哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一.docx
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哈工大概率论与数理统计课后习题答案一
习题一
1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：
（1）掷一颗骰子，记录出现的点数.A‘出现奇数点’；
（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数.A‘两次点数之和为10’，B‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；
（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A‘球的最小号码为1’；
（4）将a,b两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A‘甲盒中至少有一球’；
（5）记录在一段时间
（1）S{e1,e2,e3,e4,e5,e6}其中ei‘出现i点’i1,2,,6，A{e1,e3,e5}。
（2）S{（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）
（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）
（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）
（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）
（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）
（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）}；
A{（4,6）,（5,5）,（6,4）}；
B{（3,1）,（4,2）,（5,3）,（6,4）}。
（3）S{（1,2,3）,（2,3,4）,（3,4,5）,（1,3,4）,（1,4,5）,（1,2,4）,（1,2,5）（2,3,5）,（2,4,5）,（1,3,5）}
A{（1,2,3）,（1,2,4）,（1,2,5）,（1,3,4）,（1,3,5）,（1,4,5）}
（4）S{（ab,,）,（,ab,）,（,,ab）,（a,b,）,（a,,b）,（b,a,）,（b,,a）,（,a,b,）,（,b,a）}，其中‘’表示空盒；A{（ab,,）,（a,b,）,（a,,b）,（b,a,）,（b,,a）}。
（5）S{0,1,2,},A{0,1,2,3,4},B{3,4,}。
2．设A,B,C是随机试验E的三个事件，试用A,B,C表示下列事件：
（1）仅A发生；
（2）A,B,C中至少有两个发生；
·1·
（3）A,B,C中不多于两个发生；
（4）A,B,C中恰有两个发生；
（5）A,B,C中至多有一个发生。
解
（1）
（2）ABACBC或ABC；
（3）或；
（4）；
（5）或；
3．一个工人生产了三件产品，以Ai（i1,2,3）表示第i件产品是正品，试用Ai表示下列事件：
（1）没有一件产品是次品；
（2）至少有一件产品是次品；
（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。
解
（1）A
（2）（3）1A2A3A12A3A1A23；1A2A3；123；
（4）A1A2A1A3A2A3。
4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。
解设A‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则
4P12610P（A）40.50410250
5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求
（1）5只全是好的的概率；
（2）5只中有两只坏的的概率。
解
（1）设A‘5只全是好的’，则
5C37P（A）50.662；C40
（2）设B‘5只中有两只坏的’，则
3C32C37P（B）0.0354.5C40
6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求
（1）3个球的最小号码为5的概率；
（2）3个球的最大号码为5的概率.
解
（1）设A‘最小号码为5’，则
C521P（A）3；C1012
·2·
（2）设B‘最大号码为5’，则
2C41P（B）3.C1020
7．
（1）教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率；
（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.
解
（1）设A‘他们的生日都不相同’，则
rP365P（A）；r365
（2）设B‘至少有两个人的生日在同一个月’，则
21222321C4C12P4111C4C12C4P12C12P（B）；12496
或
4P4112P（B）1P（）14.1296
8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.
解设A‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则
2C7（262）P（A）0.01107.76
9．将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少？
解1设A‘恰好排成SCIENCE’
将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：
2字母C在7个位置中占两个位置，共有C7种占法，字母E在余下的5个位
2置中占两个位置，共有C5种占法，字母I,N,C剩下的3个位置上全排列的方法
22共3！
种，故基本事件总数为C7C53!
1260，而A中的基本事件只有一个，
故
P（A）11；2C7C523!
1260
解2七个字母中有两个E，两个C，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。
一般地，设有n个元素，其中第一种元素有n1个，第二种元素有n2个…，第k种元素有nk个（n1n2nkn），将这n个元素排成一排
·3·
称为不尽相异元素的全排列。
不同的排列总数为
n!
，n1!
n2!
nk!
对于本题有
P（A）141.7!
7!
1260
2!
2!
10．从0,1,2,,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：
A1‘三个数字中不含0和5’，A2‘三个数字中不含0或5’，A3‘三个数字中含0但不含5’.
3C87解P（A1）3.C1015
333C9C9C814P（A2）333，C10C10C1015
或
1C814P（A2）1P
（2）13，C1015
C827P（A3）3.C1030
11．将n双大小各不相同的鞋子随机地分成n堆，每堆两只，求事件A‘每堆各成一双’的概率.
解n双鞋子随机地分成n堆属分组问题，不同的分法共
‘每堆各成一双’共有n!
种情况，故（2n）!
（2n）!
2!
2!
2!
（2!
）n
2nn!
P（A）（2n）!
12．设事件A与B互不相容，P（A）0.4,P（B）0.3，求P（）与P（B）
解P（）1P（AB）1P（A）P（B）0.3
因为A,B不相容，所以B，于是
P（B）P（）0.6
13．若P（AB）P（）且P（A）P，求P（B）.
解P（）1P（AB）1P（A）P（B）ABP（）
·4·
由P（）P（AB）得
P（B）1P（A）1p
14．设事件A,B及AB的概率分别为p,q,r，求P（AB）及P（A）解P（AB）P（A）P（B）P（AB）pqr
P（A）P（A）P（）P（）P（A）1P（B）P（A）P（AB）1qpqr1pr.
15．设P（A）P（B）0.7，且A,B仅发生一个的概率为0.5，求A,B都发生的概率。
解1由题意有
0.5P（）P（）P（）
P（A）P（AB）P（B）P（AB）
0.72P（AB），
所以
P（AB）0.1.
解2A,B仅发生一个可表示为ABAB，故
0.5P（AB）P（AB）P（A）P（B）2P（AB）,
所以
P（AB）0.1.
16．设P（A）0.7,P（AB）0.3,
所以
P（AB）0.4，
故
P（AB）0.6；
0.2P（B）P（AB）P（B）0.4.
所以
P（B）0.6
P（）1P（AB）1P（A）P（B）P（AB）0.1
17．设ABC，试证明P（A）P（B）P（C）1
[证]因为ABC，所以P（BA）0.2，求P（AB）与P（）.P（AB）P（A）P（AB）0.7P，A（B解0.3
P（C）P（AB）P（A）P（B）P（AB）P（A）P（B）1
故
·5·
P（A）P（B）P（C）1.证毕.
18．对任意三事件A,B,C，试证
P（AB）P（AC）P（BC）P（A）.
[证]P（AB）P（AC）P（BC）P（AB）P（AC）P（ABC）
P（ABAC）P{A（BC）}P（A）.证毕.
19．设A,B,C是三个事件，且P（A）P（B）P（C）,P（AB）P（BC）0，1
4
1P（AC），求A,B,C至少有一个发生的概率。
8
解P（ABC）P（A）P（B）P（C）P（A）B（PA）C（PB）C（PABC
）因为0P（ABCP（AB），所以0P（ABC）0，于是
315P（ABC）488
20
．随机地向半圆0y（a为正常数）P（A）122半园的面积a221．把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.
解1设A‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为x,y,axy，则0xa,0ya,0xya，不等式构成平面域S.
aaa,0y,xya222不等式确定S的子域A，所以A发生0xP（A）A的面积1S的面积4
解2设三段长分别为x,y,z，则0xa,0ya,0za且xyza，不等式确定了三维空间上的有界平面域S.
·6·
A发生xyz
xzy
yzx不等式确定S的子域A，所以P（A）.S的面积422．随机地取两个正数和，这两个数中的每一个都不超过1，试求x与A的面积1y之和不超过1，积不小于0.09的概率.
S.A‘xy1,xy0.09’则A发生的充要条件为0xy1,1xy0.09不等式确定了S的子域A，故
0.9A的面积0.9P（A）（1x）dx0.1S的面积x0.40.18ln30.2
23．（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离a（a0）的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长l（la）的针，求针与任一平行线相交的概率.
解设A‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。
为针与平行线的夹角，则
0xa,0，不等式确定了平面上2
的一个区域S.
A发生xsin，不等式确定S的子域A2L
故P（A）a10L2Lsind2a
2
·7·
习题二
1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.
解设Ai‘任取一件是i等品’i1,2,，3
所求概率为
P（A1|3）
因为3A1A2
所以P（P（2A）3）P（A1）
P（A（A）13）P1
故
P（A1|3）60.P（A13），P（3）0.60.30.962.93
2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.
解设A‘所取两件中有一件是不合格品’
Bi‘所取两件中恰有i件不合格’i1,2.
则
AB1B2
112C4C6C4P（A）P（B1）P（B2）2，2C10C10
所求概率为
2P（B2）C41P（B2|A）.112P（A）C4C6C45
3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.
解设A‘发现是同一颜色’，B‘全是白色’，C‘全是黑色’，则ABC，
所求概率为
33C6/C11P（AC）P（C）2P（C|A）3333P（A）P（BC）C6/C11C5/C113
4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都
·8·
是黑桃的概率.
解设A‘至少有3张黑桃’，Bi‘5张中恰有i张黑桃’，i3,4,5，则
AB3B4B5，
所求概率为
5P（AB5）P（B5）C139.P（B5|A）32415P（A）P（B3B4B5）C13C39C13C39C131686
5．设P（A）0.5,P（B）0.6,P（B|A）0.8求P（AB）与P（BA）.解P（AB）P（A）P（B）P（AB）1.1P（A）P（B|A）1.10P（BA）P（B）P（AB）0.60.40.2.
6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
解设A‘从乙袋中取出的是白球’，Bi‘从甲袋中取出的两球恰有i个白球’i0,1,2.
由全概公式
P（A）P（B0）P（A|B0）P（B1）P（A|B1）P（B2）P（A|B2）
112C21C32613C24C32.22C510C52C51025
7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，求第二次取出的3个球均为新球的概率。
解设A‘第二次取出的均为新球’，
Bi‘第一次取出的3个球恰有i个新球’i0,1,2,3.由全概公式
P（A）P（0B）P（A|0B）P1（B）P（AB）1|2P（B）P（2A|B）3P（B）P3（A|B）
331231333C6C9C9C6C8C92C6C7C9C633333333C15C15C15C15C15C15C15C15
5280.089.5915
8．电报发射台发出‘·’和‘–’的比例为5:
3，由于干扰，传送（·）时失真的概率为2/5，传送‘–’时失真的概率为1/3，求接受台收到‘·’时发出信号恰是‘·’的概率。
解设A‘收到‘·’’，B‘发出‘·’’，
·9·
由贝叶斯公式
53P（B）P（A|B）3P（B|A）.P（B）P（A|B）P（）P（A|）53314
8583
9．在第6题中，已知从乙袋中取得的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率.
解事件如第6题所设，所求概率为
P（B1|A）P（B1）P（A|B1）P（A）11C3C2/C5213
2511526
10．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率。
解设A‘任取一产品，经检查是合格品’，
B‘任取一产品确是合格品’，
则
ABA
P（A）P（B）P（A|B）P（）P（A|）
0.960.980.040.050.9428，
所求概率为
P（B|A）P（B）P（A|B）0.960.980.998.P（A）0.9428
11．假设有两箱同种零件：
第一箱解设Ai‘第i次取出的零件是一等品’，i1,2.
Bi‘取到第i箱’，i1,2.
则
（1）P（A1）P（B1）P（A1|B1）P（B2）P（A1|B2）1132（）.2555·10·
（2）P（A2|A1）
P（A1A2）P（A1A2B1A1A2B2）P（A1）P（A1）P（B1）P（A1A2|B1）P（B2）P（A1A2|B2）P（A1）
22C181C10222CC951305040.4856.4929
5
12．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回。
试求：
（1）顾客买下该箱的概率；
（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率.
解设A‘顾客买下该箱’，
B‘箱中恰有i件残次品’，i0,1,2，
（1）P（A）P（B0）P（A|B0）P（B1）P（A|B1）P（B2）P（A|B2）
44C19C180.80.140.140.94；C20C20
（2）P（B0|A）P（AB0）0.80.85.P（A）0.94
13．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份
（1）求先取到的一份为女生表的概率p；
（2）已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.解设A‘先取到的是女生表’，
B‘后取到的是男生表’，
Ci‘取到第i个地区的表’，i1,2,3.
（1）pP（C1）P（A|C1）P（C2）P（A|C2）P（C3）P（A|C3）137529；310152590
29，所以先取出的是男生表的概率为90
·11·
（2）因为先取出的是女生表的概率为
6161，按抓阄问题的道理，后取的是男生表的概率P（B）.9090于是
（2）qP（A|B）P（AB）P（ABC1ABC2ABC3）P（B）P（B）
1[P（AB|C1）P（AB|C2）P（AB|C3）]P（B）
1377852031091514252420.6161
90
14．一袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷r次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？
解设A‘任取一枚硬币掷r次得r个国徽’，
B‘任取一枚硬币是正品’，
则
ABA，
所求概率为
P（B|A）P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）P（）P（A|）
m1mn2
rrm1nmn2mnm.rmn2
15．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求甲击中的概率.
解设A‘目标被击中’，Bi‘第i个人击中’i1,2,所求概率为
P（B1A）P（B1）P（B1）P（A）P（B1B2）1P（12）
0.60.75.10.40.5P（B1|A）
·12·
16．三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是,,
将此密码译出的概率.111，求他们534
解1设A‘将密码译出’，Bi‘第i个人译出’i1,2,3.则
P（A）P（B1B2B3）P（B1）P（B2）P（B3）P（B1B2）P（B1B3）P（B2B3）P（B1B2B3）
11111111153453543411130.6.5345
解2事件如上所设，则
4233P（A）1P（）1P（123）10.6.5345
17．甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为0.4，0.5，0.7。
设飞机中一弹而被击落的概率为0.2，中两弹而被击落的概率为0.6，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率.
3解设A‘飞机被击落’，Bi‘飞机中i弹’i1,2,.
则
P（A）P（B1）P（A|B1）P（B2）P（A|B2）P（B3）P（A|B3）0.2P（B1）0.6P（B2）P（B3）
设Ci‘第i个人命中’，i1,2,3，则
P（B1）P（C123）P（12C3）P（1C23）
0.40.50.30.60.50.70.60.50.30.36，P（B2）P（C1C23）P（2C3）P（1C2C3）
0.40.50.30.40.50.70.60.50.70.41，P（B3）P（C1C2C3）0.40.50.70.14，
所以
P（A）0.20.360.60.410.140.458.
18．某考生想借一本书，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率.
解1设A‘该生能借到此书’，Bi‘从第i馆借到’i1,2,3.则
·13·
P（B1）P（B2）P（B3）P（第i馆有此书且能借到）
111，224
111,4416P（B1B2）P（B1B3）P（B2B3）
P（B1B2B3）1111.44464
于是
P（A）P（B1B2B3）P（B1）P（B2）P（B3）P（B1B2）P（B1B3）P（B2B3）P（B1B2B3）33137.4166464
3373解2P（A）1PA）1123B）.644
解3事件如解1所设，则
AB11B212B3，
故
P（A）P（B1）P（1B2）P（12B3）
13133137.44444464
19．设P（A）0,P（B）0，证明A、B互不相容与A、B相互独立不能同时成立.
证若A、B互不相容，则AB，于是P（AB）0P（A）P（B）0所以A、B不相互独立.
若A、B相互独立，则P（AB）P（A）P（B）0，于是AB，即A、B不是互不相容的.
注：
从上面的证明可得到如下结论：
1）若A、B互不相容，则A、B又是相互独立的P（A）0或P（B）0.
2）因ABA，所以P（A）P（BA）P（）
如果P（B）1，则P（）0，从而
P（AB）P（A）P（A）P（B）
可见概率是1的事件与任意事件独立，自然，必然事件与任意事件独立.
如果P（B）0，则P（AB）0P（A）P（B），即概率是零的事件与任意事件独立，自然，不可能事件与任何事件独立。
20．证明若三事件A,B,C相互独立，则AB及AB都与C独立。
·14·
}证P{（AB）CP（ACBC）（PA）C（PB）C（pABC
P（B）P（C）P（B）P（C）P（A）P（B）P（C）[P（A）P（B）P（AB）]P（C）
P（AB）P（C）
即AB与C独立.
P{（AB）C}PBC）P（P（B）P（C）P（AB）（PC）P（AB）P（C）
即AB与C相互独立.
21．一个教室里有4名一年级男生，6名一年级女生，6名二年级男生，若干名二年级女生，为要我们在随机地选择一名学生时，性别和年级是相互独立的，教室里的二年级女生应为多少名？
解设还应有N名二年级女
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