哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一.docx

1、哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一习 题 一 1写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A 出现奇数点；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A 两次点数之和为10，B 第一次的点数，比第二次的点数大2；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A 球的最小号码为1；（4）将a,b两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A 甲盒中至少有一球；（5）记录在一段时间（1）S e1,e2,e3,e4,e5,e6其中ei 出现i点i 1,2, ,6， A e1,e3,e5。（

2、2）S (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)；A (4,6),(5,5),(6,4)；B (3,1),(4,2),(5,3),(6,4)。（3）S (1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1

3、,4,5),(1,2,4),(1,2,5) (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)A (1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)（4）S (ab, , ),( ,ab, ),( , ,ab),(a,b, ),(a, ,b),(b,a, ), (b, ,a),( ,a,b,),( ,b,a)，其中 表示空盒； A (ab, , ),(a,b, ),(a, ,b),(b,a, ),(b, ,a)。（5）S 0,1,2, ,A 0,1,2,3,4,B 3,4, 。2设A,B,C是随机试验E的三个事件，试用A,B,C表示下列事件：（1）仅A发

4、生；（2）A,B,C中至少有两个发生；1（3）A,B,C中不多于两个发生；（4）A,B,C中恰有两个发生；（5）A,B,C中至多有一个发生。解 （1）（2）AB AC BC或ABC ；（3） 或 ；（4） ；（5） 或 ；3一个工人生产了三件产品，以Ai(i 1,2,3)表示第i件产品是正品，试用Ai表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。解 （1）A（2）（3）1A2A3 A12A3 A1A23；1A2A3；1 2 3；（4）A1A2 A1A3 A2A3。4在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同

5、的概率。 解 设A 任取一电话号码后四个数字全不相同，则4P12610 P(A) 4 0.504 102505一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求（1）5只全是好的的概率；（2）5只中有两只坏的的概率。解 （1）设A 5只全是好的，则5C37 P(A) 5 0.662； C40（2）设B 5只中有两只坏的，则3C32C37 P(B) 0.0354. 5C406袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求（1）3个球的最小号码为5的概率；（2）3个球的最大号码为5的概率.解 （1）设A 最小号码为5，则C521 P(A) 3 ； C10122（2）设B 最大号码为5，

6、则2C41 P(B) 3 . C10207（1）教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率；（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.解 （1）设A 他们的生日都不相同，则rP365 P(A) ； r365（2）设B 至少有两个人的生日在同一个月，则21222321C4C12P4111 C4C12 C4P12 C12 P(B) ； 12496或4P4112 P(B) 1 P() 1 4 . 12968设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.解 设A 生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天，则2C7(26 2) P(

7、A) 0.01107. 769将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少？解1 设A 恰好排成SCIENCE将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：2 字母C在7个位置中占两个位置，共有C7种占法，字母E在余下的5个位2置中占两个位置，共有C5种占法，字母I,N,C剩下的3个位置上全排列的方法22共3！种，故基本事件总数为C7 C5 3! 1260，而A中的基本事件只有一个，故P(A) 11； 2C7 C52 3!1260解2 七个字母中有两个E，两个C，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有n个元素，

8、其中第一种元素有n1个，第二种元素有n2个，第k种元素有nk个(n1 n2 nk n)，将这n个元素排成一排3称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为n!， n1!n2! nk!对于本题有P(A) 141. 7!7!12602!2!10从0,1,2, ,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：A1 三个数字中不含0和5，A2 三个数字中不含0或5，A3 三个数字中含0但不含5.3C87 解 P(A1) 3 . C1015333C9C9C814 P(A2) 3 3 3 ， C10C10C1015或1C814 P(A2) 1 P(2) 1 3 ， C1015C827 P(A

9、3) 3 . C103011将n双大小各不相同的鞋子随机地分成n堆，每堆两只，求事件A 每堆各成一双的概率.解 n双鞋子随机地分成n堆属分组问题，不同的分法共每堆各成一双共有n!种情况，故 (2n)!(2n)! 2!2! 2!(2!)n2n n! P(A) (2n)!12设事件A与B互不相容，P(A) 0.4,P(B) 0.3，求P()与P( B)解 P() 1 P( AB) 1 P(A )P(B ) 0.3因为A,B不相容，所以 B，于是P( B) P() 0.613若P(AB) P()且P(A) P，求P(B).解 P() 1 P( AB) 1 P(A )P(B ) ABP()4由P()

10、P(AB)得P(B) 1 P(A) 1 p14设事件A,B及A B的概率分别为p,q,r，求P(AB)及P(A ) 解 P(AB) P(A) P(B) P(A B) p q rP(A ) P(A) P() P() P(A) 1 P(B) P(A) P(AB) 1 q p q r 1 p r.15设P(A) P(B) 0.7，且A,B仅发生一个的概率为0.5，求A,B都发生的概率。解1 由题意有0.5 P( ) P() P() P(A) P(AB) P(B) P(AB) 0.7 2P(AB)，所以P(AB) 0.1.解2 A,B仅发生一个可表示为A B AB，故0.5 P(A B) P(AB)

11、P(A) P(B) 2P(AB),所以P(AB) 0.1.16设P(A) 0.7,P(A B) 0.3,所以P(AB) 0.4，故P(AB) 0.6；0.2 P(B) P(AB) P(B) 0.4.所以P(B) 0.6P() 1 P(A B) 1 P(A) P(B) P(AB) 0.117设AB C，试证明P(A) P(B) P(C) 1证 因为AB C，所以 P(B A) 0.2，求P(AB)与P(). P(A B) P(A )P(AB )0. 7P，A( B 解 0.3P(C) P(AB) P(A) P(B) P(A B) P(A) P(B) 1故5P(A) P(B) P(C) 1. 证毕

12、.18对任意三事件A,B,C，试证P(AB) P(AC) P(BC) P(A).证 P(AB) P(AC) P(BC) P(AB) P(AC) P(ABC) P(AB AC) PA(B C) P(A). 证毕.19设A,B,C是三个事件，且P(A) P(B) P(C) ,P(AB) P(BC) 0，141P(AC) ，求A,B,C至少有一个发生的概率。 8解 P(A B C) P(A) P(B )P( C)P(A )B(P A)C(P B)C (PABC) 因为 0 P(ABCP(AB) ，所以0P(ABC) 0，于是315 P(A B C) 48820随机地向半圆0 y （a为正常数） P(

13、A) 122 半园的面积 a2 21把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.解1 设A 三段可构成三角形，又三段的长分别为x,y,a x y，则0 x a,0 y a,0 x y a，不等式构成平面域S.aaa,0 y , x y a 222 不等式确定S的子域A，所以 A发生 0 x P(A) A的面积1 S的面积4解2 设三段长分别为x,y,z，则0 x a,0 y a,0 z a且 x y z a，不等式确定了三维空间上的有界平面域S.6 A发生 x y z x z y y z x 不等式确定S的子域A，所以 P(A) . S的面积4 22随机地取两个正数和，这两个数中的每

14、一个都不超过1，试求x与A的面积1y之和不超过1，积不小于0.09的概率.S. A x y 1,xy 0.09则A发生的 充要条件为0 x y 1,1 xy 0.09不 等式确定了S的子域A，故0.9A的面积0.9 P(A) (1 x )dx 0.1S的面积x 0.4 0.18ln3 0.223（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离a(a 0)的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长l(l a)的针，求针与任一平行线相交的概率.解 设A 针与某平行线相交，针落在平面上的情况不外乎图中的几种， 设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。 为针与平行线的夹角，则0 x a,0 ，不等式确定了平面上 2的一

15、个区域S.A发生 x sin ，不等式确定S的子域A 2L故 P(A) a 1 0L2L sin d 2a 2 7习 题 二 1假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设Ai 任取一件是i等品 i 1,2,，3所求概率为P(A1|3) 因为 3 A 1 A2所以 P( P(2A )3) P(A1)P(A(A)13) P1 故P(A1|3) 60.P(A13)， P(3)0. 60. 3 0.962 . 932设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A 所

16、取两件中有一件是不合格品Bi 所取两件中恰有i件不合格 i 1,2.则A B1 B2112C4C6C4 P(A) P(B1) P(B2) 2， 2C10C10所求概率为2P(B2)C41 P(B2|A) . 11 2P(A)C4C6 C453袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A 发现是同一颜色，B 全是白色，C 全是黑色，则 A B C，所求概率为33C6/C11P(AC)P(C)2 P(C|A) 33 33P(A)P(B C)C6/C11 C5/C1134从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都8是黑桃的概率.

17、解 设A 至少有3张黑桃，Bi 5张中恰有i张黑桃，i 3,4,5， 则A B3 B4 B5，所求概率为5P(AB5)P(B5)C139. P(B5|A) 32 415P(A)P(B3 B4 B5)C13C39 C13C39 C1316865设P(A) 0.5,P(B) 0.6,P(B|A) 0.8求P(A B)与P(B A). 解 P(A B) P(A) P(B )P(A B)1. 1P(A)P(B |A) 1.1 0 P(B A) P(B) P(AB) 0.6 0.4 0.2.6甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球

18、的概率。解 设A 从乙袋中取出的是白球，Bi 从甲袋中取出的两球恰有i个白球i 0,1,2.由全概公式P(A) P(B0)P(A|B0) P(B1)P(A|B1) P(B2)P(A|B2)112C21C32613C24C3 2 . 2 2C510C52C510257一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，求第二次取出的3个球均为新球的概率。解 设A 第二次取出的均为新球，Bi 第一次取出的3个球恰有i个新球i 0,1,2,3. 由全概公式P(A) P(0B)P(A|0B )P1(B)P(AB)1| 2P(B)P(

19、2A |B)3P(B) P3(A|B)331231333C6C9C9C6C8C92C6C7C9C6 3 3 3 3 3 3 3 3C15C15C15C15C15C15C15C15528 0.089. 59158电报发射台发出和的比例为5:3，由于干扰，传送（）时失真的概率为2/5，传送时失真的概率为1/3，求接受台收到时发出信号恰是的概率。解 设A 收到，B 发出，9由贝叶斯公式53 P(B)P(A|B)3P(B|A) . P(B)P(A|B) P()P(A|)5 3 3 1485839在第6题中，已知从乙袋中取得的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率.解 事件如第6题所设，所求概率为

20、P(B1|A) P(B1)P(A|B1) P(A)11C3C2/C52 13251 15 2610已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率。解 设A 任取一产品，经检查是合格品，B 任取一产品确是合格品，则A BA P(A) P(B)P(A|B) P()P(A|) 0.96 0.98 0.04 0.05 0.9428，所求概率为P(B|A) P(B)P(A|B)0.96 0.98 0.998. P(A)0.942811假设有两箱同种零件：第一箱 解 设Ai 第i次取

21、出的零件是一等品，i 1,2.Bi 取到第i箱，i 1,2.则（1）P(A1) P(B1)P(A1|B1) P(B2)P(A1|B2) 1132( ) . 255510 （2）P(A2|A1) P(A1A2)P(A1A2B1 A1A2B2) P(A1)P(A1)P(B1)P(A1A2|B1) P(B2)P(A1A2|B2) P(A1)22 C181 C10 22 2 CC 951 30 50 4 0.4856. 4929 512玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，

22、则买下该箱，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率 ；（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率 .解 设A 顾客买下该箱，B 箱中恰有i件残次品，i 0,1,2，（1） P(A) P(B0)P(A|B0) P(B1)P(A|B1) P(B2)P(A|B2)44C19C18 0.8 0.1 4 0.1 4 0.94； C20C20（2） P(B0|A) P(AB0)0.8 0.85. P(A)0.9413设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份（1）求先取到的一份为女生表的概率p；（2）已知后取到

23、的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 解 设A 先取到的是女生表，B 后取到的是男生表，Ci 取到第i个地区的表，i 1,2,3.（1）p P(C1)P(A|C1) P(C2)P(A|C2) P(C3)P(A|C3) 1 375 29； 3 10152590 29，所以先取出的是男生表的概率为9011 （2）因为先取出的是女生表的概率为6161，按抓阄问题的道理，后取的是男生表的概率P(B) . 9090于是（2）q P(A|B) P(AB)P(ABC1 ABC2 ABC3) P(B)P(B)1P(AB|C1) P(AB|C2) P(AB|C3) P(B)1 3778520 3 1

24、0915142524 20 . 61619014一袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷r次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？解 设A 任取一枚硬币掷r次得r个国徽，B 任取一枚硬币是正品，则A BA ，所求概率为P(B|A) P(B)P(A|B) P(B)P(A|B) P()P(A|) m 1 m n 2 rrm 1 n m n 2 m n m. rm n 215甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求甲击中的概率.解 设A 目标被击中，Bi 第i个人击中 i 1,2 ,所求概率为

25、P(B1A)P(B1)P(B1) P(A)P(B1 B2)1 P(12)0.6 0.75. 1 0.4 0.5 P(B1|A) 12 16三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是,将此密码译出的概率. 111，求他们534解1 设A 将密码译出，Bi 第i个人译出 i 1,2,3. 则P(A) P(B1 B2 B3) P(B1) P(B2) P(B3) P(B1B2) P(B1B3) P(B2B3) P(B1B2B3) 111111111 5345354341113 0.6. 5345解2 事件如上所设，则4233P(A) 1 P() 1 P(123) 1 0.6. 534517甲、乙、

26、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为0.4，0.5，0.7。设飞机中一弹而被击落的概率为0.2，中两弹而被击落的概率为0.6，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率.3 解 设A 飞机被击落，Bi 飞机中i弹 i 1,2,.则P(A) P(B1)P(A|B1) P(B2)P(A|B2) P(B3)P(A|B3) 0.2P(B1) 0.6P(B2) P(B3)设 Ci 第i个人命中，i 1,2,3，则P(B1) P(C123) P(12C3) P(1C23) 0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.6 0.5 0.3 0.36， P(B2) P(C1C23)

27、P(2C3) P(1C2C3) 0.4 0.5 0.3 0.4 0.5 0.7 0.6 0.5 0.7 0.41， P(B3) P(C1C2C3) 0.4 0.5 0.7 0.14，所以P(A) 0.2 0.36 0.6 0.41 0.14 0.458.18某考生想借一本书，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率.解1 设A 该生能借到此书，Bi 从第i馆借到i 1,2,3. 则13P(B1) P(B2) P(B3) P(第i馆有此书且能借到) 111 ， 224111 , 44

28、16 P(B1B2) P(B1B3) P(B2B3) P(B1B2B3) 1111 . 44464于是P(A) P(B1 B2 B3) P(B1) P(B2) P(B3) P(B1B2) P(B1B3) P(B2B3) P(B1B2B3) 33137 . 4166464337 3 解2 P(A) 1 PA ) 1123B ) . 64 4 解3 事件如解1所设，则A B1 1B2 12B3，故P(A) P(B1) P(1B2) P(12B3)13133137 . 4444446419设P(A) 0,P(B) 0，证明A、B互不相容与A、B相互独立不能 同时成立.证 若A、B互不相容，则AB ，

29、于是P(AB) 0 P(A)P(B) 0所以A、B不相互独立.若A、B相互独立，则P(AB) P(A)P(B) 0，于是AB ，即A、B不是互不相容的.注：从上面的证明可得到如下结论：1）若A、B互不相容，则A、B又是相互独立的 P(A) 0或P(B) 0.2）因A BA ，所以P(A) P(BA) P()如果 P(B) 1，则P() 0，从而P(AB) P(A) P(A)P(B)可见概率是1的事件与任意事件独立，自然，必然事件与任意事件独立.如果P(B) 0，则P(AB) 0 P(A)P(B)，即概率是零的事件与任意事件独立，自然，不可能事件与任何事件独立。20证明若三事件A,B,C相互独立，则A B及A B都与C独立。 14 证 P(A B)C P(A CB C)(PA )C(P B)C(p ABC P(B)P(C) P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A) P(B) P(AB)P(C) P(A B)P(C)即A B与C独立.P(A B)C PBC )P(P(B)P( C)P(A B)(PC) P(A B)P(C)即 A B与C相互独立.21一个教室里有4名一年级男生，6名一年级女生，6名二年级男生，若干名二年级女生，为要我们在随机地选择一名学生时，性别和年级是相互独立的，教室里的二年级女生应为多少名？解 设还应有N名二年级女