完整版因式分解的常用方法目前最牛最全的教案docx.docx

1、完整版因式分解的常用方法目前最牛最全的教案docx因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一， 它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法 .： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法 .在整式的乘、除中，我们学过若干个

2、乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（ 1） (a+b)(a- b) = a2222-b) ；-b -a-b =(a+b)(a(2) (a b) 2 = a2 2ab+b2 a 2 2ab+b2=(a b) 2；(3) (a+b)(a22333322；-ab+b ) =a+b - a+b =(a+b)(a-ab+b )(4) (a-b)(a 2+ab+b2 ) = a3-b3 -a3-b3=(a -b)(a2+ab+b2) 下面再补充两个常用的公式：2222(5)a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；(6)a 3+b3+c 3-3abc=(a+b+c)

3、(a2 +b2+c2-ab-bc-ca) ；例 .已知 a，b， c 是ABC 的三边，且 a2b2c2abbcca ，则ABC 的形状是（）A. 直角三角形B 等腰三角形C等边三角形D 等腰直角三角形解： a2b2c2abbcca2a22b22c22ab2bc 2ca( a b)2(b c) 2(c a)20a b c三、分组分解法 .（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式： am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考

4、1虑两组之间的联系。解：原式 = ( am an ) (bm bn)= a(m n) b(m n) 每组之间还有公因式！= ( m n)( a b)例2、分解因式： 2ax 10 ay 5by bx解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式 = (2ax 10ay) (5by bx) 原式 = (2ax bx ) ( 10ay 5by)= 2a( x 5 y) b( x 5 y) = x(2a b) 5 y(2a b)= (x 5 y)( 2a b) = (2a b)( x 5y)练习：分解因式 1、 a2 ab ac bc 2、 xy

5、 x y 1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式： x2 y 2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式 = ( x2y 2 )(axay)= ( xy)( xy)a( xy)= ( xy)( xy a)例 4、分解因式： a 22abb2c 2解：原式 = (a22abb2 )c 2= (a b) 2c2= (a b c)(a b c)练习：分解因式 3、 x2x9 y23 y4、 x2y 2z22 yz综合练习：（ 1） x3x 2 yxy 2y3（ 2） ax2bx 2bxaxa b（ 3） x

6、 26xy9 y 216a28a1 （ 4） a 26ab 12b9b24a（ 5） a42a3a 29（ 6） 4a 2 x 4a2 y b 2 x b2 y（ 7）x 22xyxzyzy 2（ 8）a 22a b 22b2ab 1（ 9） y( y2)(m1)( m1)（ 10） (ac)(ac)b(b2a)（ 11）a2 (b c)b2 (ac)c 2 (ab) 2abc（ 12）a3b 3c33abc2四、十字相乘法 .（一）二次项系数为 1 的二次三项式直接利用公式 x2 ( p q)x pq ( x p)( x q) 进行分解。特点：（ 1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的

7、乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例 . 已知 0 a 5，且 a 为整数，若 2x23x a 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的 a .解 析：凡是能十 字相 乘的 二次三项 式 ax2+bx+c ， 都要 求b24ac0 而且是一个完全平方数。于是9 8a 为完全平方数， a 1例 5、分解因式：x25x6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=2 3=(-2) (-3)=1 6=(-1) (-6) ，从中可以发现只有2 3的分解适合，即2+3=5 。12解： x 25x6 = x 2(2 3) x 2 313= (x2)(

8、 x 3)1 2+1 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式： x27x6解：原式 = x 2( 1)( 6) x ( 1)( 6)= ( x1)( x6)1-11-6（ -1） +（ -6） = -7练习 5、分解因式 (1)x 214 x24(2) a215a36 (3) x24 x5练习 6、分解因式 (1)x 2x2(2) y 22 y 15(3) x 210x243（二）二次项系数不为1 的二次三项式ax 2bxc条件：（ 1） a a1a2a1c1（ 2） cc1c2a2c2（ 3） ba1c2a2 c1b

9、 a1 c2a2 c1分解结果： ax 2bxc = (a1 x c1 )(a2 xc2 )例7、分解因式： 3x2 11x 10分析：1-23-5（ -6） +（ -5） = -11解： 3x 211x 10 = ( x2)(3x5)练习 7、分解因式： （ 1） 5x27x 6（ 2）3x 27x 2（ 3） 10 x 217 x 3（ 4）6 y 211 y 10（三）二次项系数为 1 的齐次多项式例8、分解因式： a 2 8ab 128b 2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)= -8b解： a 28a

10、b 128b2 = a 2 8b( 16b)a 8b ( 16b)= (a8b)(a16b)练习 8、分解因式 (1) x2 3xy 2 y 2 (2) m 2 6mn 8n 2 (3) a 2 ab 6b2（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、 2x 27xy 6y 2例 10、 x2 y23xy 21-2y把 xy 看作一个整体 1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = ( x 2 y)( 2x3y)解：原式 = ( xy1)( xy2)练习 9、分解因式： （ 1） 15x 27xy4 y2（ 2） a 2 x26ax84综合练习

11、10、（ 1） 8x67x 31（ 2） 12x 211xy15 y2（ 3） ( x y)23( x y)10（ 4） (a b)24a4b3（ 5）x2 y 25x 2 y 6x2（ 6）m24mn4n 23m6n2（ 7） x 24xy4 y 22x4 y3（ 8） 5( ab) 223(a 2b 2 )10(ab) 2（ 9）4x24xy6x3yy 210（ 10）12( x y) 211(x 2y2 )2( xy) 2思考：分解因式：abcx2(a2 b 2c 2 )x abc五、换元法。例 13、分解因式（ 1） 2005x 2(2005 21) x2005（ 2） ( x 1)(

12、 x2)( x 3)( x6)x 2解：（1）设 2005= a ，则原式 = ax 2( a 21)xa= (ax1)( xa)= (2005 x 1)( x2005)（ 2）型如 abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式 = (x 27x 6)( x 25x 6) x 2设 x25x6 A，则 x 27x 6 A 2x原式 = ( A2 x) A x 2= A22 Ax x2= ( Ax)2 = ( x26x 6) 2练习 13、分解因式（ 1） (x（ 2） (x（ 3） (a2xyy2 ) 24xy( x2y 2 )23x2)(4x 28x3) 9021) 2(

13、a 25) 24( a 23) 2例 14、分解因式（1） 2x 4x36x 2x 2观察： 此多项式的特点是关于x 的降幂排列， 每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称” 。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式 = x2 ( 2x2x611) = x 22( x 2 1) (x1 )6xx 2x2x设 x1t ，则 x 21t 222x2x222原式 =x22)t6= x2tt 10（ t5= x2 2t 5 t 2 = x2 2x25 x12xx= x2x25 xx12= 2x 25x 2 x 22x 1xx= ( x1) 2

14、 (2x1)( x2)（ 2） x 44x3x 24x 1224x141= x2x214 x1解：原式 = x ( xx2 )x 21xx设 x1y ，则 x21y 22xx2原式 = x2 ( y24 y3)= x2 ( y1)( y3)= x2 ( x11)( x13) = x2x 1 x23x 1xx练习 14、（ 1） 6x47 x336x27x6（ 2） x 42x3x21 2( x x 2 )六、添项、拆项、配方法。例15、分解因式（ 1） x3 解法 1拆项。原式 = x31 3x 23= (x1)( x2x1)= ( x1)( x 2x1= (x1)( x24x4)= (x1)

15、( x2) 23x 24解法 2添项。原式 = x33x24x 4x 43(x 1)( x 1)= x(x 23x4)(4x4)3x 3)= x(x1)( x4)4( x1)= (x1)( x24x4)= ( x1)( x2) 2（ 2） x 9x 6x33解：原式 = ( x91) ( x61)( x31)= ( x31)( x 6x 31) (x 31)( x31) ( x31)= ( x31)( x 6x 31 x31 1)= ( x1)( x 2x 1)( x62x33)练习 15、分解因式（ 1） x 39x8（ 2） (x 1) 4(x 21) 2( x 1) 4（ 3） x 47

16、 x21（ 4） x4x22ax1a2（ 5）444222222444xy( xy)（ ）2a b2a c 2b ca bc66七、待定系数法。例 16、分解因式 x2xy6 y2x13 y 6分析：原式的前3 项 x2xy6y 2可以分为 (x 3y)( x2 y) ，则原多项式必定可分为 ( x 3y m)( x2 yn)解：设 x 2xy6 y 2x13 y6 = ( x3ym)( x 2 yn) (x 3ym)( x2 yn) = x2xy6 y 2(mn) x(3n2m) ymnx2xy6y 2x13y6 = x2xy6 y2(mn) x(3n2m) ymnmn1m23n对比左右两边

17、相同项的系数可得2m 13 ，解得3mn6n原式 = ( x 3y 2)( x 2 y3)例 17、（ 1）当 m 为何值时，多项式 x 2y 2mx5 y 6 能分解因式，并分解此多项式。（ 2）如果 x3 ax 2bx8 有两个因式为 x1和 x2 ，求 ab 的值。（ 1）分析： 前两项可以分解为(xy)( x y) ，故此多项式分解的形式必为 ( xya)( xyb)解：设 x 2y 2mx5 y6 = ( xya)( xy b)则 x 2y 2mx 5 y 6 = x2y 2(a b) x (b a) y ababma2a 2比较对应的系数可得：ba5 ，解得：b3 或 b3ab6m

18、1m1当 m1 时，原多项式可以分解；当 m 1时，原式 = (xy2)(xy3) ；当 m1时，原式 = ( xy2)( x y3)（ 2）分析： x3ax 2bx8 是一个三次式， 所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如xc 的一次二项式。解：设 x3ax2bx8 = ( x 1)( x2)( xc)则 x3 ax2bx 8 = x3 (3 c) x2(2 3c)x 2c7a3ca7 b23c解得 b14 ，2c8c4 a b =21练习 17、（ 1）分解因式x2310y2x9y2xy（ 2）分解因式 x23xy2 y 25x7 y6（ 3） 已知： x22xy3 y 26

19、x14 yp 能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式。（ 4） k 为何值时， x22xyky 23x5y 2 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。第二部分：习题大全经典一：一、填空题1.把一个多项式化成几个整式的 _的形式，叫做把这个多项式分解因式。2 分解因式： m3-4m=.3. 分解因式： x 2-4y 2= _.4、分解因式：x24x4=_ _ 。n分 解 因 式 的 结 果 为 (x 2+y2)(x+y)(x-y)， 则n 的 值5. 将 x -y n为.6、若 x y5, xy6 ，则 x2 y xy 2=_，2x22y2=_。二、选择题7、多项式 15m3n25m2 n20m2n3的公因式是 ()A、 5mnB、 5m2 n2C、 5m 2n D、 5mn28、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是()A、