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亨利勒贝格

亨利·勒贝格（HenriLéonLebesgue）

1875年6月28日生于法国的博韦；1941年7月26日卒于巴黎．数学．

　　勒贝格的父亲是一名印刷厂职工，酷爱读书，很有教养．在父亲的影响下，勒贝格从小勤奋好学，成绩优秀，特别擅长计算．不幸，父亲去世过早，家境衰落．在学校老师的帮助下进入中学，后又转学巴黎．1894年考入高等师范学校．

　　1897年大学毕业后，勒贝格在该校图书馆工作了两年．在这期间，出版了E．波莱尔（Borel）关于点集测度的新方法的《函数论讲义》（Leconssurlathéoriedesfunctions1898），特别是研究生R．贝尔（Baire）发表了关于不连续实变函数理论的第一篇论文．这些成功的研究工作说明在这些崭新的领域中进行开拓将会获得何等重要的成就，从而激发了勒贝格的热情．从1899年到1902年勒贝格在南锡的一所中学任教，虽然工作繁忙，但仍孜孜不倦地研究实变函数理论，并于1902年发表了博士论文“积分、长度、面积”（Intégrale，longueur，aire）．在这篇文章中，勒贝格创立了后来以他的名字命名的积分理论．此后，他开始在大学任教（1902—1906在雷恩；1906—1910在普瓦蒂埃），在此期间，他进一步出版了一些重要著作：

《积分法和原函数分析的讲义》（Leconssurl‘intégrationetlarecherchedesfonctionsprimitives，1904）；《三角级数讲义》（Leconssurlessériestrigonométriques，1906）．接着，勒贝格又于1910—1919年在巴黎（韶邦）大学担任讲师，1920年转聘为教授，这时他又陆续发表了许多关于函数的微分、积分理论的研究成果．勒贝格于1921年获得法兰西学院教授称号，翌年作为C．若尔当（Jordan）的后继人被选为巴黎科学院院士．

　　勒贝格对数学的主要贡献属于积分论领域，这是实变函数理论的中心课题．19世纪以来，微积分开始进入严密化的阶段．1854年B．黎曼（Riemann）引入了以他的名字命名的积分，这一理论的应用范围主要是连续的函数．随着K．魏尔斯特拉斯（Weier-strass）和G．康托尔（Cantor）工作的问世，在数学中出现了许多“奇怪”的函数与现象，致使黎曼积分理论暴露出较大的局限性．几乎与这一理论发展的同时（1870—1880年），人们就已经开展了对积分理论的改造工作．当时，关于积分论的工作主要集中于无穷集合性质的探讨，而无处稠密的集合具有正的外“容度”性质的发现，使集合的测度概念在积分论的研究中占有重要地位．积分的几何意义是曲线围成的面积，黎曼积分的定义是建立在对区间长度的分割的基础上的．因此，人们自然会考虑到如何把长度、面积等概念扩充到更广泛的集合类上，从而把积分概念置于集合测度理论的框架之中．这一思想的重要性在于使人们认识到：

集合的测度与可测性的推广将意味着函数的积分与可积性的推广．勒贝格积分正是建立在勒贝格测度理论的基础上的，它是黎曼积分的扩充．

　　为勒贝格积分理论的创立作出重要贡献的首先应推若尔当，他在《分析教程》（Coursd’analyse，1893）一书中阐述了后人称谓的若尔当测度论，并讨论了定义在有界若尔当可测集上的函数，采用把定义域分割为有限个若尔当可测集的办法来定义积分．虽然若尔当的测度论存在着严重的缺陷（例如存在着不可测的开集，有理数集不可测等），而且积分理论也并没有作出实质性的推广，但这一工作极大地影响着勒贝格研究的视野．在这一方向上迈出第二步的杰出人物是波莱尔，1898年在他的《函数论讲义》中向人们展示了“波莱尔集”的理论．他从R1中开集是构成区间的长度总和出发，允许对可列个开集作并与补的运算，构成了所谓以波莱尔可测集为元素的σ代数类，并在其上定义了测度．这一成果的要点是使测度具备完全可加性（若尔当测度只具备有限可加性），即对一列互不相交的波莱尔集，若其并集是有界的，则其并集的测度等于每个En的测度的和．此外，他还指出，集合的测度和可测性是两个不同的概念．但在波莱尔的测度思想中，却存在着不是波莱尔集的若尔当可测集（这一点很可能是使他没有进一步开创积分理论的原因之一）．特别是其中存在着零测度的稠密集，引起了一些数学家的不快．然而勒贝格却洞察了这一思想的深刻意义并接受了它．他突破了若尔当对集合测度的定义中所作的有限覆盖的限制，以更加一般的形式发展和完善了波莱尔的测度观念，给予了集合测度的分析定义：

设E[a，b]，考虑可数多个区间对E作覆盖．定义数值

m*（E）+m*（[a，b]＼E）=b-a，

　　则称E为可测集（即E是勒贝格可测的）．在此基础上，勒贝格引入了新的积分定义：

对于一个定义在[a，b]上的有界实值函数f（x）（m≤f（x）≤M），作[m，M]的分割△：

m=y0＜y1＜…＜yn-1＜yn=M．

　　令

Ei={x∈[a，b]:

yi-1≤f（x）≤yi}，（i=1，2，…n）

　　并假定这些集合是可测的（即f（x）是勒贝格可测函数）．考虑和式

　　如果当max→0时，s△与S△趋于同一极限值，则称此值为f（x）在[a，b]上的积分，勒贝格曾对他的这一积分思想作过一个生动有趣的描述：

“我必须偿还一笔钱．如果我从口袋中随意地摸出来各种不同面值的钞票，逐一地还给债主直到全部还清，这就是黎曼积分；不过，我还有另外一种作法，就是把钱全部拿出来并把相同面值的钞票放在一起，然后再一起付给应还的数目，这就是我的积分”．在他的这一新概念中，凡若尔当可测集，波莱尔可测集都是勒贝格可测集．勒贝格积分的范围包括了由贝尔引入的一切不连续函数．

　　从数学发展的历史角度看，新的积分理论的建立是水到渠成的事情．但是可贵的是，与同时代的一些数学家不同，在勒贝格看来，积分定义的推广只是他对积分理论研究的出发点，他深刻地认识到，在这一理论中蕴含着一种新的分析工具，使人们能在相当大范围内克服黎曼积分中产生的许多理论困难．而正是这些困难所引起的问题是促使勒贝格获得这一巨大成就的动力．

　　这方面的第一个问题是早在19世纪初期由J．傅里叶（Fou-rier）在关于三角级数的工作中不自觉地引发的：

当一个有界函数可以表示为一个三角级数时，该级数是它的傅里叶级数吗？

这一问题与一个无穷级数是否可以逐项积分有着密切的关系．傅里叶当时曾认为在其和为有界函数时这一运算是正确的，从而给上述问题以肯定的回答．然而到了19世纪末期，人们认识到逐项积分并不总是可行的，甚至对于黎曼可积函数的一致有界的级数也是这样，因为由该级数所表示的函数不?

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　　微积分基本定理

　　是微积分学的核心．然而这一公式的运用在黎曼积分意义下却有较大的限制，在1878—1881年间，U．迪尼（Dini）和V．沃尔泰拉（Volterra）曾构造了这样的函数，它们具有有界的导函数，但是导函数不是黎曼可积的，从而基本定理对此是不适用的．此后，联系到黎曼积分对无界函数的推广也发现了类似的困难．然而，在新的积分理论中，勒贝格指出，对有界函数来说，这一困难是不存在的．在f'是有限值但无界的情形，只要是可积的，基本定理仍是成立的，而且这正相当于f是有界变差函数．同时，逆向问题也被人们提出来了：

何时一个连续函数是某个函数的积分？

为此，A．哈纳克（Harnack）曾导入了后来叫做绝对连续的函数．约在1890年期间，绝对连续函数就被当作绝对收敛的积分的特征性质来研究，虽然还没有人能真正证明任何绝对连续函数都是一个积分．然而，勒贝格通过对于导数几乎处处为零但函数本身并非常数的函数的考察，认识到在他的积分意义下，上述结论是正确的．从而得出了积分与原函数之间的一个完整结果：

公式

（1）成立的充分且必要条件是：

f（x）是[a，b]上的绝对连续函数．

　　另一个与积分论有关的问题是曲线的长度问题．19世纪前期，很少有人注意到一条曲线长度的定义和可求长问题．一般都认为以y=f（x）（a≤x≤b）所描述的曲线段总是有长度的，且长度可用

　　表示．杜·布瓦-雷蒙（DuBois-Reymond）在研究关于两点间长度最短的曲线的变分问题时，从G．P．L．狄利克雷（Dirichlet）关于函数的一般观点出发探讨了曲线长度的概念．由于用到了极限过程这一分析手段，他认为（1879）积分理论对曲线长度的概念和可求长性质的陈述是必不可少的．但到了19世纪末期，这一见解由于L．希弗尔（Scheeffer，1859—1885）举出的反例而受到责难，这一反例致使定积分感兴趣，并应用他的积分论中的方法和结果，证明了曲度长度与积分概念是密切相关的，从而恢复了杜·布瓦-雷蒙断言的可信性．

　　勒贝格关于微积分基本定理和曲线可求长理论的研究，促使他发现有界变差函数是几乎处处可微的这一事实．（注：

若尔当曾指出不定积分是有界变差函数．）这一定理的重要性在于：

人们对于连续函数的可微性已经讨论了一个多世纪，在19世纪的几乎前半个世纪，人们还一直认为连续函数在其定义区域中的绝大多数点上都是可微的．虽然连续函数总被误认为是逐段单调的，但这使单调性与可微性联系起来了，尽管是脆弱的．19世纪末期，这一看法逐渐被人怀疑，甚至有些其地位不低于魏尔斯特拉斯的数学家都觉得存在着无处可微的连续的单调函数．于是，在这一意义下，勒贝格的定理支持了前一代数学家的直觉印象．

　　在传统的关于二重积分与累次积分的等值性定理上，黎曼积分也反映出它的不足之处，人们发现了使该定理不成立的例子．从而作为一个结论，这一定理的传统说法必须修改，然而在把积分推广于无界函数的情形时，这一修改变得更加严峻．对此，勒贝格的重积分理论，使得用累次积分来计算二重积分的函数范围扩大了．他在1902年给出的一个结果奠定了1907年G．傅比尼（Fubini）创立的著名定理的基础．

　　勒贝格积分理论作为分析学中的一个有效工具的出现，尤其是他在三角级数中应用的高度成功，吸引了许多数学家，例如P．法图（Fatou），F．里斯（Riesz）和E．菲舍尔（Fischer）等，来探讨有关的问题，使得这一领域开始迅速发展．其中特别是里斯关于Lp空间的工作（注：

勒贝格可积的函数全体构成的距离空间是完备的），使得勒贝格积分在积分方程和函数空间的理论中持久地占有重要的位置．

　　虽然勒贝格在最初阶段专注于他自己的积分理论，然而在激励抽象测度和积分论研究的开展上，他的工作仍是先导性的．1910年，勒贝格发表题为“关于不连续函数的积分”（SurI’intégrationdesfonctionsdiscontinues）的重要专题报告．在这里他不仅把积分、微分理论推广于n维空间，而且引入了可数可加集合函数的概念（定义于勒贝格可测集类上），指出这些函数是定义在集合类上的有界变差函数．正是因为对于有界变差与可加性概念之间联系的考察，使得J．拉东（Radon）作出了更广的积分定义，其中把T．-J．斯蒂尔吉斯（Stieltjes）积分和勒贝格积分作为它的特殊情形．他还在1913年的文章中指出，勒贝格的思想在更一般的背景上也是有效的．

　　勒贝格的一生都献给了数学事业，在1922年被推举为院士时，他的著作和论文已达90种之多，内容除积分理论外，还涉及集合与函数的构造（后来由俄国数学家H．鲁金（ЛyэиH）及其他学者进一步作出发展）、变分学、曲面面积以及维数理论等重要结果．在勒贝格生前最后20年中，研究工作仍然十分活跃并反映出广泛的兴趣，不过作品内容大都涉及教育、历史及初等几何．

　　勒贝格的工作是对本世纪科学领域的一个重大贡献，但和科学史上所有新思想运动一样，并不是没有遇到阻力的．原因是在勒贝格的研究中扮演了重要角色的那些不连续函数和不可微函数被人认为违反了所谓的完美性法则，是数学中的变态和不健康部分．从而受到了某些数学家的冷淡，甚至有人曾企图阻止他关于一篇讨论不可微曲面的论文的发表．勒贝格曾感叹地说：

“我被称为一个没有导数的函数的那种人了！

”然而，不论人们的主观愿望如何，这些具有种种奇异性质的对象都自动地进入了研究者曾企图避开它们的问题之中．勒贝格充满信心地指出：

“使得自己在这种研究中变得迟钝了的那些人，是在浪费他们的时间，而不是在从事有用的工作．”

　　由于在实变函数理论方面的杰出成就，勒贝格相继获得胡勒维格（Houllevigue）奖（1912年）；彭赛列（Poncelet）奖（1914年）和赛恩吐（Saintour）奖（1917年）．许多国家和地区（如伦敦、罗马、丹麦、比利时、罗马尼亚和波兰）的科学院都聘他为院士，许多大学授予他名誉学位，以表彰他的贡献．  

勒贝格积分是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。

在最简单的情况下，对一个单元非负值的函数的积分可以看作是求其函数图像与x轴之间的面积。

勒贝格积分则将积分运算扩展到其它函数，并且也扩展了这些函数的定义域。

最早对积分运算的定义是对于非负值和足够光滑的函数来说，其积分相当于使用求极限的手段来计算一个多边形的面积。

但是随着对更加不规则的函数的积分运算的需要不断产生（比如为了确定数学分析的极限，或者出于概率论的需求），很快就产生了对更加广义的求极限手段的要求来定义相应的积分运算。

在实分析和在其它许多数学领域中勒贝格积分拥有一席重要的地位。

勒贝格积分是以昂利·勒贝格命名的，他于1904年引入了这个积分定义。

今天勒贝格积分有狭义和广义两种意义。

广义地说是勒贝格引入的在一个测度内的函数的积分理论。

狭义则是指相对于勒贝格测度在实直线的亚域中定义的函数的积分。

对一个正函数的积分可以看作是求该函数曲线下的面积

引入

在闭区间a和b之间对函数f的积分可以被看作是求f的函数图像下的面积。

对于多项式这样比较常见的函数来说这个定义简而易懂。

但是对于更加稀奇古怪的函数来说它是什么意思呢？

广义地来说，对于什么样的函数“函数图像下的面积”这个概念有意义？

这个问题的答案具有很大的理论性和实际性意义。

19世纪里在数学中有把整个数学理论放到一个更加坚固的基础上的趋势。

在这个过程中数学家也试图给积分计算提供一个稳固的定义。

波恩哈德·黎曼提出的黎曼积分成功地为积分运算提供了一个这样的基础。

黎曼积分的出发点是设立一系列容易计算的积分，这些积分最后收敛于给定的函数的积分。

这个定义很成功，为许多其它问题提供了有用的答案。

但是在求函数序列的极限的时候黎曼积分的效果不良，这使得这些极限过程难以分析。

而这个分析比如在研究傅里叶级数、傅里叶变换和其它问题时却是极其重要的。

勒贝格积分能够更好地描述在什么情况下积分有极限。

勒贝格积分所使用的容易计算的积分与黎曼积分所使用的不同，这是勒贝格积分更加成功的主要原因。

勒贝格的定义也使得数学家能够计算更多种类的函数的积分。

比如输入值为无理数时输出值为1，其它情况下输出值为0的狄利克来函数没有黎曼积分，但是有勒贝格积分。

推导

以下的介绍是遵循最常见的勒贝格积分的介绍进行的。

在这个介绍中积分理论分两部分：

1.可测集和在这些集合上可以进行的测量的理论

2.可测函数和对这些函数积分的理论

测度理论

最初测度理论是用来对欧几里得空间中直线的长度，以及广义欧几里得空间的子集的面积和体积进行仔细分析发展出来的。

它尤其可以为R的哪些子集拥有长度这个问题提供一个系统性的回答。

后来发展的集合论证明，实际上不可能把R的所有子集都分配一个长度，且保持自然的加法和平移不变的性质。

因此能够给出一个合适的，可测量的子集是一个关键性的前提。

当然，黎曼积分隐含了长度的概念。

事实上计算黎曼积分的元素是[a, b] × [c, d]所组成的长方形，它的面积为（b−a）（d−c）。

b−a是这个长方形的宽度，而d−c则是其高度。

黎曼只能用平面的长方形来近似函数图像下的面积，因为当时还没有其它适当的理论来测量更一般的集合。

在大多数现代的教科书中测度和积分都是公理性的。

也就是说一个函数μ的测度定义为拥有一个集合E的一定的子集X，这些子集必须拥有一定的特征。

在许多不同的情况下这些特征存在。

关于测度理论详见测度。

积分

从一个测度空间（E,X,μ）出发，E是一个集合，X是E的子集的σ代数，μ是对E的子集的X的测度。

比如E可以是一个n维欧几里得空间Rn或者其勒贝格可测子集。

则X是所有E的勒贝格可测子集的σ代数，μ则是勒贝格测度。

在概率论中μ是概率空间E中的概率测度。

在勒贝格理论中只有对所谓的可测函数才能够进行积分。

一个函数f被称为是可测的，假如每个X内的闭区间的原像满足：

。

这与R中的所有波莱尔子集的原像在X内的要求是等价的。

我们假设满足这个条件。

可测函数的集合在代数运算下是封闭的，更重要的是在不同逐点序列极限下它们是封闭的：

是可测的，假如原序列fk是由可测函数组成的，其中

N。

我们为E上的可测实数值函数f积分

，

并把这个积分分为：

指示函数：

与给定的测度μ一致的可测集合S的指示函数的积分唯一可选择的值为：

简单函数：

通过对指示函数线性生成扩展：

在这里和是有限的，系数ak是实数。

这样通过对指示函数进行有限线性组合形成的函数称为简单函数。

即使一个简单函数可以通过不同方法的指示函数线性组合形成，其积分始终是一致的。

假如E是一个可测集合，s是一个可测简单函数的话则

非负函数：

f为E中的一个非负可测函数，其值可以达到+∞，即f可以在扩展的实数轴上取任何非负值。

我们定义

。

我们必须证明这个积分与上面定义在简单函数集合上的积分相应。

此外还有这个积分是否与黎曼积分的概念以任何方式相应的问题。

事实上可以证明这两个问题的答案都是肯定的。

这样我们定义了E中所有非负扩展实数函数f的积分。

一些这些函数的积分的值是无限大的。

带符号的函数：

为了解决带符号的函数，我们需要更多的定义。

假如f是可测集合E中值可以是任何实数（包括±∞）的函数的话，则

其中

请注意f + 和f − 都是非负函数。

此外

若

则f被称为勒贝格可积的。

在这种情况下，两个积分均满足

，

因此可以定义

事实上这个定义给出了希望获得的积分的特性。

复数值函数也可以类似地积分，只要分别考虑实数部分和虚数部分就可以了。

直觉解释

黎曼积分（蓝色）和勒贝格积分（红色）

要直觉地解释各种积分的原理我们可以假设我们要计算一座山在海拔以上的体积。

黎曼积分是相当于把山分为每块都是一平方米大的方块，测量每个方块正中的山的高度。

每个方块的体积约为1x1x高度，因此山的总体积为所有高度的和。

勒贝格积分则是为山画一张等高线图，每根等高线之间的高度差为一米。

每根等高线内含有的岩石土壤的体积约等于该等高线圈起来的面积乘以其厚度。

因此总体积等于所有等高线内面积的和。

佛兰德（Folland）[1]总结说，黎曼积分是把区间[a, b]分为子区间，而勒贝格积分则是“分f的高度”。

例子

有理数的指示函数

是一个无处连续的函数。

∙在区间[0,1]之间

没有黎曼积分，因为在实数中有理数和无理数都是稠密的，因此不管怎样把[0,1]分成子区间，每一个子区间里面总是至少会有一个有理数和一个无理数，因此其达布积分的上限为1，而下限为0。

∙在区间[0,1]内

有勒贝格积分。

事实上它等于有理数的指示函数，因为

是可数集，因此

黎曼积分的不足

在这一章里我们讨论黎曼积分的限制以及勒贝格积分提供的更大的可能性。

我们假设对于黎曼积分的原理已经很清楚了。

傅里叶级数出现后，许多包括积分的分析问题也随之出现，要解决这些问题需要交换函数的无限求和和积分运算符。

但是在黎曼积分中，要求出以下两个积分相等的条件

以及

被证明是很难解决的。

除此之外黎曼积分还有一些其它的困难。

这些困难主要涉及上面已经讨论过的求极限的问题。

缺乏单调收敛：

如上所述，有理数的指示函数

没有黎曼积分。

尤其是单调收敛定理不成立。

要了解为什么，设{ak}=

∩[0,1]（有理数集是可数的）。

令

函数gk除了在一个有限点集外处处都是0，因此其黎曼积分为0。

序列gk也显然是非负的，而且单调增加到没有黎曼积分的

。

不适宜于无界区间：

黎曼积分只能用来在有界区间内对函数进行积分。

最简单的扩展是在有界情况下定义

。

但是这个定义打破了平移不变性：

设f和g在区间[a, b]外为0，而且是可以黎曼积分的。

设对于某yf（x）= g（x +y），则

。

通过这个瑕积分的定义函数f（x）=（1假如x >0，否则的话-1，g（x）=1假如x >1，否则-1。

这两个函数互相之间平移不变，但是瑕积分却不是平移不变的。

基本定理

勒贝格积分不能区分仅在一个μ测度0的集合上有区别的函数。

精确地说，函数f和g几乎处处相等当且仅当

∙假如f和g是非负函数且几乎处处f = g，则

。

∙假如f和g是函数，且几乎处处f = g，则f是勒贝格可积的，当且仅当g是勒贝格可积的，且f和g的积分是相等的。

勒贝格积分拥有以下特征：

线性：

设f和g为勒贝格可积的函数，a和b是实数，则af + bg是勒贝格可积的，且

单调性：

设

则

。

单调收敛定理：

设

是一个实数值、非负可测函数的序列，且

则

。

注意：

任何积分的值均可以是无穷大。

法图引理：

设

是一个实数值、非负可测函数的序列，则

。

在这里所有积分的值也均可以是无穷大。

勒贝格控制收敛定理：

设

是一个复可测函数的序列，并拥有逐点极限f，且如果有一个勒贝格可积的函数g（即

），对所有k满足

，则f是勒贝格可积的，且

。

证明技术

在这里我们通过证明上面已经提到过的勒贝格单调收敛定理，来说明勒贝格积分理论的证明技巧。

设

是一个非负可测函数的非递减序列，令

由积分的单调性可以立刻得出：

由于该系列是单调的，因此可以推出右侧的极限存在。

我们现在来证明另一个方向的不等式（它也可以通过法图引理证明），即

。

由积分的定义可以推出，有一个非负简单函数的非递减序列gn，几乎处处逐点收敛于f，使得

。

因此只需证明对于任何

我们来证明假如g是一个简单函数而且几乎处处

则

。

将函数g分解为其常数部分，可以化为g是一个集合的指示函数的情况。

这样的话我们只要证明

设A是一个可测集合，

是一个E上可测函数的非递减序列，则几乎对所有

则

要证明这个结果，令ε>0并定义可测集合的序列为

。

由积分的单调性可以得出对于任何

，

由于对于足够大的n，几乎所有的x都位于Bn内，我们便有

对于一个测度为0的系列成立。

因此根据μ的可数可加性

。

由于这个结果对于任何正的ε成立，因此定理得证。

其它表达方式

关于勒贝格测度的积分也可以不通过使用整个测度理论引导出来。

一个这样的方法是使用丹尼尔积分。

使用泛函分析的方法也可以发展出积分的理论。

任何定义在

（或一个固定的开子集）上的紧支撑连续函数f都有黎曼积分。

从这些积分开始，我们可以建立更一般的函数的积分。

设Cc为

上所有实数值紧支撑连续函数所构成的空间。

定义Cc的范数为

这样一来Cc是一个赋范向量空间（特别地，它是一个度量空间）。

所有的度量空间都有豪斯多夫完备性，因此令L1为其完备空间。

这个空间与勒贝格可积分函数余积分为零的子空间同构