高一数学必修一复习资料doc.docx

1、高一数学必修一复习资料doc第一童1.1集合1. 关于集合的元素的特征(1) 确定性(组成元素不确定的如：我国的小河流)(2) 互异性(3) 无序性集合相等：构成两个集合的元素完全一样(1) 若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记 作 A=B.(2) A = B例：已知 A=l,l+d, l+2d, B=1, q, q2,若 A=B,求的，d, q 的 值。解：d=_? q=-|2. 元素与集合的关系；(1) 如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to) A,记作aA(2) 如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to) A,记 作aA子

2、集与真子集：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集 合A叫做集合B的子集，记作AB或BpA若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q,或Q不包含P. 记作PQ若集合A是集合B的子集，且B屮至少有一个元素不属于A,那么集合A叫 做集合B的真子集.4 u B或3二力.子集与真子集的性质：传递性：若AB, BuC,则AoC 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.3. 常用数集及其记法非负整数集(或自然数集)，记作N 正整数集，记作2或N+； 整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R4. 集合的表示方法(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如:1,

3、 2, 3, 4, 5, x2, 3x+2, 5y3-x, x2+y2,；(2) 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出來，写在大括号内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或 变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如:x|x-32, （x, y） |y=x2+l, 直角三角形,；（3）自然语言描述法：小于10的所有正偶数组成的集合。（2,4,6,8） 里：1、1, 3, 5, 7, 9如何用自然语言描述法表示？ 2、用例举法表 示集合心兀旳13-2, B= x x5,分别求出满足下列条件的a的取 值范围： APB=0 (2) A QB

4、二 A5、 已知 A=x|-lx2, B= x| lx已知 b cA,且A为a, b, c, d, c的真子集，则满足条件的集合A 的个数是()12、 记函数f (x) =lg (2x-3)的定义域为集合M,函数g (x) = J1士的 定义域为集合N,求：(1)集合M、N； (2)集合mAN, MUN13、 已知集合 A=x| |x-a|l, B=x|x2-5x + 40,若 AAB=，则实数 a 的取值范围是()1.2函数函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对 于集合A屮的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 那么就称 AB为从集合A到集合

5、B的一个函数。记作： y=fx),其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应 的y值叫做函数值，函数值的集合fd)| xWA 叫做函数的值域.构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域区间：(1)、开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)、无穷区间；区间的数 轴表示例1：已知函数f (x) - Jx + 3 +一,求函数的定义域。X + 2例2：设一个矩形周长为80,其中一边长为x,求它的面积关于x的函数的解 析式，并写出定义域。函数的定义域小结：(1) 如果fd)是整式，那么函数的定义域是实数集R(2) 如果只劝是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集 合(3)

6、如果代方是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或 等于零的实数的集合.(4) 如果代劝是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各 部分式子都有意义的实数集合.(即求各集合的交集)(5) 满足实际问题有意义.例3：下列函数屮哪个与函数y二x相等？(1) y 二(Q ； y 二(V7);(3) y 二7? ; (4) y=X练习：1求下列函数的定义域 兀_ (1) y+厂 =_常认2-|x| 7 b 厶一说明：(1) 这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其 中/表示具体的对应法则，可以用多种形式表述.(2) “都有唯一”包含两层意思：一是必有一个；二是只

7、有一个，也就是说有 口只有一个的意思.例：1.已知A二x, y, B=a, b, c,从集合A到集合B的所有不同的映射有()个。2. 已知A=x, y, B=a, b, c,从集合B到集合A的所有不同的映射有() 个。函数的表示方法：解析法、列表法、图像法练习：1.己知 f (x 2)二2x一9x+13,求 f (x) 配凑法答案：f (x) =2x2x+32已知 f (仮+1) =x + 2Vx,求 f (x + 1) , f (x2) 换元法答案：f (x+1) =x2+2x, (x20) ； f (x2) =xl1, (xW 1 或 x21)3. 已知f (x)是一次函数，且有f f (

8、x) =9x + 8,求f (x) 待定系数法 答案：f (x)二3x + 2 或 f (x)二一3x44设F (x)满足关系式F (x) +2f (-) =3x,求f (x)消元法X答案：f (x) =|x, xWx|xWR, xHO6.已知xHO,函数f (x)满足f (x2) =x2+,则f (x)的表达式为()x x2A. f (x) =x+i B. f (x) =x2+2 C. f (x) =x2 D. f (x) = (x-) 2X X2X (x 4)A. 32 B. 16 C. 8 D. 64& 若函数 f (2x+l) x2-2x,则 f (3)=()9已知函数 f (x)二丄

9、二，则 f (1) +f (2) +f (i) +f (3) +f (i) + 1+x2 2 3f (4) +f (i)的值为()410.已知 f (|+ 1) =lgx,求 f (x)11. 已知 f (x)是二次函数，且 f (0) =0, f (x+1) =f (x) +x+l,求 f (x)12定义在(一1,1)内的函数 f (x)满足：2f (x) f (x) =lg (x+1), 求函数f (x)的解析式.1.3函数的基本性质增函数：一般地，设函数y二f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区 间D内的任意两个自变量X, X2,当xKx2时，都有f (xi)f (x2),那么

10、就说f(x) 在区间D上是增函数。注意：(1) 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；(2) 必须是对于区间D内的任意两个自变量X, X2；当XKX2吋，总有 f(X1) f (x2)减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区 间D内的任意两个自变量x“ x2,当Xlf(x2),那么就说 f(x)在区间D上是减函数。函数的单调性定义：如果函数y=f (x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y二f (x)在这 一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。例1：物理学中的玻意耳定律P二令(k为正常数)告诉我们，对于

11、一定量的气 体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明Z。(设仏 V20)判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1 任取X” X2WD,且Xig；2 作差 f(X1)-f(x2)；3 变形(通常是因式分解和配方)；4 定号(即判断差f(xjf(X2)的正负)；5 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). 练习：1、 用函数单调性的定义证明f(X)二x+扌在(VL +-)上是增函数。2、 若 3x-3y5-x-5y成立，贝9 () %A x + y 0 B、x + y l,且脛N*n次方根的写法。为正数:斤为奇数,斤为偶

12、数,。的比次方根有一个,为丽 Q的比次方根有两个,为土丽d为负数:斤为奇数，。的川次方根只有一个,为丽为偶数，。的次方根不存在.零的次方根为零，记为呃=0小结：正数的偶次方根有两个，并且互为相反数；负数没有偶次方根；零的任何次方 根为零。【例1】写出下列数的n次方根(1)16的四次方根；(2 )2 7的五次方根；(3 ) 9的六次方根 解：(1 ) V16 = 2(2 ) -V27(3 ) V9 =V33、n次方根的性质归纳：n次方根的运算性质为(1 )丽” m(2 )n为奇数，历=un 为偶数，fa = a = 一 -a. a b )解：珈而=-8 ;(2) J(-IO)?二卜=10;(3)

13、 #(3-兀)4 = |3 | = 71 3 ；(4) J(d_)2 二 a-t =a-b 随堂练习1. 求出下列各式的值佢矛 (2)畑-掰(a l)解：(1 )寸(-2)7 = 2 ; ( 2 ) 3)3 =3a 3(3) V(3-3)4 =|3f/-3|=3a-3【例3】：求值：(1) 75 + 276 + 7-473 -76-42;(2) 23 x Vk5 x VT2分析：(1 )题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质； 解：(1) 75 + 2亦 + 丁7-4爺 - 丁6-4血=7(V3)2+2V3*V2 + (V2)2 + 722-2x2V3+(a/3)2 一22

14、-2x22 + (V2)2=V(V3+V2)2 +7(2-V3)2 -7(2-V2)2=| V3 + V2 | + |2-V3-|-|2-V2|= V3 + V2 +2-V3-(2-V2)= 22注意：此题开方后先樹:绝对值，然后根据矽去掉绝对值符号。(2) 2巧 x Vk5 x VT2=2xV3x J|xV23=2x好x穆乂畅=2/辛马=2x3=6随堂练习2 .若J/-2d + l=a-l,求g的取值范围。解： 13 计算 + #(3 _ 2)4 _ #(2 用解:-9+ V3弟一P1、分数指数幕规定：(1)、正数的正分数指数幕的意义为:正数的负分数指数幕的意义与负整数幕的意义相同.上 1

15、:t艮卩：a = a 0, m, n e N)an(2 )、0的正分数指数幕等于0 , 0的负分数指数幕无意义.2、分数指数幕的运算性质整数指数幕的运算性质，对于分数指数幕同样适用，即：(1 ) ar - as = a,+s a 0, r.s e Q)(2 ) (ar)s = ars (a 0, f,s g Q)(3 ) (ab)r = arbr (a 0,Z? 0,厂 w Q )3、无理指数鬲思考：若a0, P是一个无理数，则q该如何理解？自主学习：学生阅读教材第6 2页中的相关内容归纳得岀：血的不足近似值，从由小于血的方向逼近血,血的过剩近似值从大 于血的方向逼近血。所以，当血不足近似值从

16、小于的方向逼近时，5迈的近似 值从小于5血的方向逼近5忑.当V2的过剩似值从大于72的方向逼近时，5迈的近似值从大于5匝的方向逼近5忑，（如课本图所示）所以,5适是一个确定的实数.总结:一般来说.无理数指数冨（。0,卩是一个无理数）是一个确定的实数,有理 数指数冨的性质同样适用于无理数指数冨这样冨的性质就推广到了实数范围ci as = a,+s （aO,r w R,s w R）（ary = a,s（a 0, r e R.s e R）（d b）r = arbr （a 0, r e /?）练习：轻松过关1、下列式子中计算正确的是（D ）A （x2）4 =x24 B（X3）3 =x6 Cx3ex2=

17、x6 D（3fl2）2 =9a42下列式子中计算正确的有（A ）（1 ） = V-6/ ； （ 2 ） =小（3 ）（莎+b寸=a + aA 0 B 1 C 2 D 33、 ? （廝的值是（B ）A 2 B 2 C2V2 D 84、 下列说法正确的是（C ）A5“无意义 B5血 25 C5L41 5 5k42 D5“v55、 用计算器算io血io4“ . 0 12 8 ;（保留4个有效数字）6、 已矢口夕+讨=3 ，贝M + a二 7 ；_2 9 7、 计算（0）丐（祈）让师7的值 解：原式二9土1（# 适度拓展8、化简：冶+冲_4 + J（八T+4 （ e=2.718 -）3解：原式二，一盯

18、+ ，+旷3 = 2 9、已矢口0 +。一 =3,求如+矿3的值解原式二 3a/2 ,提示：cr +a3 =(a + a)(a2-aax +a2 ) 综合提高1 0、已知：a = 2yi , b = 52 ,3 4/宀9沪 3 _1 4-6沪沪+ 9沪3 3 1的值/ +3/?34 3 2解:由戶夕2_6乌刁+9庚=(/沪一3庚尸,3 5 3 2又 lab , .戶 a3b3 ,从而得abx 0且心1）叫做指数函数，其中兀是自变量，函数当0 10 a 1 0 a 0 z ax 1x 0 z ax 1在第二象限内的图 象纵坐标都小于1在第二象限内的图 象纵坐标都大于1x 0 , ax 1x 1利

19、用函数的单调性,结合图象还可以看出：(1)在处上,畑=ax ( a 0且 a Hl )值域是他)J)或W)J(a); (2 )若心0,贝1护(兀)工1; /(%)取遍所有正数当且仅当x e R;(3)对于指数函数f(x) = ax (。0且。工1)，总有/(l) = a;(4 )当 a 1 时，若兀 x2，则 /(舛)022、 当兀引-1,1时,函数心)=3”一2的值域是多少?(l)2.2对数函数对数与对数运算对数：一般地，若/ = N(a 0,且 H1),那么数x叫做以a为底/V的对数，记 作兀=log“ Na叫做对数的底数，/V叫做真数.2、对数式与指数式的互化在对数的概念中，要注意：(1

20、)底数的限制Q 0,且心1(2 ) a* = N o log N = x指数式o对数式幕底数-ci -对数底数指数兀一*对数幕-N-真数恒等式：E=N负数和零没有对数。Logal=0 ; logaa=l两类对数：1 以10为底的对数称为常用对数,log10 N常记为lg N2 以无理数e=271828为底的对数称为自然对数z log, N常记为In N 例：求下列各式中x的值2(1 ) log64x = - ( 2 ) logv8 = 6 ( 3 ) IglOO = x ( 4 ) -lne2 =xJ丿分析：将对数式化为指数式，再利用指数幕的运算性质求出X.2 3-(-) 1W ： ( 1 )

21、 X = (64) 3 =(45) 3 =4 3 =4-2=一16丄 丄 丄 丄 _(2 )卡=&所以(M = (8) = (23r =2=72(3) 10v=100 = 102,于是r = 2(4 )由一Ine2 =x, W-x = ln2,BPex =e2 所以兀=一2/对数的运算运算性质女1果a0 ，且GH1 , M 0,20 ,那么1 log“(M N) = log“ M + loga N ；M吨访 iog“M - log, N ； log“ Mn = n log“ M (n e R).换底公式log“ b =lo& b log(a 0 t 1 ;c0z.ch1 ; Z? 0 ) 证明

22、:iSax=b ,所以 logcax=logcb ,因为 logcax=xlogca ;所以 X=logca7logca=logcb/logca=logab换底公式推论/?(1) log“”=log,;m(2) log宀一.log/, a对数函数的图象(1) y = iog2 兀(2 ) J = logj x2(3 ) y = log3 兀(4) y = log x3图象特征函数性质a 10 a 10al函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0 , + 8 ）图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点（1,1）r=1自左向右看/自左向右看/增函数减函数图象逐渐上升图象逐渐下降第一象限的图象第一象限