完整版因式分解的常用方法目前最牛最全的教案docx.docx
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因式分解的常用方法第一部分：
方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法
灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
一、提公因式法.：
ma+mb+mc=m（a+b+c）
二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
（1）（a+b）（a
-b）=a
2
2
2
2
-b）；
-b---------a
-b=（a+b）（a
（2）（a
±b）2=a
2±2ab+b2———a2±2ab+b2=（a±b）2；
（3）（a+b）（a
2
2
3
3
3
3
2
2
；
-ab+b）=a
+b------a
+b=（a+b）（a
-ab+b）
（4）（a
-b）（a2+ab+b2）=a
3
-b
3------a
3
-b
3=（a-b）（a
2+ab+b2）．
下面再补充两个常用的公式：
2
2
2
2
（5）a+b+c+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）
；
（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a
2+b2+c2-ab-bc-ca）；
例.已知a，b，c是
ABC的三边，且a2
b2
c2
ab
bc
ca，
则
ABC的形状是（
）
A.直角三角形
B等腰三角形
C
等边三角形
D等腰直角三角形
解：
a2
b2
c2
ab
bc
ca
2a2
2b2
2c2
2ab
2bc2ca
（ab）2
（bc）2
（ca）2
0
abc
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
amanbmbn
分析：
从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用
公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考
1
虑两组之间的联系。
解：
原式=（aman）（bmbn）
=a（mn）b（mn）每组之间还有公因式！
=（mn）（ab）
例2、分解因式：
2ax10ay5bybx
解法一：
第一、二项为一组；解法二：
第一、四项为一组；
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：
原式=（2ax10ay）（5bybx）原式=（2axbx）（10ay5by）
=2a（x5y）b（x5y）=x（2ab）5y（2ab）
=（x5y）（2ab）=（2ab）（x5y）
练习：
分解因式1、a2abacbc2、xyxy1
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
x2y2axay
分析：
若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：
原式=（x2
y2）
（ax
ay）
=（x
y）（x
y）
a（x
y）
=（x
y）（x
ya）
例4、分解因式：
a2
2ab
b2
c2
解：
原式=（a2
2ab
b2）
c2
=（ab）2
c2
=（abc）（abc）
练习：
分解因式3、x2
x
9y2
3y
4、x2
y2
z2
2yz
综合练习：
（1）x3
x2y
xy2
y3
（2）ax2
bx2
bx
ax
ab
（3）x2
6xy
9y2
16a2
8a
1（4）a2
6ab12b
9b2
4a
（5）a4
2a3
a2
9
（6）4a2x4a2yb2xb2y
（7）x2
2xy
xz
yz
y2
（8）a2
2ab2
2b
2ab1
（9）y（y
2）
（m
1）（m
1）
（10）（a
c）（a
c）
b（b
2a）
（11）a2（bc）
b2（a
c）
c2（a
b）2abc（12）a3
b3
c3
3abc
2
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——x2（pq）xpq（xp）（xq）进行分解。
特点：
（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：
十字相乘有什么基本规律？
例.已知0＜a≤5，且a为整数，若2x2
3xa能用十字相乘法分解因
式，求符合条件的a.
解析：
凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求
b2
4ac
>0而且是一个完全平方数。
于是
98a为完全平方数，a1
例5、分解因式：
x2
5x
6
分析：
将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于
5。
由于6=2×3=（-2）×（-3）=1×6=（-1）×（-6），从中可以发现只有2×3
的分解适合，即
2+3=5。
1
2
解：
x2
5x
6=x2
（23）x23
1
3
=（x
2）（x3）
1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：
将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：
x2
7x
6
解：
原式=x2
[
（1）
（6）]x
（1）（6）
=（x
1）（x
6）
1-1
1-6
（-1）+（-6）=-7
练习5、分解因式
（1）
x2
14x
24
（2）a2
15a
36（3）x2
4x
5
练习6、分解因式
（1）
x2
x
2
（2）y2
2y15
（3）x2
10x
24
3
（二）二次项系数不为
1的二次三项式——
ax2
bx
c
条件：
（1）aa1a2
a1
c1
（2）c
c1c2
a2
c2
（3）b
a1c2
a2c1
ba1c2
a2c1
分解结果：
ax2
bx
c=（a1xc1）（a2x
c2）
例7、分解因式：
3x211x10
分析：
1
-2
3
-5
（-6）+（-5）=-11
解：
3x2
11x10=（x
2）（3x
5）
练习7、分解因式：
（1）5x2
7x6
（2）
3x2
7x2
（3）10x2
17x3
（4）
6y2
11y10
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：
a28ab128b2
分析：
将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相
乘法进行分解。
1
8b
1
-16b
8b+（-16b）=-8b
解：
a2
8ab128b2=a2
[8b
（16b）]a8b（16b）
=（a
8b）（a
16b）
练习8、分解因式
（1）x23xy2y2
（2）m26mn8n2（3）a2ab6b2
（四）二次项系数不为
1的齐次多项式
例9、2x2
7xy6y2
例10、x2y2
3xy2
1
-2y
把xy看作一个整体1
-1
2
-3y
1
-2
（-3y）+（-4y）=-7y
（-1）+（-2）=-3
解：
原式=（x2y）（2x
3y）
解：
原式=（xy
1）（xy
2）
练习9、分解因式：
（1）15x2
7xy
4y2
（2）a2x2
6ax
8
4
综合练习10、
（1）8x6
7x3
1
（2）12x2
11xy
15y2
（3）（xy）2
3（xy）
10
（4）（ab）2
4a
4b
3
（5）x2y2
5x2y6x2
（6）m2
4mn
4n2
3m
6n
2
（7）x2
4xy
4y2
2x
4y
3（8）5（a
b）2
23（a2
b2）
10（a
b）2
（9）4x2
4xy
6x
3y
y2
10（10）12（xy）2
11（x2
y2）
2（x
y）2
思考：
分解因式：
abcx2
（a2b2
c2）xabc
五、换元法。
例13、分解因式
（1）2005x2
（20052
1）x
2005
（2）（x1）（x
2）（x3）（x
6）
x2
解：
（1）设2005=a，则原式=ax2
（a2
1）x
a
=（ax
1）（x
a）
=（2005x1）（x
2005）
（2）型如abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=（x2
7x6）（x2
5x6）x2
设x2
5x
6A，则x2
7x6A2x
∴原式=（A
2x）Ax2
=A2
2Axx2
=（A
x）2=（x2
6x6）2
练习13、分解因式
（1）（x
（2）（x
（3）（a
2
xy
y2）2
4xy（x2
y2）
2
3x
2）（4x2
8x
3）90
2
1）2
（a2
5）2
4（a2
3）2
例14、分解因式（
1）2x4
x3
6x2
x2
观察：
此多项式的特点——是关于
x的降幂排列，每一项的次数依次少
1，
并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”
。
方法：
提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：
原式=x2（2x2
x
6
1
1
）=x2
2（x21
）（x
1）
6
x
x2
x2
x
设x
1
t，则x2
1
t2
2
2
x
2
x2
2
2
∴原式=
x
2
2）
t
6
=x
2t
t10
（t
5
=x22t5t2=x22x
2
5x
1
2
x
x
=x·2x
2
5·x·x
1
2
=2x2
5x2x2
2x1
x
x
=（x
1）2（2x
1）（x
2）
（2）x4
4x3
x2
4x1
2
2
4x
1
4
1
=x
2
x
2
1
4x
1
解：
原式=x（x
x
2）
x2
1
x
x
设x
1
y，则x2
1
y2
2
x
x2
∴原式=x2（y2
4y
3）
=x2（y
1）（y
3）
=x2（x
1
1）（x
1
3）=x2
x1x2
3x1
x
x
练习14、
（1）6x4
7x3
36x2
7x
6
（2）x4
2x3
x2
12（xx2）
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式
（1）x3解法1——拆项。
原式=x3
13x2
3
=（x
1）（x2
x
1）
=（x
1）（x2
x
1
=（x
1）（x2
4x
4）
=（x
1）（x
2）2
3x2
4
解法2——添项。
原式=x3
3x2
4x4x4
3（x1）（x1）
=x（x2
3x
4）
（4x
4）
3x3）
=x（x
1）（x
4）
4（x
1）
=（x
1）（x2
4x
4）
=（x
1）（x
2）2
（2）x9
x6
x3
3
解：
原式=（x9
1）（x6
1）
（x3
1）
=（x3
1）（x6
x3
1）（x3
1）（x3
1）（x3
1）
=（x3
1）（x6
x3
1x3
11）
=（x
1）（x2
x1）（x6
2x3
3）
练习15、分解因式
（1）x3
9x
8
（2）（x1）4
（x2
1）2
（x1）4
（3）x4
7x2
1
（4）x4
x2
2ax
1
a2
（5）
4
4
4
2
2
2
2
2
2
4
4
4
x
y
（x
y）
（）2ab
2ac2bc
ab
c
6
6
七、待定系数法。
例16、分解因式x2
xy
6y2
x
13y6
分析：
原式的前
3项x2
xy
6y2
可以分为（x3y）（x
2y），则原多项式
必定可分为（x3ym）（x
2y
n）
解：
设x2
xy
6y2
x
13y
6=（x
3y
m）（x2y
n）
∵（x3y
m）（x
2y
n）=x2
xy
6y2
（m
n）x
（3n
2m）y
mn
∴
x2
xy
6y2
x
13y
6=x2
xy
6y2
（m
n）x
（3n
2m）y
mn
m
n
1
m
2
3n
对比左右两边相同项的系数可得
2m13，解得
3
mn
6
n
∴原式=（x3y2）（x2y
3）
例17、
（1）当m为何值时，多项式x2
y2
mx
5y6能分解因式，并分
解此多项式。
（2）如果x3ax2
bx
8有两个因式为x
1
和x
2，求a
b的值。
（1）分析：
前两项可以分解为
（x
y）（xy），故此多项式分解的形式必
为（x
y
a）（x
y
b）
解：
设x2
y2
mx
5y
6=（x
y
a）（x
yb）
则x2
y2
mx5y6=x2
y2
（ab）x（ba）yab
a
b
m
a
2
a2
比较对应的系数可得：
b
a
5，解得：
b
3或b
3
ab
6
m
1
m
1
∴当m
1时，原多项式可以分解；
当m1
时，原式=（x
y
2）（x
y
3）；
当m
1时，原式=（x
y
2）（xy
3）
（2）分析：
x3
ax2
bx
8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，
因此第三个因式必为形如
x
c的一次二项式。
解：
设x3
ax2
bx
8=（x1）（x
2）（x
c）
则x3ax2
bx8=x3（3c）x2
（23c）x2c
7
a
3
c
a
7
∴b
2
3c
解得b
14，
2c
8
c
4
∴ab=21
练习17、
（1）分解因式
x
2
3
10
y
2
x
9
y
2
xy
（2）分解因式x2
3xy
2y2
5x
7y
6
（3）已知：
x2
2xy
3y2
6x
14y
p能分解成两个一次因式
之积，求常数
p并且分解因式。
（4）k为何值时，x2
2xy
ky2
3x
5y2能分解成两个一次
因式的乘积，并分解此多项式。
第二部分：
习题大全
经典一：
一、填空题
1.把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式：
m3-4m=
.
3.分解因式：
x2-4y2=__
_____.
4、分解因式：
x2
4x
4=_________________。
n
分解因式的结果为（x2+y2）（x+y）（x-y）
，则
n的值
5.将x-yn
为
.
6、若xy
5,xy
6，则x2yxy2
=_________，2x2
2y2
=__________。
二、选择题
7、多项式15m3n2
5m2n
20m2n3
的公因式是（
）
A、5mn
B
、5m2n2
C
、5m2nD
、5mn2
8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是
（
）
A、
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