:抛物线 y x2, y 2 x2, y 2x2 的二次项系数 a 0,顶点都是 ,对称轴是 ,顶点是抛物线的最 点(填“高”或“低” ) 五、理一理1抛物线 yax2 的性质图象(草图)开口 方向顶点对称 轴有最高或最低点最值
6、a0当 x 时, y 有最 值,是 a”连接七、目标检测3二次函数范围为4写出一个过点( 1, 2)的函数表达式第 3 课时 二次函数 yax2k 的图象与性质、阅读课本:、学习目标:1会画二次函数 yax2k 的图象;2掌握二次函数 yax2k 的性质,并会应用;3知道二次函数 yax2与 y的 ax2k 的联系 三、探索新知:在同一直角坐标系中,画出二次函数 yx21,yx21 的图象解:先列表x3210123yx21yx21描点并画图观察图象得:1开口方向顶点对称轴有最高(低)点最值2 y x21 y x 1yx212可以发现,把抛物线 yx2向 平移 个单位,就得到抛物线 y x2 1
7、;把抛物线 yx2向 平移 个单位,就得到抛物线 y x213抛物线 yx2,yx21 与 yx21 的形状 四、理一理知识点12 y axyax2k开口方向顶点对称轴有最高(低)点最值a0 时,当 x 时, y 有最 值为 ;a 0)个单位,就得到抛物线 ;把抛物线 yax2 向下平移 m(m0)个单位,就得到抛物线 3抛物线 y3x2与 y3x21 是通过平移得到的,从而它们的形状 ,由此可得二次函数 yax2 与 yax2k 的形状 五、课堂巩固训练1填表函数草图开口 方向顶点对称 轴最值对称轴右侧的增 减性2 y3x2 y 3x2 1y 4x2 52将二次函数 y 5x 2 3 向上平
8、移 7 个单位后所得到的抛物线解析式为 3写出一个顶点坐标为( 0,3),开口方向与抛物线 y x2的方向相反,形状相同的抛物线解析 式 4抛物线 y 4x21 关于 x 轴对称的抛物线解析式为 六、目标检测1填表函数开口 方向顶点对称轴最值对称轴左侧的增减性y 5x23y7x212抛物线 y13 x2 2可由抛物线 y 31 x2 3向 平移 个单位得到的333抛物线 yx2h 的顶点坐标为( 0,2),则 h 4抛物线 y4x21与y轴的交点坐标为 ,与 x轴的交点坐标为 第 4 课时 二次函数 ya(x-h) 2 的图象与性质ya(x-h)2 的图象;ya(x-h)2 的性质,并要会灵活
9、应用; 三、探索新知:画出二次函数 y21 (x 1)2, y 12 (x1)2 的图象,并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性 先列表:x43210123412y 2 (x1)212 y 2 (x1)2描点并画图1观察图象,填表:函数开口 方向顶点对称轴最值增减性12 y 2 (x 1)212 y 2 (x 1)22请在图上把抛物线 y 21 x 2也画上去(草图) 抛物线 y21 (x1)2 ,y12 x2,y 12 (x 1)2的形状大小 把抛物线 y 12 x2向左平移 个单位,就得到抛物线 y 12 (x1)2 ;把抛物线 y 21 x2 向右平移 个单位,就得 到抛物线
10、 y 12 (x1)2 四、整理知识点1y ax2yax2kya (x-h)2开口方向顶点对称轴最值增减性(对称轴左侧)2对于二次函数的图象,只要 a相等,则它们的形状 ,只是 不同五、课堂训练1填表图象(草图)开口 方向顶点对称 轴最值对称轴 右侧的增减 性12 y 2 xy 5 (x 3)2y3 (x3)22抛物线 y4 (x2)2与 y 轴的交点坐标是 ,与 x 轴的交点坐标为 3把抛物线 y3x2 向右平移 4个单位后,得到的抛物线的表达式为 把抛物线 y 3x2向左平移 6 个单位后,得到的抛物线的表达式为 14将抛物线 y13 (x 1)x 2向右平移 2 个单位后,得到的抛物线解
11、析式为 5写出一个顶点是 (5,0),形状、开口方向与抛物线 y 2x2都相同的二次函数解析式 六、目标检测1抛物线 y2 (x 3)2的开口 ;顶点坐标为 ;对称轴是 ;当 x 3时, y ;当 x 3 时, y 有 值是 2抛物线 ym (x n)2向左平移 2个单位后,得到的函数关系式是 y4 (x4)2,则m , n 3若将抛物线 y 2x 2 1 向下平移 2 个单位后,得到的抛物线解析式为 4若抛物线 ym (x 1)2过点( 1, 4),则 m 第 5 课时 二次函数 ya(x h)2k 的图象与性质一、阅读课本:二、学习目标:1会画二次函数的顶点式 ya (x h)2 k 的图
12、象;2掌握二次函数 ya (x h)2 k 的性质;3会应用二次函数 ya (xh)2k 的性质解题三、探索新知:画出函数 y 12 (x1)21 的图象,指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性列表:x4321012y 21 (x1)211函数开口 方向顶点对称轴最值增减性y 21 (x 1)212把抛物线 y21 x2 向 平移 个单位,再向 平移 个单位,就得到抛物线 y 21 (x1)21四、理一理知识点2 yaxy ax2k2y a (x- h)2y a (x h)2 k开口方向顶点对称轴最值增减性(对称轴右侧)2抛物线 ya (xh)2 k与 yax2形状,位置 五、课堂练习1
13、2 y 3xy x2 1y 12 (x 2)22y4 (x5)23开口方向顶点对称轴最值增减性(对称轴左侧)2y6x23与y6 (x1)210 相同,而 不同3顶点坐标为( 2, 3),开口方向和大小与抛物线 y21 x2 相同的解析式为( )1 2 1 2 1 2 1 2Ay2 (x2)23 By2 (x 2)23 Cy2 (x2)23 Dy2 (x2)234二次函数 y (x 1)22 的最小值为 5将抛物线 y5(x1)23 先向左平移 2 个单位,再向下平移 4个单位后,得到抛物线的解析式为6若抛物线 yax2k 的顶点在直线 y 2上,且 x1时,y3,求 a、k 的值7若抛物线 y
14、a (x1)2k 上有一点 A (3, 5),则点 A 关于对称轴对称点 A的坐标为六、目标检测1开口方向顶点对称轴yx212y2 (x3)2y (x 5)242抛物线 y3 (x4)21 中,当 x 时, y有最 值是 3足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化,这一过程可近似地用下列哪幅图表示4将抛物线 y2 (x 1)2 3 向右平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位,则所得抛物线的表达式为5一条抛物线的对称轴是 x1,且与 x 轴有唯一的公共点,并且开口方向向下,则这条抛物线的解 析式为 (任写一个)第 6 课时 二次函数 yax2 bxc 的图象与性质一、阅读课本:二、学习
15、目标:1配方法求二次函数一般式 yax2bxc 的顶点坐标、对称轴;2熟记二次函数 yax2bxc 的顶点坐标公式; 3会画二次函数一般式 yax2bxc 的图象三、探索新知:11求二次函数 y2 x26x21 的顶点坐标与对称轴 解:将函数等号右边配方: y 12 x2 6x21122画二次函数 y2 x26x21 的图象1解: y 12 x2 6x21 配成顶点式为 3 用配方法求抛物线 yax2 bx c(a 0)的顶点与对称轴四、理一理知识点:2 yaxyax2 ky a(x h)22ya(xh)2k2 yax bxc开口方向顶点对称轴最值增减性(对称轴左侧)五、课堂练习1用配方法求二
16、次函数 y2x24x1 的顶点坐标2用两种方法求二次函数 y3x22x 的顶点坐标3二次函数 y2x2bxc 的顶点坐标是( 1, 2),则 b , c 4已知二次函数 y2x28x6,当 时,y 随x 的增大而增大;当 x 时, y有 值是 六、目标检测11用顶点坐标公式和配方法求二次函数 y2 x221 的顶点坐标2二次函数 y x2 mx 中,当 x3 时,函数值最大,求其最大值第 7 课时 二次函数 yax2 bxc 的性质一、复习知识点:二、学习目标:1懂得求二次函数 yax2bxc与 x 轴、y 轴的交点的方法; 2知道二次函数中 a,b,c 以及 b2 4ac 对图象的影响三、基
17、本知识练习1求二次函数 yx23x4与y轴的交点坐标为 ,与 x轴的交点坐标 2二次函数 yx23x 4 的顶点坐标为 ,对称轴为 3一元二次方程 x2 3x4 0 的根的判别式 4二次函数 yx2bx 过点( 1,4),则 b 5一元二次方程 y ax2bx c( a 0), 0 时,一元二次方程有 , 0 时,一元二次方程有 , 0 时,一元二次方程 四、知识点应用1求二次函数 yax2bxc与 x轴交点(含 y0时,则在函数值 y0时,x 的值是抛物线与 x 轴 交点的横坐标) 例 1 求 yx22x 3 与 x 轴交点坐标2求二次函数 yax2bxc与y 轴交点(含 x 0时,则 y
18、的值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标) 例2 求抛物线 yx22x3与 y轴交点坐标3a、b、c 以及 b2 4ac对图象的影响抛物线 y ax bx c 的三要素:开口方向、对称轴、顶点 .1) a的符号决定抛物线的开口方向:当 a 0时,开口向上;当 a 0时,开口向下;a 相等,抛物线的开口大小、形状相同 .2). 对称轴:平行于 y轴(或重合)的直线记作 x b . 特别地, y轴记作直线 x 0.2a3). 顶点坐标: ( b ,4ac b )2a 4a4). 顶点决定抛物线的位置 .几个不同的二次函数,如果二次项系数 a 相同,那么抛物线的开口方向、开口 大小完全相同,只是顶点的位置
19、不同 .5). a越大,开口越小,图像两边越靠近 y 轴, a越小,开口越大, ?图像两边越靠近 x 轴当 b 0时, b 0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴2a6).当c 0时,抛物线与 y 轴的交点在 x轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正; 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ;当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负0与x轴有两个交点7). b24ac 0与x轴有一个交点0与x轴没有交点4抛物线的形状、开口方向都与抛物线y 21 x2 相同,顶点在( 1, 2),则抛物线的解析式为
20、三、例题分析例 1 已知抛物线经过点 A(1,0),B(4,5),C(0, 3),求抛物线的解析式例 2 已知抛物线顶点为( 1, 4 ),且又过点( 2 , 3)求抛物线的解析式例 3 已知抛物线与 x 轴的两交点为( 1,0)和( 3,0),且过点( 2, 3) 求抛物线的解析式四、归纳 用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法: 二次函数解析式的表示方法一般式: y ax2 bx c (a,b,c 为常数, a 0);2顶点式: y a(x h)2 k (a, h, k为常数, a 0);两根式: y a(x x1)(x x2)(a 0,x1, x2是抛物线与 x轴两交点的横坐标) .
21、注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交 点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即 b2 4ac 0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次 函数解析式的这三种形式可以互化 .五、实际问题中求二次函数解析式例 4 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的 抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高, 高度为 3m ,水柱落地处离池中心 3m , 水管应多长?六、课堂训练 1已知二次函数的图象过( 0,1)、(2,4)、( 3,10)三点,求这个二次函数的关系式2已知二次函数的图象的顶点坐标为( 2, 3
22、),且图像过点( 3, 2),求这个二次函数的解析式3已知二次函数 yax2bxc的图像与 x 轴交于 A (1, 0),B ( 3, 0)两点,与y 轴交于点 C( 0, 3),求二次函数的顶点坐标4如图,在 ABC 中, B 90, AB 12mm,BC 24mm,动点 P从点 A 开始沿边 AB 向 B 以 2mm/s的速度移动, 动点 Q从点 B开始沿边 BC 向 C以 4mm/s的速度移动, 如果 P、Q分别从 A、 B 同时出发,那么 PBQ 的面积 S 随出发时间 t 如何变化?写出函数关系式及 t 的取值范围七、目标检测1已知二次函数的图像过点 A( 1, 0),B(3,0),C( 0,3)三点,求这个二次函数解析式第 9 课时 二次函数 yax2 bxc 的性质一、阅读教科书:二、学习目标: 几何问题中应用二次函数的最值三、课前基本练习1抛物线 y(x1)22 中,当 x 时, y 有 值是 12抛物线 y2 x2x1 中,当 x 时, y 有 值是 3抛物线 y ax2 bx c( a 0)中,当 x 时, y 有 值是 四、例题分析:用总长为 60m 的篱笆围成矩形场地,矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化,当 l 是多少时,场 地的面积 S 最大?五、课后练习1已知直角三角形两条直角
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