第3章《中心对称图形一》好题集1035 矩形菱形正方形.docx

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第3章《中心对称图形一》好题集1035矩形菱形正方形

第3章《中心对称图形

（一）》好题集（10）：

3.5矩形、菱形、正方形

第3章《中心对称图形

（一）》好题集（10）：

3.5矩形、菱形、正方形

选择题

91．四边形ABCD为菱形，E为BC边上的中点，P为对角线BD上一点，要使PE+PC最小，则应满足（　　）

A．

PE=PC

B．

PE⊥PC

C．

PB=PD

D．

∠BAE=∠BCP

92．（2008•绍兴）将一张纸第一次翻折，折痕为AB（如图1），第二次翻折，折痕为PQ（如图2），第三次翻折使AP与PQ重合，折痕为PC（如图3），第四次翻折使PB与PA重合，折痕为PD（如图4）．此时，如果将纸复原到图1的形状，则∠CPD的大小是（　　）

A．

120°

B．

90°

C．

60°

D．

45°

93．如图，ABCD和DCGH是两块全等的正方形铁皮，要使它们重合，则存在的旋转中心有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

94．一个平行四边形绕着它的对角线的交点旋转90°，能够与它本身重合，则该四边形是（　　）

A．

矩形

B．

菱形

C．

正方形

D．

无法确定

填空题

95．（2008•莆田）对角线互相垂直平分的四边形是　_________　．

96．（2007•咸宁）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数=　_________　度．

97．菱形ABCD中，AB=4，高DE垂直平分边AB，则BD=　_________　，AC=　_________　．

98．（2009•建邺区二模）如图所示，矩形纸片ABCD中，E是AD的中点且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB长度为　_________　．

99．如图，在△ABC中，AB=AC=

，BC=2，在BC上有50个不同的点P1，P2，…，P50，过这50个点分别作△ABC的内接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G2，…，P50E50F50G50，每个内接矩形的周长分别为L1，L2，…，L50，则L1+L2+…+L50=　_________　．

100．直角三角形斜边上的中线长为5cm，则斜边长为　_________　cm．

101．直角三角形两条直角边分别是6、8，则斜边上的中线长　_________　．

102．在△ABC中，点D、E、F分别是边AC、AB、BC的中点，它们相交于点G，BD=9，CE=12，BD⊥CE，那么AF=　_________　．

103．（2010•曲靖）如图，活动衣帽架由三个菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角α，使衣帽架拉伸或收缩．当菱形的边长为18cm，α=120°时，A、B两点的距离为　_________　cm．

104．（2009•烟台）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是　_________　cm．

105．（2009•随州）已知菱形的两条对角线的长分别是8和6，则该菱形的周长是　_________　．

106．（2009•鄂州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，已知BC=CD=AC=2

，AB=

，则BD的长为　_________　．

107．（2009•本溪）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于　_________　．

108．（2009•安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在　_________　点．

109．（2008•镇江）如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在　_________　点．

110．（2008•温州）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，对角线BD=8，则菱形ABCD的周长等于　_________　．

111．（2007•镇江）如图，菱形ABCD的对角线相交于O，AC=8，BD=6，则边AB的长为　_________　．

112．（2007•盐城）菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为　_________　．

113．（2007•乌兰察布）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为6和8，点P是对角线AC上的任意一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是　_________　．

114．（2006•宁夏）菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为　_________　cm2．

115．（2006•金华）如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为　_________　．

116．（2005•新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是　_________　cm2．

117．（2005•黄石）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：

4，则菱形的面积为　_________　cm2．

118．（2003•温州）如图：

菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是　_________　．

119．（2004•贵阳）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是　_________　．

120．（2011•长沙）已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则周长是　_________　cm．

第3章《中心对称图形

（一）》好题集（10）：

3.5矩形、菱形、正方形

参考答案与试题解析

选择题

91．四边形ABCD为菱形，E为BC边上的中点，P为对角线BD上一点，要使PE+PC最小，则应满足（　　）

A．

PE=PC

B．

PE⊥PC

C．

PB=PD

D．

∠BAE=∠BCP

考点：

轴对称-最短路线问题；菱形的性质．4366544

专题：

压轴题．

分析：

当PE+PC=PE+AP=AE，取最小值，所以要证明△ABP≌△CBP，即满足的条件是∠BAE=∠BCP．

解答：

解：

连接AC，AE，AE与BD交于点P，

此时，PE+PC=PE+AP=AE，取最小值，

应满足的条件是∠BAE=∠BCP，

可证明△ABP≌△CBP，

PA=PC．

故选D．

点评：

考查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用．

92．（2008•绍兴）将一张纸第一次翻折，折痕为AB（如图1），第二次翻折，折痕为PQ（如图2），第三次翻折使AP与PQ重合，折痕为PC（如图3），第四次翻折使PB与PA重合，折痕为PD（如图4）．此时，如果将纸复原到图1的形状，则∠CPD的大小是（　　）

A．

120°

B．

90°

C．

60°

D．

45°

考点：

翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．4366544

专题：

计算题；操作型．

分析：

根据平角定义和角平分线定义进行分析整理即可．

解答：

解：

第一次折叠，可以不考虑；

第二次折叠，∠APQ+∠BPQ=180°；

第三次折叠，∠CPQ=

×∠APQ；

第四次折叠，∠DPQ=

×∠BPQ；

∠CPD=∠CPQ+∠DPQ=

∠APQ+

∠BPQ=

×180°=90°．

故选B．

点评：

本题主要考查了折叠的特点，需理清折叠后角的变化，由此求出要求的角的度数．

93．如图，ABCD和DCGH是两块全等的正方形铁皮，要使它们重合，则存在的旋转中心有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

考点：

旋转的性质；正方形的性质．4366544

专题：

操作型．

分析：

根据旋转的性质可知，按其顶点间的不同的对应关系，可得旋转的方法，同时可得旋转中心的个数．

解答：

解：

根据旋转的性质，可得要使正方形ABCD和DCGH重合，有3种方法，可以分别绕D、C或CD的中点旋转，

即旋转中心有3个．故选C．

点评：

本题考查旋转的性质：

旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：

①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．

94．一个平行四边形绕着它的对角线的交点旋转90°，能够与它本身重合，则该四边形是（　　）

A．

矩形

B．

菱形

C．

正方形

D．

无法确定

考点：

旋转的性质；正方形的判定．4366544

分析：

根据题意，该四边形的对角线互相垂直平分且相等．

解答：

解：

因为平行四边形对角线互相平分，绕着它的对角线的交点旋转90°，能够与它本身重合，说明对角线互相垂直平分且相等，所以该四边形是正方形．

故选C．

点评：

此题考查了平行四边形的性质及与特殊四边形的关系，属基础题．解题时要根据旋转的性质解答．

填空题

95．（2008•莆田）对角线互相垂直平分的四边形是　菱形　．

考点：

线段垂直平分线的性质；菱形的判定．4366544

专题：

证明题．

分析：

菱形的判定方法有三种：

①定义：

一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②四边相等；

③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

故答案为菱形．

解答：

解：

根据菱形的判定方法，对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

点评：

本题考查菱形的判定．

96．（2007•咸宁）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数=　60　度．

考点：

线段垂直平分线的性质；菱形的性质．4366544

专题：

计算题．

分析：

根据菱形的性质求出∠ADC=100°，再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，从而计算出∠CDF的值．

解答：

解：

连接BD，BF

∵∠BAD=80°

∴∠ADC=100°

又∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD

∴AF=BF，BF=DF

∴AF=DF

∴∠FAD=∠FDA=40°

∴∠CDF=100°﹣40°=60°．

故答案为：

60．

点评：

此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质．

97．菱形ABCD中，AB=4，高DE垂直平分边AB，则BD=　4　，AC=　4

　．

考点：

线段垂直平分线的性质；菱形的性质．4366544

分析：

根据垂直平分线的性质计算．

解答：

解：

因为DE垂直平分边AB，

所以BD=AD=4

故△ABD和△DBC为等边三角形，

由面积公式得：

AC×BD=AB×DE，

∴AC=2DE=2×4sin60°=4

．BD=4，AC=4

．

故答案为4，4

．

点评：

根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，求出DB=4，得到两个三角形为等边三角形，再解直角三角形即可．

98．（2009•建邺区二模）如图所示，矩形纸片ABCD中，E是AD的中点且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB长度为　

　．

考点：

线段垂直平分线的性质；矩形的性质．4366544

分析：

本题要依靠辅助线的帮助，连接CE，首先利用线段垂直平分线的性质证明△BFE≌△CEF．求出EC后易求解．

解答：

解：

如图，连接EC

因为FC垂直平分BE

故△BFC≌△CEF（线段垂直平分线的性质）

所以BC=EC

又因为AD=BC，AE=1

故EC=2

利用勾股定理可得AB=CD=

．

故答案为，

．

点评：

本题考查的是线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，本题的关键是要画出辅助线，证明三角形全等后易求解．本题难度中等．

99．如图，在△ABC中，AB=AC=

，BC=2，在BC上有50个不同的点P1，P2，…，P50，过这50个点分别作△ABC的内接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G2，…，P50E50F50G50，每个内接矩形的周长分别为L1，L2，…，L50，则L1+L2+…+L50=　200　．

考点：

等腰三角形的性质；矩形的性质．4366544

专题：

规律型．

分析：

本题可过A作AD⊥BC于D，先找出每个△ABC的内接矩形与AD长的关系，再求这50个内接矩形的周长和．

解答：

解：

根据题意，过A作AD垂直于BC，交BC于点D；易得BD=1，

设E1F1与AD交于M，则E1M=AM•tan∠BAD=

AM，

∴AM=E1F1，

因此矩形E1F1G1P1的周长L1=2E1F1+2E1P=2AM+2DM=2AD=4，

同理可求得△ABC其它的内接矩形的周长均为4，

因此L1+L2+…+L50=4×50=200．

故答案为200．

点评：

本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

100．直角三角形斜边上的中线长为5cm，则斜边长为　10　cm．

考点：

直角三角形斜边上的中线．4366544

分析：

根据直角三角形的性质直接求解．

解答：

解：

∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，∴斜边长=2×5=10cm．

点评：

本题要熟记斜边上的中线等于斜边的一半．

101．直角三角形两条直角边分别是6、8，则斜边上的中线长　5　．

考点：

勾股定理；直角三角形斜边上的中线．4366544

分析：

根据勾股定理求得斜边的长，从而不难求得斜边上和中线的长．

解答：

解：

∵直角三角形两条直角边分别是6、8，

∴斜边长为10，

∴斜边上的中线长为5．

点评：

此题考查直角三角形的性质及勾股定理的运用．

102．在△ABC中，点D、E、F分别是边AC、AB、BC的中点，它们相交于点G，BD=9，CE=12，BD⊥CE，那么AF=　15　．

考点：

勾股定理；三角形的重心；直角三角形斜边上的中线．4366544

分析：

易得BG，CG长，利用勾股定理可求得BC长，那么GF等于BC的一半，乘以3即为AF长．

解答：

解：

∵BD=9，CE=12，

∴BG=6，CG=8，

∵BD⊥CE，

∴BC=10，

∵F为BC中点，

∴GF=5，

∴AF=3GF=15．

故答案为：

15．

点评：

本题综合考查了三角形的重心与把中心分为1：

2两部分，勾股定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点．

103．（2010•曲靖）如图，活动衣帽架由三个菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角α，使衣帽架拉伸或收缩．当菱形的边长为18cm，α=120°时，A、B两点的距离为　54　cm．

考点：

菱形的性质．4366544

专题：

应用题．

分析：

根据α=120°得出菱形的锐角是60°，所以A、B两点的距离是边长的3倍，代入求解即可．

解答：

解：

∵α=120°，

∴菱形的锐角为60°，

∴AB=3×18=54cm．故答案为，54．

点评：

本题考查有一个角是60°的特殊菱形，此时一条短对角线等于边长．

104．（2009•烟台）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是　17　cm．

考点：

菱形的性质；勾股定理．4366544

专题：

计算题；压轴题．

分析：

画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可．

解答：

解：

当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm，

在Rt△ABC中，

由勾股定理：

x2=（8﹣x）2+22，

解得：

x=

，

∴4x=17，

即菱形的最大周长为17cm．

故答案为17．

点评：

本题的解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程．

105．（2009•随州）已知菱形的两条对角线的长分别是8和6，则该菱形的周长是　20　．

考点：

菱形的性质；勾股定理．4366544

专题：

计算题．

分析：

根据菱形对角线平分且垂直的性质及勾股定理求得其边长，则其周长就不难求得了．

解答：

解：

如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，且BD=8，AC=6，求菱形的周长．

∵菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，且AC=6，BD=8，

∴AC⊥BD，BO=DO=4，AO=CO=3，

∴AB=5，

∴菱形的周长=5×4=20．

故答案为：

20．

点评：

此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．

106．（2009•鄂州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，已知BC=CD=AC=2

，AB=

，则BD的长为　　．

考点：

菱形的性质；勾股定理．4366544

专题：

计算题；压轴题．

分析：

根据直角三角形的性质求解．

解答：

解：

以点C为圆心，BC的长为半径作圆，延长BC交圆C于点E，连结DE．

∵AD∥BC，

∴AB=DE，

∵BE为直径，

∴∠BDE=90°，

在Rt△BDE中，

BD=

故答案为：

．

点评：

解答此题关键是要熟知直角三角形的性质．

107．（2009•本溪）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于　3　．

考点：

菱形的性质；直角三角形斜边上的中线．4366544

专题：

计算题；压轴题．

分析：

根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，H为AD的中点，从而求得OH的长．

解答：

解：

由题意可得AD=6，

在Rt△AOD中，OH为斜边上的中线，

∴OH=

AD=3．

故答案为3．

点评：

此题主要考查直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，还综合利用了菱形的性质．

108．（2009•安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在　B　点．

考点：

菱形的性质．4366544

专题：

压轴题；规律型．

分析：

根据题意可求得其每走一个循环是8米，从而可求得其行走2009米走了几个循环，即可得到其停在哪点．

解答：

解：

根据“由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动”可得出，每经过8米完成一个循环，

∵2009÷8=251余1，

∴行走2009米停下，即是在第252个循环中行走了一米，即停到了B点．

故答案为B．

点评：

本题考查的是循环的规律，要注意所求的值经过了几个循环，然后便可得出结论．

109．（2008•镇江）如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在　A　点．

考点：

菱形的性质．4366544

专题：

压轴题；规律型．

分析：

根据题意，一只蚂蚁由A点出发沿菱形的边循环运动，即每8厘米一个循环，行走2008厘米后停下，根据此点计算可得．

解答：

解：

根据题意分析可得：

一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，即每8厘米一个循环，

2008÷8=251，

故行走2008厘米即循环251次后停下，则这只蚂蚁停在A点．

故答案为A．

点评：

本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

110．（2008•温州）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，对角线BD=8，则菱形ABCD的周长等于　32　．

考点：

菱形的性质；等边三角形的性质．4366544

专题：

计算题．

分析：

由已知可得△ABD为等边三角形，从而求得菱形的边长=BD，再根据周长公式计算即可．

解答：

解：

∵AB=AD，∠A=60°

∴△ABD为等边三角形

∴AB=BD=8

∴菱形ABCD的周长为8×4=32，

故答案为32．

点评：

此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定．

111．（2007•镇江）如图，菱形ABCD的对角线相交于O，AC=8，BD=6，则边AB的长为　5　．

考点：

菱形的性质．4366544

专题：

计算题；压轴题．

分析：

根据菱形的性质利用勾股定理即可求得AB的长．

解答：

解：

因为菱形的对角线互相垂直平分，

∴OA=4，OB=3，

根据勾股定理可得AB=5．

故答案为5．

点评：

此题主要考查菱形的对角线的性质，综合利用了勾股定理．

112．（2007•盐城）菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为　5　．

考点：

菱形的性质；勾股定理．4366544

专题：

计算题．

分析：

根据菱形的性质及勾股定理即可求得菱形的边长．

解答：

解：

因为菱形的对角线互相垂直平分，

根据勾股定理可得菱形的边长为

=5．

故答案为5．

点评：

此题主要考查菱形的基本性质：

菱形的对角线互相垂直平分，综合利用了勾股定理的内容．

113．（2007•乌兰察布）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为6和8，点P是对角线AC上的任意一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是　12　．

考点：

菱形的性质．4366544

专题：

计算题．

分析：

易知四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于O点，则S△POF=S△AOE．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．

解答：

解：

设AP与EF相交于O点．

∵ABCD为菱形，

∴BC∥AD，AB∥CD．

∵PE∥BC，PF∥CD，

∴PE∥AF，PF∥AE．

∴AEFP是平行四边形．

∴S△POF=S△AOE．

∴阴影部分的面积就是△ABC的面积，△ABC的面积=

菱形的面积=

×（

×6×8）=12，

则阴影部分的面积是1