高一数学必修一复习资料doc.docx

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第一童

§1.1集合

1.关于集合的元素的特征

（1）确定性（组成元素不确定的如：

我国的小河流）

（2）互异性

（3）无序性

集合相等：

构成两个集合的元素完全一样

（1）若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.

（2）A=B

例：

已知A={l,l+d,l+2d},B={1,q,q2},若A=B,求的，d,q的值。

解：

d=_?

q=-|

2.元素与集合的关系；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）A,记作a^A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）A,记作a^A

子集与真子集：

如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A^B或BpA・

若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q,或Q不包含P.记作

P^Q

若集合A是集合B的子集，且B屮至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集.4uB或3二力.

子集与真子集的性质：

传递性：

若A^B,BuC,则AoC空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.

3.常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作2或N+；整数集，记作Z

有理数集，记作Q

实数集，记作R

4.集合的表示方法

（1）列举法：

把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如:

{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…；

（2）描述法：

把集合中的元素的公共属性描述出來，写在大括号{}内。

具体方法：

在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共

同特征。

如:

{x|x-3>2},{（x,y）|y=x2+l},{直角三角形},…；

（3）自然语言描述法：

小于10的所有正偶数组成的集合。

（{2,4,6,8}）里：

1、{1,3,5,7,9}如何用自然语言描述法表示？

2、用例举法表示集合心{兀旳13<8}

练习：

（1）已知集合M={a,b,c}屮的三个元素可构成某一三角形的三条边，那么此三角形一定不是（）

A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形

5.集合间的基本运算

并集（U）：

—般的由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，成为集合A与B的并集，记作AUB,即：

AB={x\xeA^eB}t韦恩图如下：

交集（门）：

一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AAB,W：

A3=A,且韦恩图如下：

全集（U）：

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就成这个集合为全集，记为U。

补集：

对于一个集合a,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作C』，即

CuA={x|xwU且xgA},韦恩图如下：

练习：

1、若A={0,2,4},CLIA={-1,2},CliB={-1,0,2},求B二

2、设A二{xx>-2},B={xx<0},求AQB.

3、若A二{xx二4n,n^Z},B={xx=6n,nEZ},求AQB・

4、A二{x|aWxWa+3},B二{x|xVT或x>5},分别求出满足下列条件的a的取值范围：

⑴APB=0

（2）AQB二A

5、已知A={x|-l

77777-4-I

6、集合A=—wZ},B={m\——wZ},贝UAB=

7、已知X二{x|x2+px+q二0,p2-4q〉0},A二{1,3,5,7,9},B二{1,4,7,10},且

XnA=0,XClB=X，试求p、q；

8、已知集合A二{a+2,（a+1）2,a2+3a+3},且1WA,求实数a的值

9、已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx+l=0},AUB二A,求实数m的值组成的集合。

10、集合A二{x||x—2|W2,xWR},B={y|y=-x2,—1WxW2},则CR（AClB）等于（）

A.RB.{x|xeR,xHO}C.{0}D.①（空集）

11>已知{"b}cA,且A为{a,b,c,d,c}的真子集，则满足条件的集合A的个数是（）

12、记函数f（x）=lg（2x-3）的定义域为集合M,函数g（x）=J1—士的定义域为集合N,求：

（1）集合M、N；

（2）集合mAN,MUN

13、已知集合A={x||x-a|^l},B={x|x2-5x+4^0},若AAB=①，则实数a的取值范围是（）

§1.2函数

函数概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A屮的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称£A—B为从集合A到集合B的一个函数。

记作：

y=f{x）,

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fd）|xWA}叫做函数的值域.

构成函数的三要素：

定义域、对应关系、值域

区间：

（1）、开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）、无穷区间；区间的数轴表示

例1：

已知函数f（x）-Jx+3+一—,求函数的定义域。

X+2

例2：

设一个矩形周长为80,其中一边长为x,求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域。

函数的定义域小结：

（1）如果fd）是整式，那么函数的定义域是实数集R・

（2）如果只劝是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合

（3）如果代方是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.

（4）如果代劝是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）

（5）满足实际问题有意义.

例3：

下列函数屮哪个与函数y二x相等？

（1）y二（Q；⑵y二（V7）;

（3）y二7?

;（4）y=—

X

练习：

1・求下列函数的定义域兀_

（1）y—+厂=_±常认

2-|x|7b厶一

说明：

（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中/表示具体的对应法则，可以用多种形式表述.

（2）“都有唯一”包含两层意思：

一是必有一个；二是只有一个，也就是说有口只有一个的意思.

例：

1.已知A二{x,y},B={a,b,c},从集合A到集合B的所有不同的映射有

（）个。

2.已知A={x,y},B={a,b,c},从集合B到集合A的所有不同的映射有（）个。

函数的表示方法：

解析法、列表法、图像法

练习：

1.己知f（x—2）二2x‘一9x+13,求f（x）配凑法

答案：

f（x）=2x2—x+3

2•已知f（仮+1）=x+2Vx,求f（x+1）,f（x2）换元法

答案：

f（x+1）=x2+2x,（x20）；f（x2）=xl—1,（xW—1或x21）

3.已知f（x）是一次函数，且有f[f（x）]=9x+8,求f（x）待定系数法答案：

f（x）二3x+2或f（x）二一3x—4

4•设F（x）满足关系式F（x）+2f（-）=3x,求f（x）——消元法

X

答案：

f（x）=|—x,xW{x|xWR,xHO}

6.已知xHO,函数f（x）满足f（x—2）=x2+—,则f（x）的表达式为（）

xx2

A.f（x）=x+iB.f（x）=x2+2C.f（x）=x2D.f（x）=（x--）2

XX

{

2X（x<4）

z'、，那么f（5）的值为（）

f（x-l）,（x>4）

A.32B.16C.8D.64

&若函数f（2x+l）x2-2x,则f（3）=（）

9•已知函数f（x）二丄二，则f

（1）+f

（2）+f（i）+f（3）+f（i）+1+x223

f（4）+f（i）的值为（）

4

10.已知f（|+1）=lgx,求f（x）

11.已知f（x）是二次函数，且f（0）=0,f（x+1）=f（x）+x+l,求f（x）

12•定义在（一1,1）内的函数f（x）满足：

2f（x）—f（—x）=lg（x+1）,求函数f（x）的解析式.

§1.3函数的基本性质

增函数：

一般地，设函数y二f（x）的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X],X2,当xKx2时，都有f（xi）

注意：

（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

（2）必须是对于区间D内的任意两个自变量X],X2；当XKX2吋，总有f（X1）

减函数：

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x“x2,当Xlf（x2）,那么就说f（x）在区间D上是减函数。

函数的单调性定义：

如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y二f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间。

例1：

物理学中的玻意耳定律P二令（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。

试用函数的单调性证明Z。

（设仏>V2>0）

判断函数单调性的方法步骤：

利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

1任取X”X2WD,且Xig；

2作差f（X1）-f（x2）；

3变形（通常是因式分解和配方）；

4定号（即判断差f（xj—f（X2）的正负）；

5下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）.练习：

1、用函数单调性的定义证明f（X）二x+扌在（VL+-）上是增函数。

2、若3x-3'y^5-x-5y成立，贝9（）%

A>x+y>0B、x+y<0C、x+y20D、x+yWO

3、函数y=log1/2（4+3x-x2）的一个单调递增区间是（）

A.（—I|）B.[|,+00）C.（-1,|）D.[|,4）

4•下列函数中，在区间（0,2）上为增函数的是（）

A.y二一x+1B.y=VxC.y=x2—4x+5D.y=-

X

5.函数f（x）二亠（xGR）的值域是（）

l+x2

A.（0,1）B,（0,1]C.[0,1）D.[0,1]

6•已知函数f（x）ax2+2ax+l,xW[—3,2]的最大值为4,求其最小值.

函数的奇偶性和周期性:

函数的奇偶性定义:

1.偶函数:

一般地，对于函数/（X）的定义域内的任意一个兀，都有f（-x）=f（x）,那么/（X）就叫做偶函数.（学生活动）依照偶函数的定义给岀奇函数的定义.

2.奇函数：

一般地，对于函数/（无）的定义域的任意一个兀，都有/（-x）=-/（%）,那么/（劝就叫做奇函数.

注意：

1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个兀，则-兀也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对

称）.

3.具有奇偶性的函数的图象的特征:

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.

练习：

1.已知函数f（x）是定义在（一8,+oo）上的偶函数，当xW（—°°,0）时,f（x）二X—x",则当XW（0,+8）吋，f（x）二

2.已知f（x）是定义在R上的偶函数•且在［0,+s）上为増函数，若

f（a）Mf

（2）,则实数3的取值范围是：

3•函数f（x）对任意实数x满足条件f（x+2）二,若f

（1）二一5,则f（X）

f（f（5））二

第二章基本初等函数

§2.1指数函数

指数和指数冨的运算

1.n次方根的含义

一般地，若兀"m,则x叫做日的门次方根，其中n>l,且脛N*

n次方根的写法

。

为正数:

斤为奇数,

斤为偶数,

。

的比次方根有一个,为丽Q的比次方根有两个,为土丽

d为负数:

斤为奇数，。

的川次方根只有一个,为丽

〃为偶数，。

的〃次方根不存在.

零的〃次方根为零，记为呃=0

小结：

正数的偶次方根有两个，并且互为相反数；负数没有偶次方根；零的任何次方根为零。

【例1】写出下列数的n次方根

（1）16的四次方根；

（2）・27的五次方根；（3）9的六次方根解：

（1）±V16=±2

（2）-V27

（3）±V9=±V3

3、n次方根的性质

归纳：

n次方根的运算性质为

（1）丽”m

（2）n为奇数，历=u

n为偶数，\fa^=\a\=°一［

［-a.a<0

【例2］求下列各式的值

（1）

（1）

（2）7（-'°）2⑶*3-汀（4）yl（a-b）2（a>b）

解：

⑴珈而=-8;

（2）J（-IO）?

二卜⑴=10;

（3）#（3-兀）4=|3—^|=71—3；

（4）J（d_"）2二a-t\=a-b・

［随堂练习］

1.求出下列各式的值

⑴佢矛

（2）畑-掰（a<1）（3）3（3°-3）“（a>l）

解：

（1）寸（-2）7=—2;

（2）—3）3=3a—3

（3）V（3^-3）4=|3f/-3|=3a-3

【例3】：

求值：

（1）75+276+^7-473-76-4^2;

（2）2^3xVk5xVT2

分析：

（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；解：

（1）75+2亦+丁7-4爺-丁6-4血

=7（V3）2+2V3*V2+（V2）2+722-2x2V3+（a/3）2一^22-2x2^2+（V2）2

=V（（V3+V2））2+7（2-V3）2-7（2-V2）2

=|V3+V2|+|2-V3-|-|2-V2|

=V3+V2+2-V3-（2-V2）

=2^2

注意：

此题开方后先樹:

绝对值，然后根据矽去掉绝对值符号。

（2）2巧xVk5xVT2

=2xV3xJ|xV2^3

=2x好x穆乂畅・

=2/•辛①马

=2x3=6

［随堂练习］

2.若J/-2d+l=a-l,求g的取值范围。

解：

«>1

3・计算+#（3_2）4_#（2—用

解:

-9+V3

弟一"P

1、分数指数幕

规定：

（1）、正数的正分数指数幕的意义为:

正数的负分数指数幕的意义与负整数幕的意义相同.

上1:

t

艮卩：

a"=—{a>0,m,neN'）

an

（2）、0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕无意义.

2、分数指数幕的运算性质

整数指数幕的运算性质，对于分数指数幕同样适用，即：

（1）ar-as=a,+s{a>0,r.seQ）

（2）（ar）s=ars（a>0,f,sgQ）

（3）（ab）r=arbr（a>0,Z?

>0,厂wQ）

3、无理指数鬲

思考：

若a>0,P是一个无理数，则q"该如何理解？

自主学习：

学生阅读教材第62页中的相关内容

归纳得岀：

血的不足近似值，从由小于血的方向逼近血,血的过剩近似值从大于血的方向逼近血。

所以，当血不足近似值从小于©的方向逼近时，5迈的近似值从小于5血的方向逼近5忑.

当V2的过剩似值从大于72的方向逼近©时，5迈的近似值从大于5匝的方向逼近

5忑，（如课本图所示）所以,5适是一个确定的实数.

总结:

一般来说.无理数指数冨〃（。

>0,卩是一个无理数）是一个确定的实数,有理数指数冨的性质同样适用于无理数指数冨•这样冨的性质就推广到了实数范围

ci・as=a,+s（a>O,rwR,swR）

（ary=a,s（a>0,reR.seR）

（d・b）r=arbr（a>0,re/?

）

练习：

［轻松过关］

1、下列式子中计算正确的是（D）

A（x2）4=x24B（X3）3=x6Cx3ex2=x6D（3fl2）2=9a4

2下列式子中计算正确的有（A）

（1）=V-6/；

（2）=小（3）（莎+b寸=a+a~}

A0B1C2D3

3、⑹?

•（廝的值是（B）

A2B2°C2V2D8

4、下列说法正确的是（C）

A5“无意义B5血>25C5L41<5^<5k42D5“v5

5、用计算器算io血—io⑷4“.0128;（保留4个有效数字）

6、已矢口夕+^讨=3，贝［M+a"二7；

_29

7、计算（0）丐（祈）让师7的值解：

原式二9土1（#［适度拓展］

8、化简：

冶+冲_4+J（八T+4（e=2.718-）

3

解：

原式二，一盯+，+旷3=2◎

9、已矢口0+。

一"=3,求如+矿3的值

解原式二3a/2,提示：

cr+a~3=（a+a~'）（a2-a^ax+a~2）［综合提高］

10、已知：

a=2y［i,b=5^2,

34

/宀9沪

~3_14

-6沪沪+9沪

331

的值

/+3/?

3

432

解:

由戶夕2_6°乌刁+9庚=（/沪一3庚尸,

3532

又l

310

••原式二叮弩

3b3-a4bA

310

310

b_a2-9b3"355T

a4+3b33b3-a4

b2

35

a4+3b3

（q2-9/?

3）b2=b2=_（5歼=_50

W3

9/?

3-a1

定义：

一般地，函数y二/（d>0且心1）叫做指数函数，其中兀是自变量，函数

当0

二、指数函数及其性质

图象特征

函数性质

a>1

0

a>10

向兀轴正负方向无限延伸

函数的定义域为R

图象关于原点和J轴不对称

非奇非偶函数

函数图象都在%轴上方

函数的值域为R+

函数图象都过定点（0,1）

a°=l

自左向右/图象逐渐上升

自左向右,图象逐渐下降

增函数

减函数

在第一象限内的图象纵坐标都大于1

在第一象限内的图象纵坐标都小于1

x>0zax>1

x>0zax<1

在第二象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都大于1

x<0,ax<1

x<0,as>1

利用函数的单调性,结合图象还可以看出：

（1）在［处］上,畑=ax（a>0且aHl）值域是［他）J@）］或W）J（a）］;

（2）若心0,贝1护（兀）工1;/（%）取遍所有正数当且仅当xeR;

（3）对于指数函数f（x）=ax（。

>0且。

工1），总有/（l）=a;

（4）当a>1时，若兀］

练习：

1、函数/（%）=（-）啲定义域和值域分别是多少？

xeR,y>0

2

2、当兀引-1,1］时,函数心）=3”一2的值域是多少?

（・^l）

§2.2对数函数

对数与对数运算

对数：

一般地，若/=N（a>0,且°H1）,那么数x叫做以a为底/V的对数，记作兀=log“N

a叫做对数的底数，/V叫做真数.

2、对数式与指数式的互化

在对数的概念中，要注意：

（1）底数的限制Q>0,且心1

（2）a*=Nolog"N=x

指数式o对数式

幕底数-ci-对数底数

指数—兀一*对数

幕-N-真数

恒等式：

E=N

负数和零没有对数。

Logal=0;logaa=l

两类对数：

1以10为底的对数称为常用对数,log10N常记为lgN・

2以无理数e=2・71828…为底的对数称为自然对数zlog,N常记为InN・例：

求下列各式中x的值

2

（1）log64x=--

（2）logv8=6（3）IglOO=x（4）-lne2=x

J丿

分析：

将对数式化为指数式，再利用指数幕的运算性质求出X.

23-（--）1

W：

（1）X=（64）3=（45）3=43=4-2=一

16

丄丄丄丄_

（2）卡=&所以（M=（8）'=（23r=2^=72

（3）10v=100=102,于是r=2

（4）由一Ine2=x,W-x=ln^2,BPe"x=e2所以兀=一2

/

对数的运算

运算性质

女［1果a>0，且GH1,M>0,2>0,那么

1log“（M•N）=log“M+logaN；

M

①吨访iog“M-log,N；

®log“Mn=nlog“M（neR）.

换底公式

log“b=

lo&blog"

（a>0t1;c〉0z@.ch1;Z?

>0）•

证明:

iSax=b,所以logcax=logcb,因为logcax=xlogca;所以X=logca7logca=logcb/logca=logab

换底公式推论

/?

（1）log“””=—log,;

m

（2）log宀一.

log/,a

对数函数的图象

（1）y=iog2兀

（2）J=logjx

2

（3）y=log3兀

（4）y=log]x

3

图象特征

函数性质

a>1

0

a>1

0

函数图象都在y轴右侧

函数的定义域为（0,+8）

图象关于原点和y轴不对称

非奇非偶函数

向y轴正负方向无限延伸

函数的值域为R

函数图象都过定点（1,1）

r

=1

自左向右看/

自左向右看/

增函数

减函数

图象逐渐上升

图象逐渐下降

第一象限的图象

第一象限