数学人教版八年级上册因式分解教学设计.docx

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数学人教版八年级上册因式分解教学设计

第四章因式分解

1．因式分解

总体说明

因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在分式有密切联系，因式分解是在学习有理数和整式四则运算上进行的，它为今后学习分式运算，解方程及方程组及代数式和三角函数式恒等变形提供必要的基础。

因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义．

本节是因式分解的第1小节，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想，分解的思想，逆向思考的作用，体会数学思维之间的整体联系。

一、学生知识状况分析

学生的技能基础：

学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础．

学生活动经验基础：

由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点．

二、教学任务分析

基于学生在小学已经接触过因数分解的经验，但对于因式分解的概念还完全陌生，因此，本课时在让学生重点理解因式分解概念的基础上，应有意识地培养学生知识迁移的数学能力，如：

类比思想，逆向运算能力等。

因此，本课时的教学目标是：

1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．

2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法．

3.通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识。

4.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．

5．理解因式分解的概念，因式分解与整式乘法的关系．

6．了解公因式的概念，能熟练运用提公因式法进行因式分解．

7．在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法．

二、教学重难点

情感与态度：

培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。

重点：

因式分解的概念

难点：

难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法教学重点：

会用提公因式法分解因式．会用提公因式法分解因式．

教学难点：

如何确定公因式及提出公因式后的另外因式．如何确定公因式及提出公因式后的另外因式．

三、教学过程分析

（1）

本节课设计了六个教学环节：

复习回顾，比较探究（数→形→式）概念，引出概念（确认概念属性），类比练习，反馈练习，小结

第一环节复习回顾：

活动内容：

下题简便运算怎样进行

问题1：

736×95+736×52，-2.67×132+25×2.67+7×2.67

设计意图：

观察实例，分析共同属性：

解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式，此时学生对因式分解还相当陌生的，但学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．引入这一步的目的旨在设计问题情景，复习知识点与计算，引入新课，让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法，通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握和理解打一个台阶。

第二环节比较探究：

活动内容：

问题3：

（1）993-99能被99整除吗？

为了回答这个问题，你该怎样做？

把你的想法与同学交流。

993-99=99×992-99=99（992-1）

∴993-99能被99整除

（2）993-99能被100整除吗？

为了回答这个问题，你该怎样做？

把你的想法与同学交流。

小明是这样做的：

993-99=99×992－99×1=99（992－1）

=99（99+1）（99-1）

=99×98×100

所以993-99能被100整除

活动目的：

以一连串的知识性问题引入，在学生已有的认识基础上，先让学生解决一些具体的数的运算问题，通过简便运算把一个式子化成几个数乘积的形式，并且问题的设置由浅入深，逐步让学生体会分解因数的过程和意义。

这一环节的设置对学生理解下面因式分解的概念起到了很大帮助，体现了知识螺旋上升的思想。

想一想：

（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？

（2）请你说明小明每一步的依据。

（3）993-99还能被哪些正整数整除？

为了回答这个问题，你该怎做？

与同学交流。

（老师点拨：

回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？

）

小结：

以上三个问题解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。

可以了解:

993-99可以被98、99、100三个连续整数整除.

将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?

学生探究发现：

用a表示任意一个大于1的整数，则：

①你能理解吗?

你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？

②这样变形是为了达到什么样的目的？

活动目的：

从知识性的问题过度到思考性的问题，巧妙设问：

“将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?

”引发学生联想到用字母表示数的方法，得出

，这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃，是从对具体、个别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识，是对学生思维能力水平的一次提高，同时很自然的从分解因数过度到分解因式，初步树立起学生对因式分解概念的直观认识。

议一议：

经历从分解因数到分解因式的类比过程。

探究概念本质属性。

第三环节：

引出概念：

把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。

第四环节：

类比练习

活动内容：

计算下列式子：

（1）3x（x-1）=；

（2）m（a+b-1）=；

（3）（m+4）（m-4）=；

（4）（y-3）2=；

（5）3x2-3x=；

（6）ma+mb-m=;

（7）m2-16=；

（8）y2-6y+9=．

思考：

因式分解与整式乘法有什么关系？

举例说明

活动目的：

通过两组互逆关系的练习，类比两种不同的逆运算，进一步让学生体会什么是分解因式，这个时候，分解因式的概念已基本在学生头脑中确立。

由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．

三、教学过程分析

（2）

（一）创设情境，引出问题

学校为了丰富我们的课外活动，打算在原操场两侧分别建一个网球场和篮球场，各场地长、宽如下图所示：

问题1：

你能用几种方法表示扩大后的操场面积？

预设1：

ma+mb+mc．

预设2：

m（a+b+c）．

问题2：

不同的表示方法之间有什么关系？

预设：

ma+mb+mc=m（a+b+c）．

我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

问题3：

如何从数学的角度认识不同的表示方法之间的关系？

预设：

因式分解与整式乘法是方向相反的变形．

【设计意图】通过具体问题的解决，让学生在思考、观察和探索的过程中，了解因式分解的概念，认识因式分解的基本属性——将和差化积的式子变形，同时发现因式分解与整式乘法的互逆变形关系，为后续探索因式分解的具体方法做铺垫．

练习1：

根据你对概念的理解，判断下列变形是不是因式分解．

（1）2m>（m-n）=<2m2>-2mn；

（2）x2-2x+1=x（x-2）+1；

（3）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（4）4x2-4x+1=（2x-1）2；

（5）3a>2+<6a>=<3a>（a+2）；

（6）m2-1+n2=（m+1）（n-1）．

【设计意图】通过实例辨析，让学生进一步理解因式分解的概念，认识到因式分解是恒等变形．

（二）探索发现，推陈出新

观察多项式ma+mb+mc．

思考：

这个多项式的各项有什么特点？

预设：

它的各项都有一个公共的因式m．

我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．

例1：

找出下面多项式的公因式．

（1）4xy2+2x2y3；

（2）ax2+2ax-4ay．

练习2：

写出下列多项式各项的公因式．

（1）4ax-8ay；

（2）5y3+20y2；

（3）a2b-2ab2+ab；

（4）-4a3b2-6a2b+2ab；

（5）（2a+b）（2a-3b）-3a（2a+b）．

归纳方法：

如何确定多项式各项的公因式？

1．定系数：

找多项式各项系数的最大公约数．

2．定字母：

找多项式各项相同的字母．

3．定指数：

相同字母的最低的次数．

【设计意图】通过学生观察、思考和总结归纳，让学生了解公因式的概念，进一步了解因式分解与整式乘法的关系，了解因式分解的理论依据，为提公因式法分解因式做基础，初步理解提公因式法分解因式．

（三）例题展示，规范解题

因式分解：

27x3-9x2y2．

如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

例2：

把2x2-8xy+x因式分解．

解：

原式=x·2x-x·8y+x·1

=x（2x-8y+1）．

【设计意图】通过例题的教学，引导学生：

（1）了解提公因式法分解因式的基本步骤；

（2）积累找公因式的经验；（3）知道提公因式法就是把多项式分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是由多项式除以公因式得到的；（4）用公因式法分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式．

练习3：

（1）24a3m-18a2m2；

（2）5y2-15y+5；

（3）28x3-14x2+7x．

例3：

因式分解

．

【设计意图】例3是对于首项是带有负号的多项式分解因式，多项式第一项的系数是负数，通常先提出“-”号，且括号内各项都要变号．

（五）作业

基础检测：

1．因式分解

（1）

；

（2）－12a2b+24ab2；

（3）xy－x2y2－x3y3；

（4）

．

2．已知a－b＝3，ab＝－1，求a2b－ab2．

3．若x2＋3x－2＝0，求2x3＋6x2－4x的值．

4．先分解因式，再求值：

4a2（x+7）-3（x+7），其中a=-5，x=3．

5．因式分解

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

．

6．先化简，再求值

，其中，x=

.

7．已知方程组

，求代数式

的值．

第五环节反馈练习

活动内容：

1、看谁连得准

x2-y2.（x+3）2

9-25x2y（x-y）

+6x+9（3-5x）（3+5x）

xy-y2（x+y）（x-y）

2、下列哪些变形是因式分解，为什么？

（1）（a+3）（a-3）=a2-9

（2）m2-4=（m+2）（m-2）

（3）a2-b2+1=（a+b）（a-b）+1

（4）2πR+2πr=2π（R+r）

练习4：

（1）-7ab+49ab2c；

（2）-6ax2+9axy-3a；

（3）-2a3b2-ab3c+3abc．

例4：

把多项式2a（b+c）-3（b+c）分解因式．

【设计意图】例4的公因式是多项式，通过这一例题的教学，提高学生对“公因式”的认识——可以是单项式，也可以是多项式，增强对提公因式法分解因式的本质认识．

练习5：

（1）4m（n-3）+2（n-3）；

（2）2a（y-x）-3b（x-y）；

（3）a（a2+b2）-c（a2+b2）．

活动目的：

通过学生独立思考和讨论探究，从具体实例中进一步理解概念，抽象出新概念的本质属性加深对新概念的掌握。

第六环节：

小结

活动内容：

（1）你能说说什么是分解因式吗？

把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。

（2）应该怎样认识“因式分解”？

分解因式与整式乘法是互逆过程.

分解因式要注意以下几点:

1.分解的对象必须是多项式.

2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.

3.要分解到不能分解为止.

4．什么叫因式分解？

5．确定公因式的方法？

6．提公因式法分解因式步骤？

7．提公因式法因式分解中的四个注意？

活动目的：

回顾、总结、提高知识的系统性。

巩固练习：

课本第94页习题2.1第3，4,5题