（4）当∠QBD＝90°时，即QB⊥DB，
设BQ所在直线的解析式为y＝－2x＋b，
将B（4，0）代入，得b＝8，∴y＝－2x＋8.
∵点Q是直线QB与抛物线的交点，
∴－x2＋x＋2＝－2x＋8，解得x1＝3，x2＝4.
∵B（4，0），∴Q1（3，2）．
当∠QDB＝90°，即QD⊥DB，
设QD所在直线的解析式为y＝－2x＋b，
将D（0，－2）代入，得b＝－2，
∴y＝－2x－2.
∵点Q是直线QD与抛物线的交点，
∴－x2＋x＋2＝－2x－2，解得x1＝8，x2＝－1.
∴Q2（8，－18），Q3（－1，0）．
2．（2016·十堰）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋1经过点A（4，－3），顶点为B.点P为抛物线上的一个动点，l是经过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过点P作PH⊥l，垂足为点H，连接PO.
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；
（2）①当点P运动到点A处时，计算：
PO＝5，PH＝5，由此发现PO＝PH（填“＜”“＞”或“＝”）；
②当点P在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图2，设点C（1，－2），问是否存在点P，使得以点P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？
若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
图1 图2
解：
（1）∵抛物线y＝ax2＋1经过点A（4，－3），
∴－3＝42×a＋1.解得a＝－.
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋1，顶点B的坐标是（0，1）．
（2）②猜想PO＝PH.
证明：
当点P移动到抛物线与x轴，y轴的交点位置时，有PO＝PH＝2，PO＝PH＝1，显然PO＝PH成立；
当点P在抛物线上的x轴上方时，如图3.
设P（b，－＋1），根据坐标的意义及勾股定理，得
PO＝＝＝＋1，
PH＝2－|－＋1|＝2－（－＋1）＝＋1，
∴PO＝PH.
当点P在抛物线上的x轴下方时，如图1.
设P（b，－＋1），根据坐标的意义及勾股定理，得
PO＝＝＝＋1，
PH＝|－＋1|＋2＝－（－＋1）＋2＝＋1，
∴PO＝PH.
综上所述，当P点在抛物线上运动时，总有PO＝PH.
图3 图4
（3）存在．P1（1，），P2（－1，）．如图4，根据坐标的意义和勾股定理，可以求得
BC＝＝＝，
AC＝＝＝，
AB＝＝＝4.
∴△ABC是等腰三角形．
由
（2）知道PO＝PH，△POH也是等腰三角形，且PO＝PH＝＋1，
假设存在点P（b，－＋1），使得以点P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，求出P点的坐标即可．由题意知H（b，2），
∴OH＝＝.
要使等腰△OHP与等腰△ABC相似，就需要＝.
∵PH＝＋1，BC＝，OH＝，AB＝4，
∴＝.两边平方得＝.
整理，得b4＋3b2－4＝0，（b2＋4）（b2－1）＝0.
∵b2＋4≠0，∴b2－1＝0.解得b＝1或－1.
∴点P1（1，），P2（－1，）．
3．（2016·东营）在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（－1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.
（1）若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
（2）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：
当点M在何处时，△AMA′的面积最大？
最大面积是多少？
并求出此时点M的坐标；
（3）若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．
解：
（1）∵▱ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到▱A′B′OC′，点A的坐标是（0，4），
∴点A′的坐标为（4，0），点B的坐标为（1，4）．
∵抛物线过点C，A，A′，设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），得
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4.
（2）连接AA′，设直线AA′的解析式为y＝kx＋d，
可得：
解得
∴直线AA′的解析式是y＝－x＋4.
设M（x，－x2＋3x＋4），
S△AMA′＝×4×[－x2＋3x＋4－（－x＋4）]＝－2x2＋8x＝－2（x－2）2＋8，
∵0＜x＜4，∴x＝2时，△AMA′的面积最大，最大值为8，∴M（2，6）．
（3）设P点的坐标为（x，－x2＋3x＋4），当P、N、B、Q构成平行四边形时，
①当BQ为边时，PN∥BQ且PN＝BQ，
∵BQ＝4，∴－x2＋3x＋4＝±4.
当－x2＋3x＋4＝4时，x1＝0，x2＝3，即P1（0，4），P2（3，4）；
当－x2＋3x＋4＝－4时，x3＝，x4＝，即P3（，－4），P4（，－4）．
②当BQ为对角线时，PB∥x轴，即P1（0，4），P2（3，4）；
当这个平行四边形为矩形时，即P1（0，4），P2（3，4）时，N1（0，0），N2（3，0）．
综上所述，当P1（0，4），P2（3，4），P3（，－4），P4（，－4）时，P、N、B、Q构成平行四边形；当这个平行四边形为矩形时，N1（0，0），N2（3，0）．
4．（2016·岳阳）如图1，直线y＝x＋4交x轴于点A，交y轴于点C.过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．
（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式；
（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC，记S＝S四边形MAOC－S△BOC，求S最大时点M的坐标及S的最大值；
（3）如图2，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与
（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似；若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
解：
（1）直线y＝x＋4交x轴于点A（－3，0），交y轴于点C（0，4）．
设抛物线F1的表达式为y＝ax2＋bx＋c，由题意得
解得
∴抛物线F1的表达式为y＝－x2－x＋4.
（2）如图3，过点M作MQ⊥x轴交AC于点Q，设点M（x，－x2－x＋4），则点Q（x，x＋4）．
∴MQ＝（－x2－x＋4）－（x＋4）＝－x2－4x＝－（x＋）2＋3.
∴S△AMC＝S△AMQ＋S△QMC＝MQ×3＝－2（x＋）2＋.
∴S四边形MAOC＝S△AMC＋S△AOC＝－2（x＋）2＋＋×4×3＝－2（x＋）2＋.
∴S＝S四边形MAOC－S△BOC＝－2（x＋）2＋－×4×1＝－2（x＋）2＋.
∵－3＜x＜0，∴当x＝－时，S最大，S最大＝，此时，点M坐标为（－，5）．
图3 图4
（3）存在．理由如下：
由翻折得：
M′（，5），A′（3，0），B′（－1，0）．
易得直线A′C的解析式为y＝－x＋4，
则点D（，2）．
由勾股定理得AC＝5，A′D＝.
由对称性可得：
∠CAB′＝∠DA′P.
设点P（m，0），易知点P在点A′的左侧，则PA′＝3－m.
①若＝，即＝，解得m＝2时，
△A′PD∽△AB′C，此时，点P（2，0）；
②若＝，即＝，解得m＝－时，△A′DP∽△AB′C，此时，点P（－，0）．
综上所述，存在点P1（2，0）或点P2（－，0），使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似．
5．（2016·青岛）已知：
如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC，BD相交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F.设运动时间为t（s）（0（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF∶S△ACD＝9∶16？
若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？
若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：
（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.
在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10.
∴AO＝BO＝CO＝DO＝5.
根据题意，得AP＝DQ＝1×t＝t.
△AOP是等腰三角形，有以下三种可能：
①当AP＝OP时，过点P作PG⊥AO于G，
∴AG＝AO＝，∠AGP＝∠ADC＝90°.
又∵∠PAG＝∠CAD，∴△PAG∽△CAD.
∴＝，即＝.解得t＝；
②当AP＝AO时，t＝5；
③当AO＝PO时，点P与点D重合，此时t＝8＞6，不合题意，舍去．
故当t＝或5时，△AOP是等腰三角形．
（2）∵QF∥AC，∴△DFQ∽△DOC.
∴＝（）2，即＝.
∵S△COD＝S矩形ABCD＝×6×8＝12.
∴S△DFQ＝×12＝，∴S四边形FOCQ＝12－.
∵AD∥BC，∴∠PAO＝∠ECO，∠APO＝∠CEO.
又∵AO＝CO，∴△APO≌△CEO，∴CE＝AP＝t.
过点O作OH⊥BC于H，∴OH＝CD＝×6＝3.
∴S△CEO＝×t×3＝t.
∴S＝S四边形FOCQ＋S△CEO＝12－＋t＝－＋t＋12.
（3）存在．S△ACD＝AD·CD＝×8×6＝24.
当S五边形OECQF∶S△ACD＝9∶16时，
＝，
整理，得2t2－9t＋9＝0，解得t1＝3，t2＝.
故当t＝3或时，S五边形OECQF∶S△ACD＝9∶16.
（4）存在．过点D作DM⊥PE于点M，DN⊥AC于点N.
∵∠POD＝∠COD，∴DM＝DN＝.
∴ON＝OM＝＝＝.
∵OP·DM＝3PD，∴OP＝＝＝5－t.
∴PM＝（5－t）－＝－t.
在Rt△PDM中，根据勾股定理，得
PD2＝PM2＋DM2，
即（8－t）2＝（－t）2＋（）2，
解得t1＝（不合题意，舍去），t2＝.
∴当t＝时，OD平分∠COP.
6．（2016·威海）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（－2，0），点B
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