版二轮复习数学文通用版讲义第一部分 第二层级 重点增分专题四 三角函数的图象与性质.docx

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版二轮复习数学文通用版讲义第一部分第二层级重点增分专题四三角函数的图象与性质

2019年4月重点增分专题四　三角函数的图象与性质

[全国卷3年考情分析]

年份

全国卷Ⅰ

全国卷Ⅱ

全国卷Ⅲ

2018

三角恒等变换及三角函数的周期与最值·T8

三角函数单调性的应用·T10

正切函数的周期·T6

2017

三角函数的周期·T3

三角函数的最值·T6

三角函数的最值·T13

2016

三角函数的图象变换与性质·T6

已知三角函数图象求解+析式·T3

三角函数图象变换·T14

三角函数的最值·T11

（1）高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．

（2）主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第3～11或14～15题位置上．

三角函数的定义、诱导公式及基本关系

[大稳定]

1.在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，角α，β的终边分别与单位圆交于点和，则sin（α＋β）＝（　　）

A．－　　　　　　　　B.

C．－D.

详细分析：

选D　因为角α，β的终边分别与单位圆交于点和，所以sinα＝，cosα＝，sinβ＝，cosβ＝－，所以sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.

2.若tanα＝，则sin4α－cos4α的值为（　　）

A．－B．－

C.D.

详细分析：

选B　∵tanα＝，

∴sin4α－cos4α＝（sin2α＋cos2α）（sin2α－cos2α）

＝sin2α－cos2α＝

＝＝－.

3.设函数f（x）（x∈R）满足f（x＋π）＝f（x）＋sinx．当0≤x<π时，f（x）＝0，则f＝（　　）

A.B.

C．0D．－

详细分析：

选A　由已知，得f＝f＋sin

＝f＋sin＋sin

＝f＋sin＋sin＋sin

＝f＋sin＋sin＋sin

＝0＋＋＋＝.

[解题方略]

1．同角三角函数基本关系式的应用技巧

知弦求弦

利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解

知弦求切

常通过平方关系、对称式sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα建立联系，注意tanα＝的灵活应用

知切求弦

通常先利用商数关系转化为sinα＝tanα·cosα的形式，然后用平方关系求解

和积转换法

如利用（sinθ±cosθ）2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化

巧用“1”

的变换

1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ（1＋tan2θ）＝sin2θ

2．利用诱导公式进行化简求值的步骤

利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：

去负－脱周－化锐．特别注意函数名称和符号的确定．（注意“奇变偶不变，符号看象限”）

[小创新]

1.设an＝sin，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（　　）

A．25B．50

C．75D．100

详细分析：

选D　当1≤n≤24时，an>0，当26≤n≤49时，an<0，但其绝对值要小于1≤n≤24时相应的值；当51≤n≤74时，an>0；当76≤n≤99时，an<0，但其绝对值要小于51≤n≤74时相应的值．故当1≤n≤100时，均有Sn>0.

2.某一算法程序框图如图所示，则输出的S的值为（　　）

A.B．－

C.D．0

详细分析：

选A　由已知程序框图可知，该程序的功能是计算S＝sin＋sin＋sin＋…＋sin的值．

因为sin＝，sin＝sin＝sin＝，sin＝sinπ＝0，

sin＝sin＝－sin＝－，

sin＝sin＝－sin＝－，

sin＝sin2π＝0，而sin＝sin＝sin，

sin＝sin＝sin，sin＝sin（2π＋π）＝sinπ，所以函数值呈周期性变化，周期为6，且sin＋sin＋sin＋sin＋sin＋sin＝0.

而2017＝6×336＋1，所以输出的S＝336×0＋sin＝.故选A.

3.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：

弧田面积＝（弦×矢＋矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（　　）

A．6m2B．9m2

C．12m2D．15m2

详细分析：

选B　如图，由题意可得∠AOB＝，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，

于是矢＝4－2＝2.

由AD＝AO·sin＝4×＝2，

可得弦长AB＝2AD＝2×2＝4.

所以弧田面积＝（弦×矢＋矢2）＝×（4×2＋22）＝4＋2≈9（m2）．故选B.

题型一　由“图”定“式”

[例1]　

（1）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0,0<φ<π），其部分图象如图所示，则函数f（x）的解+析式为（　　）

A．f（x）＝2sin

B．f（x）＝2sin

C．f（x）＝2sin

D．f（x）＝2sin

（2）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0,0<φ<π）的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为，若f＝，则函数f（x）在上的最小值为（　　）

A.　　　　　　　　　B．－

C．－D．－

[详细分析]　

（1）由题图可知，函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点，最低点，

所以函数的最大值为2，即A＝2.

由图象可得，x＝－，x＝为相邻的两条对称轴，

所以函数的周期T＝2×＝4π，

故＝4π，解得ω＝.

所以f（x）＝2sin.

把点代入可得2sin＝2，

即sin＝1，

所以φ－＝2kπ＋（k∈Z），

解得φ＝2kπ＋（k∈Z）．

又0<φ<π，所以φ＝.

所以f（x）＝2sin，故选B.

（2）由题意得，函数f（x）的最小正周期T＝4×＝π＝，解得ω＝2.

因为点在函数f（x）的图象上，

所以Asin＝0，

解得φ＝kπ＋，k∈Z，由0<φ<π，可得φ＝.

因为f＝，所以Asin＝，

解得A＝，所以f（x）＝sin.

当x∈时，2x＋∈，

∴sin∈，

∴f（x）的最小值为－.

[答案]　

（1）B　

（2）C

[解题方略]　由“图”定“式”找“对应”的方法

由三角函数的图象求解+析式y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A>0，ω>0）中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．

（1）最值定A，B：

根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝.

（2）T定ω：

由周期的求解公式T＝，可得ω＝.

（3）点坐标定φ：

一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”．

题型二　三角函数的图象变换

[例2]　

（1）（2019届高三·湘东五校联考）将函数f（x）＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的一条对称轴的方程可能是（　　）

A．x＝－B．x＝

C．x＝D．x＝

（2）（2018·郑州第一次质量测试）若将函数f（x）＝sin图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（　　）

A.（k∈Z）

B.（k∈Z）

C.（k∈Z）

D.（k∈Z）

[详细分析]　

（1）依题意知，将函数f（x）＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得函数g（x）＝sin的图象．令x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝2kπ＋，k∈Z，当k＝0时，所得函数图象的一条对称轴的方程为x＝，故选D.

（2）将函数f（x）＝sin图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到函数g（x）＝sin＝sin（2x＋π）＝－sin2x的图象，令＋2kπ≤2x≤＋2kπ（k∈Z），可得＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），因此函数g（x）的单调递增区间为（k∈Z），故选A.

[答案]　

（1）D　

（2）A

[解题方略]　关于三角函数的图象变换的方法

沿x轴

沿y轴

平移变换

由y＝f（x）变为y＝f（x＋φ）时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移

由y＝f（x）变为y＝f（x）＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移

伸缩变换

由y＝f（x）变为y＝f（ωx）时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍

由y＝f（x）变为y＝Af（x）时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍

增分考点·讲练冲关

[典例]　

（1）（2018·全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝2cos2x－sin2x＋2，则（　　）

A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3

B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4

C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3

D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4

（2）（2018·昆明调研）已知函数f（x）＝sinωx的图象关于点对称，且f（x）在上为增函数，则ω＝（　　）

A.B．3

C.D．6

（3）（2018·全国卷Ⅱ）若f（x）＝cosx－sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（　　）

A.B.

C.D．π

[详细分析]　

（1）∵f（x）＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos2x－＋2＝cos2x＋，∴f（x）的最小正周期为π，最大值为4.故选B.

（2）因为函数f（x）＝sinωx的图象关于对称，

所以π＝kπ（k∈Z），即ω＝k（k∈Z）．①

又函数f（x）＝sinωx在区间上是增函数，

所以≤且ω>0，所以0<ω≤2.②

由①②得ω＝，故选A.

（3）法一：

∵f（x）＝cosx－sinx＝－sinx－，

∴当x－∈，即x∈时，

y＝sin单调递增，

f（x）＝－sin单调递减，

∴是f（x）在原点附近的单调减区间，

结合条件得[0，a]⊆，

∴a≤，即amax＝.故选C.

法二：

f′（x）＝－sinx－cosx＝－sin.

于是，由题设得f′（x）≤0，即sin≥0在区间[0，a]上恒成立．

当x∈[0，a]时，x＋∈，

所以a＋≤π，即a≤，

故所求a的最大值是.故选C.

[答案]　

（1）B　

（2）A　（3）C

[解题方略]

1．求三角函数单调区间的方法

（1）代换法：

求形如y＝Asin（ωx＋φ）（或y＝Acos（ωx＋φ））（A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0）的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝Asinz（或y＝Acosz），然后由复合函数的单调性求得．

（2）图象法：

画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．

2．判断对称中心与对称轴的方法

利用函数y＝Asin（ωx＋φ）的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f（x0）的值进行判断．

3．求三角函数周期的常用结论

（1）y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx＋φ）的最小正周期为.

（2）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．

[多练强化]

1．若函数f（x）＝sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）（0<θ<π）的图象关于中心对称，则函数f（x）在上的最小值是（　　）

A．－1B．－

C．－D．－

详细分析：

选B　f（x）＝2sin，又图象关于中心对称，

所以2×＋θ＋＝kπ（k∈Z），

所以θ＝kπ－（k∈Z），又0<θ<π，所以θ＝，

所以f（x）＝－2sin2x，因为x∈，

所以2x∈，f（x）∈[－，2]，

所以f（x）的最小值是－.

2．（2018·济南模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）的最小正周期为π，且f＝f（x），则（　　）

A．f（x）在上单调递减

B．f（x）在上单调递增

C．f（x）在上单调递增

D．f（x）在上单调递减

详细分析：

选D　因为f（x）＝sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）＝2sin的最小正周期为π，所以＝π，所以ω＝2.因为f＝f（x），所以直线x＝是f（x）图象的一条对称轴，所以2×＋φ＋＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z，因为|φ|<，所以φ＝－，所以f（x）＝2sin.当x∈时，2x＋∈，f（x）先增后减，当x∈时，2x＋∈，f（x）单调递减．故选D.

3．（2018·北京高考）已知函数f（x）＝sin2x＋sinxcosx.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）若f（x）在区间上的最大值为，求m的最小值．

解：

（1）f（x）＝sin2x＋sinxcosx

＝－cos2x＋sin2x

＝sin＋，

所以f（x）的最小正周期为T＝＝π.

（2）由

（1）知f（x）＝sin＋.

由题意知－≤x≤m，

所以－≤2x－≤2m－.

要使f（x）在区间上的最大值为，

即sin在区间上的最大值为1.

所以2m－≥，即m≥.

所以m的最小值为.

三角函数图象与性质的综合应用

[典例]　已知函数f（x）＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx－（ω>0）的最小正周期为π.

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在[0，b]（b>0）上至少含有10个零点，求b的最小值．

[解]　

（1）f（x）＝2sinωxcosωx＋（2sin2ωx－1）

＝sin2ωx－cos2ωx＝2sin.

由最小正周期为π，得ω＝1，

所以f（x）＝2sin，

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

所以函数f（x）的单调递增区间是，k∈Z.

（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin2x＋1的图象，

所以g（x）＝2sin2x＋1.

令g（x）＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋（k∈Z），

所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g（x）在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可．

所以b的最小值为4π＋＝.

[解题方略]

解决三角函数图象与性质综合问题的思路

（1）先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin（ωx＋φ）＋B（一角一函数）的形式；

（2）把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin（ωx＋φ）＋B的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题．

[多练强化]

（2017·山东高考）设函数f（x）＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.

（1）求ω；

（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在上的最小值．

解：

（1）因为f（x）＝sin＋sin，

所以f（x）＝sinωx－cosωx－cosωx

＝sinωx－cosωx

＝

＝sin.

因为f＝0，

所以－＝kπ，k∈Z.

故ω＝6k＋2，k∈Z.

又0<ω<3，所以ω＝2.

（2）由

（1）得f（x）＝sin，

所以g（x）＝sin＝sin.

因为x∈，

所以x－∈，

当x－＝－，即x＝－时，g（x）取得最小值－.

直观想象——数形结合法在三角函数图象问题中的应用

[典例]　函数f（x）＝sin（ωx＋φ）ω>0，|φ|<的图象如图所示，为了得到g（x）＝cos的图象，则只需将f（x）的图象（　　）

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

[详细分析]　根据函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的部分图象知，＝－＝，∴T＝π，即＝π，解得ω＝2.根据“五点作图法”并结合|φ|<，可知2×＋φ＝π，解得φ＝，∴f（x）＝sin.∴g（x）＝cos＝sin＋＝sin.故为了得到g（x）的图象，只需将f（x）的图象向左平移个单位长度即可．

[答案]　A　

[素养通路]

本题利用图形描述数学问题，通过对图形的理解，由图象建立形与数的联系，确定函数的周期，根据“五点作图法”代入数据求参数．考查了直观想象这一核心素养．

A组——“6＋3＋3”考点落实练

一、选择题

1．（2018·全国卷Ⅲ）函数f（x）＝的最小正周期为（　　）

A.　　　　　　　B.

C．πD．2π

详细分析：

选C　由已知得f（x）＝＝＝＝sinx·cosx＝sin2x，所以f（x）的最小正周期为T＝＝π.

2.（2018·贵阳第一学期检测）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）ω>0，－<φ<的部分图象如图所示，则φ的值为（　　）

A．－B.

C．－D.

详细分析：

选B　由题意，得＝＋＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知A＝1，所以f（x）＝sin（2x＋φ）．又f＝sin＝0，－<φ<，所以φ＝.

3．（2019届高三·西安八校联考）已知函数f（x）＝cos（x＋θ）（0<θ<π）在x＝时取得最小值，则f（x）在[0，π]上的单调递增区间是（　　）

A.B.

C.D.

详细分析：

选A　因为0<θ<π，所以<＋θ<，

又f（x）＝cos（x＋θ）在x＝时取得最小值，所以＋θ＝π，θ＝，所以f（x）＝cos.

由0≤x≤π，得≤x＋≤.

由π≤x＋≤，得≤x≤π，

所以f（x）在[0，π]上的单调递增区间是，故选A.

4．函数f（x）＝sin的图象与函数g（x）的图象关于x＝对称，则g（x）具有的性质是（　　）

A．最大值为1，图象关于直线x＝对称

B．在上单调递减，为奇函数

C．在上单调递增，为偶函数

D．周期为π，图象关于点对称

详细分析：

选B　由题意得，g（x）＝sin＝sin（－2x）＝－sin2x，最大值为1，而g＝0，图象不关于直线x＝对称，故A错误；当x∈时，2x∈，满足单调递减，显然g（x）也是奇函数，故B正确，C错误；周期T＝＝π，g＝－，故图象不关于点对称，故D错误．

5．（2019届高三·安徽知名示范高中联考）先将函数y＝2sin＋1的图象向左平移个最小正周期的单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得图象对应的函数是（　　）

A．奇函数B．偶函数

C．非奇非偶函数D．不能确定

详细分析：

选B　因为函数y＝2sin＋1，所以其最小正周期T＝π，所以将函数图象向左平移个单位长度，所得的图象对应的函数解+析式为y＝2sin＋1＝2sin＋1＝2sin＋1＝2cos2x＋1，再将图象向下平移1个单位长度后所得的图象对应的函数解+析式为y＝2cos2x，该函数为偶函数，故选B.

6．（2018·广州高中综合测试）已知函数f（x）＝sin（ω>0）在区间上单调递增，则ω的取值范围为（　　）

A.B.

C.D.

详细分析：

选B　法一：

因为x∈，所以ωx＋∈，

因为函数f（x）＝sin（ω>0）在区间上单调递增，

所以

即

又ω>0，所以0<ω≤，选B.

法二：

取ω＝1，f＝sin＝－sin<0，f＝sin＝sin＝1，f＝sin＝sin＝，不满足题意，排除A、C、D，选B.

二、填空题

7．（2018·惠州调研）已知tanα＝，且α∈，则cos＝____________.

详细分析：

法一：

cos＝sinα，由α∈知α为第三象限角，

联立得5sin2α＝1，故sinα＝－.

法二：

cos＝sinα，由α∈知α为第三象限角，由tanα＝，可知点（－2，－1）为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sinα＝－.

答案：

－

8．已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的图象在y轴右侧的第一个最高点为P，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q，则f的值为______．

详细分析：

由题意得＝－＝，所以T＝π，所以ω＝2，

将点P代入f（x）＝sin（2x＋φ），

得sin＝1，所以φ＝＋2kπ（k∈Z）．

又|φ|<，所以φ＝，即f（x）＝sin（x∈R），所以f＝sin＝－.

答案：

－

9．已知函数f（x）＝cos，其中x∈，m，若f（x）的值域是，则m的最大值是________．

详细分析：

由x∈，可知≤3x＋≤3m＋，

∵f＝cos＝－，且f＝cosπ＝－1，

∴要使f（x）的值域是，

需要π≤3m＋≤，即≤m≤，

即m的最大值是.

答案：

三、解答题

10．（2018·石家庄模拟）函数f（x）＝Asinωx－＋1（A>0，ω>0）的最小值为－1，其图象相邻两个最高点之间的距离为π.

（1）求函数f（x）的解+析式；

（2）设α∈，f＝2，求α的值．

解：

（1）∵函数f（x）的最小值为－1，

∴－A＋1＝－1，即A＝2.

∵函数f（x）的图象的相邻两个最高点之间的距离为π，

∴函数f（x）的最小正周期T＝π，

∴ω＝2，故函数f（x）的解+析式为

f（x）＝2sin＋1.

（2）∵f＝2sin＋1＝2，

∴sin＝.

∵0<α<，∴－<α－<，∴α－＝，得α＝.

11．已知m＝，n＝（cosx,1）．

（1）若m∥n，求tanx的值；

（2）若函数f（x）＝m·n，x∈[0，π]，求f（x）的单调递增区间．

解：

（1）由m∥n得，sin－cosx＝0，展开变形可得，sinx＝cosx，即tanx＝.

（2）f（x）＝m·n＝sincosx＋1

＝sinxcosx－cos2x＋1

＝sin2x－＋1

＝＋

＝sin＋，

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

又x∈[0，π]，所以当x∈[0，π]时，f（x）的单调递增区间为和.

12．已知函数f（x）＝cosx（2sinx＋cosx）－sin2x.

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若当x∈时，不等式f（x）≥m有解，求实数m的取值范围．

解：

（1）f（x）＝2sinxcosx＋cos2x－sin2x

＝sin2x＋cos2x

＝2

＝2sin，

所以函数f（x）的最小正周期T＝π.

（2）由题意可知，不等式f（x）≥m有解，

即m≤f（x）max，因为x∈，所以2x＋∈，

故当2x＋＝，即x＝时，f（x）取得最大值，

且最大值为f＝2.从而可得m≤2.

所以实数m的取值范围为（－∞，2]．

B组——大题专攻补短练

1．已知向量m＝（2sinωx，sinωx），n＝（cosωx，－2sinωx）（ω>0），函数f（x）＝m·n＋，直线x＝x1，x＝x2是函数y＝f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.

（1）求ω的值；

（2）求函数f（x）的单调递增区间．

解：

（1）因为向量m＝（2sinωx，sinωx），n＝（cosωx，－2sinωx）（ω>0），所以函数f（x）＝m·n＋＝2sinωxcosωx＋sinωx（－2sinωx）＋＝sin2ωx－2sin2ωx＋