人教版七年级数学上册第三章 一元一次方程知识点期末复习与巩固无答案.docx

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人教版七年级数学上册第三章一元一次方程知识点期末复习与巩固无答案

一元一次方程知识点期末复习与巩固

一、知识梳理

知识点一：

一元一次方程及解的概念

　　1、一元一次方程的概念：

只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程的标准形式是：

（其中是未知数，是已知数，且）。

　　2、方程的解：

使方程左右两边的值的未知数的值叫做方程的解

　　要点诠释：

（1）一元一次方程必须满足的3个条件：

只含有一个未知数；未知数的次数是1次；整式方程．

（2）判断一个数是否是某方程的解：

将其代入方程两边，看两边是否相等．

知识点二：

方程变形——解方程的重要依据

1、等式的基本性质（也叫做方程的同解原理）:

　　等式的性质1：

等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍。

　　即：

如果

，那么

；（c为一个数或一个式子）。

　　等式的性质2：

等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍。

　　即：

如果

，那么

；如果

，那么

2、分数的基本的性质:

　　分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的不变。

　　即：

（其中m≠0）

注：

分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，

　　如方程：

，将其化为的形式：

。

方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

知识点三：

解一元一次方程的一般步骤：

1、解一元一次方程的基本思路：

　　通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，最终把方程“转化”成x＝a的形式。

2、解一元一次方程的一般步骤是：

变形名称

具体做法

变形依据

去分母

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数

等式基本性质2

去括号

先去小括号，再去中括号，最后去大括号

去括号法则、分配律　

移项

把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号）

等式基本性质1

合并同类项

把方程化成ax＝b（a≠0）的形式

合并同类项法则

系数化成1

在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程

的解x＝

等式基本性质2

注意：

（1）解方程时应注意：

　　　①解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据方程形式

　　　　灵活安排求解步骤。

熟练后，步骤及检验还可以合并简化。

　　　②去分母时，不要漏乘没有分母的项。

去分母是为了简化运算，若不使用，可进行分数运算。

　　　③去括号时，不要漏乘括号内的项，若括号前为“－”号，括号内各项要改变符号。

（2）在方程的变形中易出现的错误有以下几种情况：

　　　①移项时忘记改变符号；

　　　②去分母时，易忘记将某些整式也乘最简公分母；

　　　③分数线兼有括号的作用，在去分母后，易忘记添加括号；

3、理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:

（1）a≠0时，方程有唯一解x＝；

（2）a=0，b=0时，方程有无数个解；

　　（3）a=0，b≠0时，方程无解。

知识点四：

列一元一次方程解应用题的一般步骤:

1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：

（1），分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．

（2），一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．

　　（3），把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．

　　（4）．

　　（5），看方程的解是否符合题意．

　　（6）写出答案．

2、解应用题的书写格式：

设→根据题意→解这个方程→答。

　　注意：

（1）在一道应用题中，往往含有几个未知数量，应恰当地选择其中的一个，用字母x表示出来，即所设的

　　　未知数，然后根据数量之间的关系，将其它几个未知数量用含x的代数式表示。

（2）解应用题时，不能漏掉“答”，“设”和“答”中都必须写清单位名称。

　　（3）列方程时，要注意方程两边是同一个量，并且单位要统一。

　　（4）一般情况下，题目中所给的条件在列方程时不能重复使用，也不能漏掉不用。

重复利用同一个条

　　　件，会得到一个恒等式，无法求得应用题的解。

知识点五：

常见的一些等量关系

　　常见列方程解应用题的几种类型：

类型

基本数量关系

等量关系

（1）和、差、倍、分问题

①较大量＝较小量＋多余量

②总量＝倍数×倍量

抓住关键性词语

（2）等积变形问题

变形前后体积相等

（3）行程问题

相遇问题

路程＝速度×时间

甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离

追及问题

同地不同时出发：

前者走的路程＝追者走的路程

同时不同地出发：

前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程

顺逆流问题

顺流速度＝静水速度＋水流速度

逆流速度＝静水速度－水流速度

顺流的距离＝逆流的距离

（4）劳力调配问题

从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语

（5）工程问题

工作总量＝工作效率×工作时间

各部分工作量之和＝1

（6）利润率问题

商品利润＝商品售价－商品进价

商品利润率＝

×100％

售价＝进价×（1＋利润率）

抓住价格升降对利润率的影响来考虑

（7）数字问题

设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a＋b

抓住数字所在的位置、新数与原数之间的关系

（8）储蓄问题

利息＝本金×利率×期数

本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数×（1－利息税率）

（9）按比例分配问题

甲∶乙∶丙＝a∶b∶c

全部数量＝各种成分的数量之和（设一份为x）

（10）日历中的问题

日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大1；日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大7

日历中的数a的取值范围是1≤a≤31，且都是正整数

2、

经典例题透析

类型一：

一元一次方程的有关概念

1、已知下列各式：

　　①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦＝8；

　　⑧x＝0。

其中方程的个数是（　）

　　A、5　　　　　B、6　　　　　C、7　　　　　D、8

　　　　[变式1]判断下列方程是否是一元一次方程：

（1）-2x2+3=x

（2）3x-1=2y（3）x+=2（4）2x2-1=1-2（2x-x2）

　　　　[变式2]已知：

（a-3）（2a+5）x+（a-3）y+6＝0是一元一次方程，求a的值。

类型二：

一元一次方程的解法

　　解一元一次方程的一般步骤是：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。

1、巧凑整数解方程

1、解方程：

　　[变式]解方程：

＝2x－5

2、巧用观察法解方程

2、解方程：

3、巧去括号解方程

　　含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方法，以避免繁杂的计算过程。

3、解方程：

　[变式]解方程：

4、运用拆项法解方程

　　在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。

4、解方程：

5、巧去分母解方程

　　当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现比较繁琐的运算。

为了避免这样的运算。

应把分母化成整数。

化整数时，利用分数的基本性质将分子、分母同时扩大相同的倍数即可。

5、解方程：

＝1

6、巧组合解方程

6、解方程：

7、巧解含有绝对值的方程

　　解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。

对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则x＝m或x＝－m。

7、解方程：

|x－2|－3＝0

[变式1]5|x|-16＝3|x|-4

[变式2]

　　小结：

解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班（严格按步骤）地解方程，又要能随机应变（灵活打乱步骤）解方程。

对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。

　　解一元一次方程常用的技巧有：

（1）有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。

（2）当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。

　　（3）当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。

　　（4）运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作整体进行变形。

　　　解方程时，认真观察方程的结构特征，灵活采用解方程的一些技巧，可达到事半功倍的效果。

类型三、一元一次方程的综合应用题

1．优化方案问题

1、由于活动需要，78名师生需住宿一晚，，他们住了一些普通双人间和普通三人间，结果每间客房正好住满，且在宾馆给他们打五折优惠的基础上一天一共付住宿费2130元。

请你算一算，他们需要双人普通间和三人普通间各多少间？

类型

普通

（元/间）

豪华

（元/间）

双人房

140

300

三人房

150

400

2．行程中的追及相遇问题

2、甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1小时乙到达A地.问甲、乙行驶的速度分别是多少？

　　举一反三：

　　[变式]甲、乙两地相距240千米，汽车从甲地开往乙地，速度为36千米/时，摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的。

摩托车从乙地出发2小时30分钟后，汽车才开始从甲地开往乙地，问汽车开出几小时后遇到摩托车？

3．日历中的方程

3、

（1）在2006年8月的日历中（如图

（1）），任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为a，则用含a的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是＿＿＿。

（2）现将连续自然数1至2006按图中（如图

（2））的方式排成一个长方形阵列，用一个长方形框出16个数。

　　①图中框出的这16个数的和是____________。

　　②在图

（2）中，要使一个长方形框出的16个数之和分别等于2000、2006，是否可能？

若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该长方形框出的16个数中的最小数和最大数。

　　总结升华：

（1）日历中的数量关系

　　　①在日历中，每一横排相邻两个数字之间差1。

　　　②在日历中，每一竖排相邻两个数字之间差7。

　　　③在日历中，左上到右下方向相邻两个数字之间差8。

　　　④在日历中，右上到左下方向相邻两个数字之间差6。

（2）用一个正方形任意圈出9个数的规律

　　　①中间一个数字是所有九个数字的平均值。

　　　②每一横排、每一竖排、每一斜排，中间一个数字都是它们的平均值。

　　[变式1]每人准备一份日历，在各自的日历上任意圈一个竖列上的相