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离散数学期末复习题

《离散数学》复习题

一、单项选择题

1.给定如下4个语句：

（2）除非天下雨,否则我就去踢足球。

（4）我在说谎。

（1）刘红与魏新是同学。

（3）我每天都看新闻联播。

其中不是复合命题的是（B）。

D.⑶⑷

⑶B.

（1）（3）（4）C.

（1）（3）

2.下列式子不是谓词合式公式的是（B）。

A.（-x）P（x）tR（y）

B.（-X）nP（x）=（-x）（P（x）tQ（x））

C•（F（y）（P（x）AQ（y））t（x）R（x）

D•（—x）（P（x,y）TQ（x,z））V（z）R（x,z）

3.命题公式（一P—Q）—（—QP）中成真赋值的个数为（D）。

A.0B.1C.2D.3

4.在下述公式中是重言式为（A）。

A.（PQ）—；（PQ）B.P.Q

C.一（P—；Q）Q；D.P—；（-PQ）。

5.谓词公式（—x）（P（x）V（y）R（y））tQ（x）中的y（A）。

A.只是约束变元B.只是自由变元

C.既非约束变元又非自由变元D.既是约束变元又是自由变元

6.设R,S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（A）。

A.若R,S是自反的，则RS是自反的;

B•若R,S是反自反的，则RS是反自反的;

C.若R,S是对称的，则RS是对称的；

D.若R,S是传递的，则RS是传递的。

7.下列关系矩阵所对应的关系具有反对称性的是（B）。

1〕

0一

"1011

A.011

100一

"001〕

C.001

」00一

8.下面四组数能构成无向简单图的度数列的有（A）。

A.（2,2,2,2,2）

B.（1,1,2,2,3）

C.（5,4,3,2,2）

D.（0,1,3,3,3）

9.下列图中是欧拉图的有（A）。

[A]

[D]

10.

设图G的邻接矩阵为

，则

G的顶点数与边数分别为（

D）。

A.4,5

B.5,6

C.4,10

D.5,8

11.一棵无向树

T有4度、

3度、2度的分支点各

1个，其余顶点均为树叶，则T中有（C）

片树叶。

A.3

B.4

C.5D.

12.若图G有一条通路经过图中每条边恰好一次，则G（A）。

A.有一条欧拉通路

C.有一条哈密顿通路

13.设P,Q,R是命题公式，则

B.是欧拉图

D.是哈密顿图

PtR,QtR,PVQ=（C）。

A.P

B.QC.RD.nR

14.命题公式（一P'Q）'（一QP）中极小项的个数为（D）。

A.0B.1C.2D.315.设S={1,2,3},S上关系R的关系图为

则R具有（D）性质。

A.自反性、对称性、传递性B.反自反性、反对称性

C.反自反性、反对称性、传递性D•自反性

16.谓词公式（_x）（P（x）V（y）R（y））tQ（x）中的x（D）。

A.只是约束变元B.只是自由变元

C.既非约束变元又非自由变元D.既是约束变元又是自由变元

17.设个体域为整数集，则下列公式中值为真的是（B）。

A.（一y）（x）（x•y=2）B.（一x）（y）（x+y=2y）

C.（_x）（x•y=x）D.（Tx）（_y）（x+y=3y）

18.设S={1,2,3},贝US的幕集的元素的个数有（A）。

A.8个B.6个C.3个D.7个

19.设集合A={1,2,3,4},A上的关系R={（1,1）,（2,3）,（2,4）,（3,4）},贝UR具有（B）

A.自反性B.传递性C.对称性D.以上答案都不对

20.下面四组数能构成无向简单图的度数列的有（A）。

A.（5，5,4，4，2，1）B.（5，4，3，2，2）

C.（3，3,3，1）D.（4，4，3，3,2，2）

21.一棵树的3个4度点，4个2度点，其它的都是1度，那么这棵树的边数是（B）。

A.13B.14

C.15D.16

22.若图G有一条通路经过图中每个顶点恰好一次，则G（C）。

A.有一条欧拉通路B.是欧拉图

C.有一条哈密顿通路D.是哈密顿图

二、填空题

1.Q的主析取范式中，含有2个极小项。

2.设有集合A和,B，其中A={1,2,3},B={1,2},则A-B=⑶，

P（A）-P（B）={{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}。

3.由集合运算的吸收律，AI（AUB）=A,AU（AIB）=A。

4.给定集合A={1,2,3,4,5}，在集合A上定义两种关系：

R={<1,2>,<3,4>,<2,2>},

S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}，贝URS={<1,5>,<2,5>,<3,2>}，

SR=,{<1,4>,<3,2>,<4,2>}。

5.设A={x|-1_x_2,xR}，B={x|0：

：

x_5,xR}，则A-B={x|-1_x_0},~A={x|2：

：

x_5}。

6.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性、对称性和传递

性。

7.设一阶逻辑公式G=~xP（x）r_xQ（x），贝UG的前束范式是Tx（—P（x）VQ（x））。

三、计算题

1.画出命题公式（PtQ）t（PAnR）的真值表，并求它的主合取范式，写出相应的成真赋值和成假赋值。

真值表如下表：

主合取范式为：

M0AM1AM2AM3AM7

成真赋值为：

100，101，110

成假赋值为：

000，001，010，011，111

PAnR

（PtQ）t（PAnR）

2.今有111人购买A,B,C三种股票，已知只买了一种股票的共75人，买了A股和B股的

共有20人，买了B股和C股的共有9人，买了A股和C股的共17人，只买A股的共

31人，只买B股的共23人。

试求：

1）三种股票都买的有几人？

2）买A股、B股和C股的各几人？

根据题意画出文氏图如下图

解：

设集合A，B,C分别表示购买A,B,C三种股票的人的集合。

所示。

设三种股票都买的有x人，由已知条件填写图中相应区域。

IC-（AnB）I=75-31-23=21

由已知条件，可得以下方程：

（20-x）+x+（9-x）+（17-x）+31+23+21=111

解得：

x=5

故IAI=31+（20-5）+5+（17-5）=63

IBI=23+（20-5）+5+（9-5）=47

ICI=21+（9-5）+5+（17-5）=42

因而可得，三种股票都买的有5人。

买A股的有63人，买B股的有47人，买C股的有42人。

、02

3.设集合A={a,b,c,d}上的二元关系R={,,,,}，求R，R，r（R），s（R），t（R）的集合表达式。

解R°=IA={:

a,a，:

b,b，:

c,c，:

d,d}

[

Mr=

，MR2=Mr.Mr=

0一

写出R的关系矩阵,

故R={：

a,a，:

a,b，:

b,a，:

b,b，:

c,a，:

d,a，:

d,b}

r（R）=RIa={:

a,b，:

b,a，:

c,d，:

d,a,：

：

a,a，:

b,b,：

：

c,c,：

：

d,d}

s（R）=RR={：

：

a,a，:

a,b，:

b,a，:

a,d，:

：

d,a，:

c,d，:

d,c}

t（R）={■.a,a，:

a,b，:

b,a，:

b,b

画出R的关系图（如下图所示），并根据沃舍尔算法画出t（R）的关系图

「：

d,b}

设A二1,2,3,5,6,9,15,27,36,45?

上的整除关系

R-\a1,a2|a1,a^人印整除a2/，

1）画出R的哈斯图;

2）求9,9曲勺最小上界和最大下界

答案：

R是A上的偏序关系。

1）R的哈斯图：

2）<2,9詁勺最小上界lub「2,9X36,最大下界glb「2,9；=1

5.如下图所示的赋权图表示某七个城市v1,v2,v3,LL,v7及预先算出它们之间的一些直

接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。

答案:

用Kruskal算法求产生的最优树。

算法为:

w（v1,v7）=1

选g二v1v7

w（v7,v2）=4

选e2二V7V2

W（V7,V3）=9

选e3=V7V3...

way）=3

选e=v3v4-】；”■':

丁彳

w（V4,V5）=17

选e=v4v5■

w（v「V6）=23

选e=v1v61广'；

结果如图：

树权C（T）=23+1+4+9+3+17=57即为总造价

6.有向图D如下图所示

1）写出D的关联矩阵和邻接矩阵;

2）求出各顶点的入度和出度。

解：

1）写出D的关联矩阵和邻接矩阵

关联矩阵Md

-1

2）写出各顶点的出度和入度

出度

d（VJ=1d—（VJ=2

d（V2）=2

d（V3）=0

d（V4）=2

-n

■0

，邻接矩阵A=

-1

1一

0一

入度

d一（V2）=1

d@3）=1

dg）=1

7.解求命题公式（pq）>r的主析取范式和主合取范式，并求其成真赋值。

答案:

（pVq—rn（pVq）Vr

二（npAnq）Vr

=（npVr）A（jqVr）

二（npV（nqAq）Vr）A（（npAp）VjqVr）

u（npVnqVr）A（npVqVr）A（npVnqVr）A（pVnqVr）

：

=M2M4M6

=momim^mtm7

其成真赋值为000,001,011,101,111&求从1到500的整数中，能被3或5除尽的数的个数。

解：

设A为从1到500的整数中，能被3除尽的数的集合。

B为从1到500的整数中，能被5除尽的数的集合。

则|A|=[500/3]=166（[x]表示不超过x的最大整数）

|B|=[500/5]=100

|AnB|=[500/（3*5）]=33

由包含排斥原理：

|AUB|=|A|+|B|-|AnB|=166+100-33=233

即从1到500的整数中，能被3或5除尽的数有233个。

9.设A二{1,2,3,4},A上二元关系R二{：

：

1,1,：

：

2,3,：

：

2,4,：

：

3,2,：

：

3,4}求其

自反闭包、对称闭包、传递闭包。

答案：

（计算过程自己补充）

自反闭包r（R）=f：

：

1,1,：

：

2,3,：

：

2,4,：

：

3,2,：

：

3,4,：

：

2,2,：

：

3,3,：

：

4,4}

对称闭包s（R）={：

：

1,1「：

2,3,：

：

2,4,：

：

3,2,：

：

3,4,：

：

4,2,：

：

4,3}

传递闭包t（R）二{：

：

1,1,：

：

2,3「：

2,4,：

：

3,2,：

：

3,4,：

：

2,2,：

：

3,3}

10.对集合A中的整除关系画出哈斯图，A={1,2,3,4,6,8,12,14}，并求A的极大元、

极小元、最小元和最大元。

解：

首先画出哈斯图（如右图所示）

极小元：

极大元：

14,8,12

最小元：

最大元：

无

11.在二叉树中

1）求带权为2,3,5,7,8的最优二叉树T。

2）求T对应的二元前缀码。

12.

13.

无向图G如下图所示

1）

2）

3）

画出顶点集｛V1,V2,

写出G的关联矩阵。

求G中各顶点的度数。

解：

1）

关联矩阵Mg=

1一

写出G的关联矩阵

2）求各顶点的度数

d（Vj=4d（V2）=2dM）=3

dM）=1

3）画出顶点集｛V1,V2,V4｝的导出子图G

V1。

四、证明题

1.在谓词逻辑中，将下列命题推理符号化并给出形式证明：

任何人，如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车。

每一个人或者喜欢乘汽车，或者喜欢骑

自行车。

并非每个人都喜欢骑自行车。

因此，有的人不爱步行。

（个体域为人类集合）

解：

设F（x）:

x喜欢步行，G（x）:

x喜欢乘汽车，H（x）:

x喜欢骑自行车则上述推理可以符号化为：

x（F（x）r（G（x））,

-x（G（x）VH（x））,n一xH（x）卜xnF（x）

证明：

（1）「一xH（x）

（2）xnH（x）

（1）,E

⑶「H（c）

（2）,I

（4）-x（G（x）VH（x））

（5）G（c）VH（c）

T（4）,I

⑹G（c）

T（3）（5）,I

⑺x（F（x）t（G（x））P

（8）F（c）r（G（c）

T（7）,I

（9）nF（c）

T（6）（8）,I

（10）xnF（x）

T（9）,I

2.在谓词逻辑中，将下列命题推理符号化并给出形式证明：

如果一个人怕困难，那么他就不会获得成功。

每个人或者获得成功或者失败过。

证明:

有些人未曾失败过，所以有些人不怕困难。

（个体域为人类集合）

解：

D（x）：

x怕困难，S（x）：

x获得成功，F（x）:

x失败

前提：

-x（D（x）S（x））,-x（S（x）F（x））,「F（x）

结论：

-.IxP（x）

证明：

（1）X—F（x）P

（2）F（c）T

（1）,ES

（3）-x（S（x）F（x））P

⑷S（c）F（c）T

（2）,US

（5）S（c）T

（2）（4）,l

（6）-x（D（x）t—S（x））P

（7）D（c）t—s（c）T（6）,US

（8）-D（c）T（5）⑺,1

（9）x—D（x）T（8）,EG

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